matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/r/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/r/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1/s/defs.ma".
  20
  21 lemma r_S:
  22  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (r k (S i)) (S (r k i))))
  23 \def
  24  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(eq nat (r k0 (S
  25 i)) (S (r k0 i))))) (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(refl_equal nat (S (r
  26 (Bind b) i))))) (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(refl_equal nat (S (r (Flat
  27 f) i))))) k).
  28
  29 lemma r_plus:
  30  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (r k (plus i j))
  31 (plus (r k i) j))))
  32 \def
  33  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  34 nat).(eq nat (r k0 (plus i j)) (plus (r k0 i) j))))) (\lambda (b: B).(\lambda
  35 (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (plus (r (Bind b) i) j)))))
  36 (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (plus (r
  37 (Flat f) i) j))))) k).
  38
  39 lemma r_plus_sym:
  40  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (r k (plus i j))
  41 (plus i (r k j)))))
  42 \def
  43  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  44 nat).(eq nat (r k0 (plus i j)) (plus i (r k0 j)))))) (\lambda (_: B).(\lambda
  45 (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (plus i j))))) (\lambda (_:
  46 F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(plus_n_Sm i j)))) k).
  47
  48 lemma r_minus:
  49  \forall (i: nat).(\forall (n: nat).((lt n i) \to (\forall (k: K).(eq nat
  50 (minus (r k i) (S n)) (r k (minus i (S n)))))))
  51 \def
  52  \lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n i)).(\lambda (k:
  53 K).(K_ind (\lambda (k0: K).(eq nat (minus (r k0 i) (S n)) (r k0 (minus i (S
  54 n))))) (\lambda (_: B).(refl_equal nat (minus i (S n)))) (\lambda (_:
  55 F).(minus_x_Sy i n H)) k)))).
  56
  57 lemma r_dis:
  58  \forall (k: K).(\forall (P: Prop).(((((\forall (i: nat).(eq nat (r k i) i)))
  59 \to P)) \to (((((\forall (i: nat).(eq nat (r k i) (S i)))) \to P)) \to P)))
  60 \def
  61  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (P: Prop).(((((\forall (i:
  62 nat).(eq nat (r k0 i) i))) \to P)) \to (((((\forall (i: nat).(eq nat (r k0 i)
  63 (S i)))) \to P)) \to P)))) (\lambda (b: B).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H:
  64 ((((\forall (i: nat).(eq nat (r (Bind b) i) i))) \to P))).(\lambda (_:
  65 ((((\forall (i: nat).(eq nat (r (Bind b) i) (S i)))) \to P))).(H (\lambda (i:
  66 nat).(refl_equal nat i))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (P: Prop).(\lambda (_:
  67 ((((\forall (i: nat).(eq nat (r (Flat f) i) i))) \to P))).(\lambda (H0:
  68 ((((\forall (i: nat).(eq nat (r (Flat f) i) (S i)))) \to P))).(H0 (\lambda
  69 (i: nat).(refl_equal nat (S i)))))))) k).
  70
  71 lemma s_r:
  72  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (s k (r k i)) (S i)))
  73 \def
  74  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(eq nat (s k0 (r k0
  75 i)) (S i)))) (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(refl_equal nat (S i))))
  76 (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(refl_equal nat (S i)))) k).
  77
  78 lemma r_arith0:
  79  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (minus (r k (S i)) (S O)) (r k i)))
  80 \def
  81  \lambda (k: K).(\lambda (i: nat).(eq_ind_r nat (S (r k i)) (\lambda (n:
  82 nat).(eq nat (minus n (S O)) (r k i))) (eq_ind_r nat (r k i) (\lambda (n:
  83 nat).(eq nat n (r k i))) (refl_equal nat (r k i)) (minus (S (r k i)) (S O))
  84 (minus_Sx_SO (r k i))) (r k (S i)) (r_S k i))).
  85
  86 lemma r_arith1:
  87  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (r k (S
  88 i)) (S j)) (minus (r k i) j))))
  89 \def
  90  \lambda (k: K).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(eq_ind_r nat (S (r k i))
  91 (\lambda (n: nat).(eq nat (minus n (S j)) (minus (r k i) j))) (refl_equal nat
  92 (minus (r k i) j)) (r k (S i)) (r_S k i)))).
  93
  94 lemma r_arith2:
  95  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le (S i) (s k j)) \to
  96 (le (r k i) j))))
  97 \def
  98  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  99 nat).((le (S i) (s k0 j)) \to (le (r k0 i) j))))) (\lambda (_: B).(\lambda
 100 (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le (S i) (S j))).(let H_y \def
 101 (le_S_n i j H) in H_y))))) (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 102 nat).(\lambda (H: (le (S i) j)).H)))) k).
 103
 104 lemma r_arith3:
 105  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le (s k j) (S i)) \to
 106 (le j (r k i)))))
 107 \def
 108  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
 109 nat).((le (s k0 j) (S i)) \to (le j (r k0 i)))))) (\lambda (_: B).(\lambda
 110 (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le (S j) (S i))).(let H_y \def
 111 (le_S_n j i H) in H_y))))) (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 112 nat).(\lambda (H: (le j (S i))).H)))) k).
 113
 114 lemma r_arith4:
 115  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (S i) (s k
 116 j)) (minus (r k i) j))))
 117 \def
 118  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
 119 nat).(eq nat (minus (S i) (s k0 j)) (minus (r k0 i) j))))) (\lambda (b:
 120 B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (minus (r (Bind b) i)
 121 j))))) (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat
 122 (minus (r (Flat f) i) j))))) k).
 123
 124 lemma r_arith5:
 125  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((lt (s k j) (S i)) \to
 126 (lt j (r k i)))))
 127 \def
 128  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
 129 nat).((lt (s k0 j) (S i)) \to (lt j (r k0 i)))))) (\lambda (_: B).(\lambda
 130 (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (lt (S j) (S i))).(lt_S_n j i H)))))
 131 (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (lt j (S
 132 i))).H)))) k).
 133
 134 lemma r_arith6:
 135  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (r k i) (S
 136 j)) (minus i (s k j)))))
 137 \def
 138  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
 139 nat).(eq nat (minus (r k0 i) (S j)) (minus i (s k0 j)))))) (\lambda (b:
 140 B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (minus i (s (Bind b)
 141 j)))))) (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat
 142 (minus i (s (Flat f) j)))))) k).
 143
 144 lemma r_arith7:
 145  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((eq nat (S i) (s k j))
 146 \to (eq nat (r k i) j))))
 147 \def
 148  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
 149 nat).((eq nat (S i) (s k0 j)) \to (eq nat (r k0 i) j))))) (\lambda (_:
 150 B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (eq nat (S i) (S
 151 j))).(eq_add_S i j H))))) (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 152 nat).(\lambda (H: (eq nat (S i) j)).H)))) k).
 153