matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/r/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/r/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1/s/defs.ma".
  20
  21 theorem r_S:
  22  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (r k (S i)) (S (r k i))))
  23 \def
  24  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(let TMP_1
  25 \def (S i) in (let TMP_2 \def (r k0 TMP_1) in (let TMP_3 \def (r k0 i) in
  26 (let TMP_4 \def (S TMP_3) in (eq nat TMP_2 TMP_4))))))) in (let TMP_9 \def
  27 (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(let TMP_6 \def (Bind b) in (let TMP_7 \def
  28 (r TMP_6 i) in (let TMP_8 \def (S TMP_7) in (refl_equal nat TMP_8)))))) in
  29 (let TMP_13 \def (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(let TMP_10 \def (Flat f)
  30 in (let TMP_11 \def (r TMP_10 i) in (let TMP_12 \def (S TMP_11) in
  31 (refl_equal nat TMP_12)))))) in (K_ind TMP_5 TMP_9 TMP_13 k)))).
  32
  33 theorem r_plus:
  34  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (r k (plus i j))
  35 (plus (r k i) j))))
  36 \def
  37  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
  38 (j: nat).(let TMP_1 \def (plus i j) in (let TMP_2 \def (r k0 TMP_1) in (let
  39 TMP_3 \def (r k0 i) in (let TMP_4 \def (plus TMP_3 j) in (eq nat TMP_2
  40 TMP_4)))))))) in (let TMP_9 \def (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(\lambda
  41 (j: nat).(let TMP_6 \def (Bind b) in (let TMP_7 \def (r TMP_6 i) in (let
  42 TMP_8 \def (plus TMP_7 j) in (refl_equal nat TMP_8))))))) in (let TMP_13 \def
  43 (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_10 \def (Flat f)
  44 in (let TMP_11 \def (r TMP_10 i) in (let TMP_12 \def (plus TMP_11 j) in
  45 (refl_equal nat TMP_12))))))) in (K_ind TMP_5 TMP_9 TMP_13 k)))).
  46
  47 theorem r_plus_sym:
  48  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (r k (plus i j))
  49 (plus i (r k j)))))
  50 \def
  51  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
  52 (j: nat).(let TMP_1 \def (plus i j) in (let TMP_2 \def (r k0 TMP_1) in (let
  53 TMP_3 \def (r k0 j) in (let TMP_4 \def (plus i TMP_3) in (eq nat TMP_2
  54 TMP_4)))))))) in (let TMP_7 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda
  55 (j: nat).(let TMP_6 \def (plus i j) in (refl_equal nat TMP_6))))) in (let
  56 TMP_8 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(plus_n_Sm i
  57 j)))) in (K_ind TMP_5 TMP_7 TMP_8 k)))).
  58
  59 theorem r_minus:
  60  \forall (i: nat).(\forall (n: nat).((lt n i) \to (\forall (k: K).(eq nat
  61 (minus (r k i) (S n)) (r k (minus i (S n)))))))
  62 \def
  63  \lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n i)).(\lambda (k:
  64 K).(let TMP_7 \def (\lambda (k0: K).(let TMP_1 \def (r k0 i) in (let TMP_2
  65 \def (S n) in (let TMP_3 \def (minus TMP_1 TMP_2) in (let TMP_4 \def (S n) in
  66 (let TMP_5 \def (minus i TMP_4) in (let TMP_6 \def (r k0 TMP_5) in (eq nat
  67 TMP_3 TMP_6)))))))) in (let TMP_10 \def (\lambda (_: B).(let TMP_8 \def (S n)
  68 in (let TMP_9 \def (minus i TMP_8) in (refl_equal nat TMP_9)))) in (let
  69 TMP_11 \def (\lambda (_: F).(minus_x_Sy i n H)) in (K_ind TMP_7 TMP_10 TMP_11
  70 k))))))).
