matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/s/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/s/defs.ma".
  18
  19 theorem s_S:
  20  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (s k (S i)) (S (s k i))))
  21 \def
  22  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(let TMP_1
  23 \def (S i) in (let TMP_2 \def (s k0 TMP_1) in (let TMP_3 \def (s k0 i) in
  24 (let TMP_4 \def (S TMP_3) in (eq nat TMP_2 TMP_4))))))) in (let TMP_9 \def
  25 (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(let TMP_6 \def (Bind b) in (let TMP_7 \def
  26 (s TMP_6 i) in (let TMP_8 \def (S TMP_7) in (refl_equal nat TMP_8)))))) in
  27 (let TMP_13 \def (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(let TMP_10 \def (Flat f)
  28 in (let TMP_11 \def (s TMP_10 i) in (let TMP_12 \def (S TMP_11) in
  29 (refl_equal nat TMP_12)))))) in (K_ind TMP_5 TMP_9 TMP_13 k)))).
  30
  31 theorem s_plus:
  32  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (s k (plus i j))
  33 (plus (s k i) j))))
  34 \def
  35  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
  36 (j: nat).(let TMP_1 \def (plus i j) in (let TMP_2 \def (s k0 TMP_1) in (let
  37 TMP_3 \def (s k0 i) in (let TMP_4 \def (plus TMP_3 j) in (eq nat TMP_2
  38 TMP_4)))))))) in (let TMP_9 \def (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(\lambda
  39 (j: nat).(let TMP_6 \def (Bind b) in (let TMP_7 \def (s TMP_6 i) in (let
  40 TMP_8 \def (plus TMP_7 j) in (refl_equal nat TMP_8))))))) in (let TMP_13 \def
  41 (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_10 \def (Flat f)
  42 in (let TMP_11 \def (s TMP_10 i) in (let TMP_12 \def (plus TMP_11 j) in
  43 (refl_equal nat TMP_12))))))) in (K_ind TMP_5 TMP_9 TMP_13 k)))).
  44
  45 theorem s_plus_sym:
  46  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (s k (plus i j))
  47 (plus i (s k j)))))
  48 \def
  49  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
  50 (j: nat).(let TMP_1 \def (plus i j) in (let TMP_2 \def (s k0 TMP_1) in (let
  51 TMP_3 \def (s k0 j) in (let TMP_4 \def (plus i TMP_3) in (eq nat TMP_2
  52 TMP_4)))))))) in (let TMP_17 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda
  53 (j: nat).(let TMP_6 \def (S j) in (let TMP_7 \def (plus i TMP_6) in (let
  54 TMP_10 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_8 \def (S j) in (let TMP_9 \def (plus
  55 i TMP_8) in (eq nat n TMP_9)))) in (let TMP_11 \def (S j) in (let TMP_12 \def
  56 (plus i TMP_11) in (let TMP_13 \def (refl_equal nat TMP_12) in (let TMP_14
  57 \def (plus i j) in (let TMP_15 \def (S TMP_14) in (let TMP_16 \def (plus_n_Sm
  58 i j) in (eq_ind_r nat TMP_7 TMP_10 TMP_13 TMP_15 TMP_16))))))))))))) in (let
  59 TMP_21 \def (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_18
  60 \def (Flat f) in (let TMP_19 \def (s TMP_18 j) in (let TMP_20 \def (plus i
  61 TMP_19) in (refl_equal nat TMP_20))))))) in (K_ind TMP_5 TMP_17 TMP_21 k)))).
  62
  63 theorem s_minus:
  64  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le j i) \to (eq nat (s
  65 k (minus i j)) (minus (s k i) j)))))
  66 \def
  67  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
  68 (j: nat).((le j i) \to (let TMP_1 \def (minus i j) in (let TMP_2 \def (s k0
  69 TMP_1) in (let TMP_3 \def (s k0 i) in (let TMP_4 \def (minus TMP_3 j) in (eq
  70 nat TMP_2 TMP_4))))))))) in (let TMP_17 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i:
  71 nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le j i)).(let TMP_6 \def (S i) in (let
  72 TMP_7 \def (minus TMP_6 j) in (let TMP_10 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_8
  73 \def (S i) in (let TMP_9 \def (minus TMP_8 j) in (eq nat n TMP_9)))) in (let
  74 TMP_11 \def (S i) in (let TMP_12 \def (minus TMP_11 j) in (let TMP_13 \def
  75 (refl_equal nat TMP_12) in (let TMP_14 \def (minus i j) in (let TMP_15 \def
  76 (S TMP_14) in (let TMP_16 \def (minus_Sn_m i j H) in (eq_ind_r nat TMP_7
  77 TMP_10 TMP_13 TMP_15 TMP_16)))))))))))))) in (let TMP_21 \def (\lambda (f:
  78 F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (_: (le j i)).(let TMP_18
  79 \def (Flat f) in (let TMP_19 \def (s TMP_18 i) in (let TMP_20 \def (minus
  80 TMP_19 j) in (refl_equal nat TMP_20)))))))) in (K_ind TMP_5 TMP_17 TMP_21
  81 k)))).