  71
  72 theorem r_dis:
  73  \forall (k: K).(\forall (P: Prop).(((((\forall (i: nat).(eq nat (r k i) i)))
  74 \to P)) \to (((((\forall (i: nat).(eq nat (r k i) (S i)))) \to P)) \to P)))
  75 \def
  76  \lambda (k: K).(let TMP_1 \def (\lambda (k0: K).(\forall (P:
  77 Prop).(((((\forall (i: nat).(eq nat (r k0 i) i))) \to P)) \to (((((\forall
  78 (i: nat).(eq nat (r k0 i) (S i)))) \to P)) \to P)))) in (let TMP_3 \def
  79 (\lambda (b: B).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: ((((\forall (i: nat).(eq nat
  80 (r (Bind b) i) i))) \to P))).(\lambda (_: ((((\forall (i: nat).(eq nat (r
  81 (Bind b) i) (S i)))) \to P))).(let TMP_2 \def (\lambda (i: nat).(refl_equal
  82 nat i)) in (H TMP_2)))))) in (let TMP_6 \def (\lambda (f: F).(\lambda (P:
  83 Prop).(\lambda (_: ((((\forall (i: nat).(eq nat (r (Flat f) i) i))) \to
  84 P))).(\lambda (H0: ((((\forall (i: nat).(eq nat (r (Flat f) i) (S i)))) \to
  85 P))).(let TMP_5 \def (\lambda (i: nat).(let TMP_4 \def (S i) in (refl_equal
  86 nat TMP_4))) in (H0 TMP_5)))))) in (K_ind TMP_1 TMP_3 TMP_6 k)))).
  87
  88 theorem s_r:
  89  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (s k (r k i)) (S i)))
  90 \def
  91  \lambda (k: K).(let TMP_4 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(let TMP_1
  92 \def (r k0 i) in (let TMP_2 \def (s k0 TMP_1) in (let TMP_3 \def (S i) in (eq
  93 nat TMP_2 TMP_3)))))) in (let TMP_6 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i:
  94 nat).(let TMP_5 \def (S i) in (refl_equal nat TMP_5)))) in (let TMP_8 \def
  95 (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(let TMP_7 \def (S i) in (refl_equal nat
  96 TMP_7)))) in (K_ind TMP_4 TMP_6 TMP_8 k)))).
  97
  98 theorem r_arith0:
  99  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (minus (r k (S i)) (S O)) (r k i)))
 100 \def
 101  \lambda (k: K).(\lambda (i: nat).(let TMP_1 \def (r k i) in (let TMP_2 \def
 102 (S TMP_1) in (let TMP_6 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_3 \def (S O) in (let
 103 TMP_4 \def (minus n TMP_3) in (let TMP_5 \def (r k i) in (eq nat TMP_4
 104 TMP_5))))) in (let TMP_7 \def (r k i) in (let TMP_9 \def (\lambda (n:
 105 nat).(let TMP_8 \def (r k i) in (eq nat n TMP_8))) in (let TMP_10 \def (r k
 106 i) in (let TMP_11 \def (refl_equal nat TMP_10) in (let TMP_12 \def (r k i) in
 107 (let TMP_13 \def (S TMP_12) in (let TMP_14 \def (S O) in (let TMP_15 \def
 108 (minus TMP_13 TMP_14) in (let TMP_16 \def (r k i) in (let TMP_17 \def
 109 (minus_Sx_SO TMP_16) in (let TMP_18 \def (eq_ind_r nat TMP_7 TMP_9 TMP_11
 110 TMP_15 TMP_17) in (let TMP_19 \def (S i) in (let TMP_20 \def (r k TMP_19) in
 111 (let TMP_21 \def (r_S k i) in (eq_ind_r nat TMP_2 TMP_6 TMP_18 TMP_20
 112 TMP_21))))))))))))))))))).
 113
 114 theorem r_arith1:
 115  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (r k (S
 116 i)) (S j)) (minus (r k i) j))))
 117 \def
 118  \lambda (k: K).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_1 \def (r k i)
 119 in (let TMP_2 \def (S TMP_1) in (let TMP_7 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_3
 120 \def (S j) in (let TMP_4 \def (minus n TMP_3) in (let TMP_5 \def (r k i) in
 121 (let TMP_6 \def (minus TMP_5 j) in (eq nat TMP_4 TMP_6)))))) in (let TMP_8
 122 \def (r k i) in (let TMP_9 \def (minus TMP_8 j) in (let TMP_10 \def
 123 (refl_equal nat TMP_9) in (let TMP_11 \def (S i) in (let TMP_12 \def (r k
 124 TMP_11) in (let TMP_13 \def (r_S k i) in (eq_ind_r nat TMP_2 TMP_7 TMP_10
 125 TMP_12 TMP_13)))))))))))).
 126
 127 theorem r_arith2:
 128  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le (S i) (s k j)) \to
 129 (le (r k i) j))))
 130 \def
 131  \lambda (k: K).(let TMP_2 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 132 (j: nat).((le (S i) (s k0 j)) \to (let TMP_1 \def (r k0 i) in (le TMP_1
 133 j)))))) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 134 nat).(\lambda (H: (le (S i) (S j))).(let H_y \def (le_S_n i j H) in H_y)))))
 135 in (let TMP_4 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 136 nat).(\lambda (H: (le (S i) j)).H)))) in (K_ind TMP_2 TMP_3 TMP_4 k)))).