  82
  83 theorem minus_s_s:
  84  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (s k i) (s
  85 k j)) (minus i j))))
  86 \def
  87  \lambda (k: K).(let TMP_5 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
  88 (j: nat).(let TMP_1 \def (s k0 i) in (let TMP_2 \def (s k0 j) in (let TMP_3
  89 \def (minus TMP_1 TMP_2) in (let TMP_4 \def (minus i j) in (eq nat TMP_3
  90 TMP_4)))))))) in (let TMP_7 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda
  91 (j: nat).(let TMP_6 \def (minus i j) in (refl_equal nat TMP_6))))) in (let
  92 TMP_9 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(let TMP_8
  93 \def (minus i j) in (refl_equal nat TMP_8))))) in (K_ind TMP_5 TMP_7 TMP_9
  94 k)))).
  95
  96 theorem s_le:
  97  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le i j) \to (le (s k i)
  98 (s k j)))))
  99 \def
 100  \lambda (k: K).(let TMP_3 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 101 (j: nat).((le i j) \to (let TMP_1 \def (s k0 i) in (let TMP_2 \def (s k0 j)
 102 in (le TMP_1 TMP_2))))))) in (let TMP_4 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i:
 103 nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le i j)).(le_n_S i j H))))) in (let
 104 TMP_5 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H:
 105 (le i j)).H)))) in (K_ind TMP_3 TMP_4 TMP_5 k)))).
 106
 107 theorem s_lt:
 108  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((lt i j) \to (lt (s k i)
 109 (s k j)))))
 110 \def
 111  \lambda (k: K).(let TMP_3 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall
 112 (j: nat).((lt i j) \to (let TMP_1 \def (s k0 i) in (let TMP_2 \def (s k0 j)
 113 in (lt TMP_1 TMP_2))))))) in (let TMP_4 \def (\lambda (_: B).(\lambda (i:
 114 nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (lt i j)).(lt_n_S i j H))))) in (let
 115 TMP_5 \def (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H:
 116 (lt i j)).H)))) in (K_ind TMP_3 TMP_4 TMP_5 k)))).
 117
 118 theorem s_inc:
 119  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(le i (s k i)))
 120 \def
 121  \lambda (k: K).(let TMP_2 \def (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(let TMP_1
 122 \def (s k0 i) in (le i TMP_1)))) in (let TMP_30 \def (\lambda (b: B).(\lambda
 123 (i: nat).(let TMP_3 \def (Bind b) in (let TMP_4 \def (s TMP_3 i) in (let
 124 TMP_5 \def (S i) in (let TMP_6 \def (Bind b) in (let TMP_7 \def (s TMP_6 i)
 125 in (let TMP_8 \def (S TMP_7) in (let TMP_9 \def (S i) in (let TMP_10 \def (S
 126 TMP_9) in (let TMP_11 \def (Bind b) in (let TMP_12 \def (s TMP_11 i) in (let
 127 TMP_13 \def (S TMP_12) in (let TMP_14 \def (S TMP_13) in (let TMP_15 \def (S
 128 i) in (let TMP_16 \def (S TMP_15) in (let TMP_17 \def (S TMP_16) in (let
 129 TMP_18 \def (Bind b) in (let TMP_19 \def (s TMP_18 i) in (let TMP_20 \def (S
 130 TMP_19) in (let TMP_21 \def (S TMP_20) in (let TMP_22 \def (Bind b) in (let
 131 TMP_23 \def (s TMP_22 i) in (let TMP_24 \def (S TMP_23) in (let TMP_25 \def
 132 (S TMP_24) in (let TMP_26 \def (le_n TMP_25) in (let TMP_27 \def (le_S TMP_17
 133 TMP_21 TMP_26) in (let TMP_28 \def (le_S_n TMP_10 TMP_14 TMP_27) in (let
 134 TMP_29 \def (le_S_n TMP_5 TMP_8 TMP_28) in (le_S_n i TMP_4
 135 TMP_29)))))))))))))))))))))))))))))) in (let TMP_33 \def (\lambda (f:
 136 F).(\lambda (i: nat).(let TMP_31 \def (Flat f) in (let TMP_32 \def (s TMP_31
 137 i) in (le_n TMP_32))))) in (K_ind TMP_2 TMP_30 TMP_33 k)))).
 138
 139 theorem s_arith0:
 140  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (minus (s k i) (s k O)) i))
 141 \def
 142  \lambda (k: K).(\lambda (i: nat).(let TMP_1 \def (minus i O) in (let TMP_2
 143 \def (\lambda (n: nat).(eq nat n i)) in (let TMP_3 \def (\lambda (n: nat).(eq
 144 nat n i)) in (let TMP_4 \def (refl_equal nat i) in (let TMP_5 \def (minus i
 145 O) in (let TMP_6 \def (minus_n_O i) in (let TMP_7 \def (eq_ind nat i TMP_3
 146 TMP_4 TMP_5 TMP_6) in (let TMP_8 \def (s k i) in (let TMP_9 \def (s k O) in
 147 (let TMP_10 \def (minus TMP_8 TMP_9) in (let TMP_11 \def (minus_s_s k i O) in
 148 (eq_ind_r nat TMP_1 TMP_2 TMP_7 TMP_10 TMP_11))))))))))))).
 149
 150 theorem s_arith1:
 151  \forall (b: B).(\forall (i: nat).(eq nat (minus (s (Bind b) i) (S O)) i))
 152 \def
 153  \lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(let TMP_1 \def (\lambda (n: nat).(eq nat n
 154 i)) in (let TMP_2 \def (refl_equal nat i) in (let TMP_3 \def (minus i O) in
 155 (let TMP_4 \def (minus_n_O i) in (eq_ind nat i TMP_1 TMP_2 TMP_3 TMP_4)))))).
 156