 137
 138 theorem r_arith3:
 139  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le (s k j) (S i)) \to
 140 (le j (r k i)))))
 141 \def
 142  \lambda (k: K).(let TMP_2 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 143 (j: nat).((le (s k0 j) (S i)) \to (let TMP_1 \def (r k0 i) in (le j
 144 TMP_1)))))) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 145 nat).(\lambda (H: (le (S j) (S i))).(let H_y \def (le_S_n j i H) in H_y)))))
 146 in (let TMP_4 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 147 nat).(\lambda (H: (le j (S i))).H)))) in (K_ind TMP_2 TMP_3 TMP_4 k)))).
 148
 149 theorem r_arith4:
 150  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (S i) (s k
 151 j)) (minus (r k i) j))))
 152 \def
 153  \lambda (k: K).(let TMP_6 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 154 (j: nat).(let TMP_1 \def (S i) in (let TMP_2 \def (s k0 j) in (let TMP_3 \def
 155 (minus TMP_1 TMP_2) in (let TMP_4 \def (r k0 i) in (let TMP_5 \def (minus
 156 TMP_4 j) in (eq nat TMP_3 TMP_5))))))))) in (let TMP_10 \def (\lambda (b:
 157 B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_7 \def (Bind b) in (let TMP_8
 158 \def (r TMP_7 i) in (let TMP_9 \def (minus TMP_8 j) in (refl_equal nat
 159 TMP_9))))))) in (let TMP_14 \def (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda
 160 (j: nat).(let TMP_11 \def (Flat f) in (let TMP_12 \def (r TMP_11 i) in (let
 161 TMP_13 \def (minus TMP_12 j) in (refl_equal nat TMP_13))))))) in (K_ind TMP_6
 162 TMP_10 TMP_14 k)))).
 163
 164 theorem r_arith5:
 165  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((lt (s k j) (S i)) \to
 166 (lt j (r k i)))))
 167 \def
 168  \lambda (k: K).(let TMP_2 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 169 (j: nat).((lt (s k0 j) (S i)) \to (let TMP_1 \def (r k0 i) in (lt j
 170 TMP_1)))))) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
 171 nat).(\lambda (H: (lt (S j) (S i))).(lt_S_n j i H))))) in (let TMP_4 \def
 172 (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (lt j (S
 173 i))).H)))) in (K_ind TMP_2 TMP_3 TMP_4 k)))).
 174
 175 theorem r_arith6:
 176  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (r k i) (S
 177 j)) (minus i (s k j)))))
 178 \def
 179  \lambda (k: K).(let TMP_6 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 180 (j: nat).(let TMP_1 \def (r k0 i) in (let TMP_2 \def (S j) in (let TMP_3 \def
 181 (minus TMP_1 TMP_2) in (let TMP_4 \def (s k0 j) in (let TMP_5 \def (minus i
 182 TMP_4) in (eq nat TMP_3 TMP_5))))))))) in (let TMP_10 \def (\lambda (b:
 183 B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_7 \def (Bind b) in (let TMP_8
 184 \def (s TMP_7 j) in (let TMP_9 \def (minus i TMP_8) in (refl_equal nat
 185 TMP_9))))))) in (let TMP_14 \def (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda
 186 (j: nat).(let TMP_11 \def (Flat f) in (let TMP_12 \def (s TMP_11 j) in (let
 187 TMP_13 \def (minus i TMP_12) in (refl_equal nat TMP_13))))))) in (K_ind TMP_6
 188 TMP_10 TMP_14 k)))).
 189
 190 theorem r_arith7:
 191  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((eq nat (S i) (s k j))
 192 \to (eq nat (r k i) j))))
 193 \def
 194  \lambda (k: K).(let TMP_2 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 195 (j: nat).((eq nat (S i) (s k0 j)) \to (let TMP_1 \def (r k0 i) in (eq nat
 196 TMP_1 j)))))) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda
 197 (j: nat).(\lambda (H: (eq nat (S i) (S j))).(eq_add_S i j H))))) in (let
 198 TMP_4 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H:
 199 (eq nat (S i) j)).H)))) in (K_ind TMP_2 TMP_3 TMP_4 k)))).
 200