matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/tlt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/T/fwd.ma".
  18
  19 include "basic_1/tlt/defs.ma".
  20
  21 theorem wadd_le:
  22  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  23 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((le v w) \to
  24 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  25 \def
  26  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  27 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  28 nat).(\lambda (H0: (le v w)).(\lambda (n: nat).(let TMP_3 \def (\lambda (n0:
  29 nat).(let TMP_1 \def (wadd f v n0) in (let TMP_2 \def (wadd g w n0) in (le
  30 TMP_1 TMP_2)))) in (let TMP_4 \def (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le (wadd
  31 f v n0) (wadd g w n0))).(H n0))) in (nat_ind TMP_3 H0 TMP_4 n))))))))).
  32
  33 theorem wadd_lt:
  34  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  35 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((lt v w) \to
  36 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  37 \def
  38  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  39 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  40 nat).(\lambda (H0: (lt v w)).(\lambda (n: nat).(let TMP_3 \def (\lambda (n0:
  41 nat).(let TMP_1 \def (wadd f v n0) in (let TMP_2 \def (wadd g w n0) in (le
  42 TMP_1 TMP_2)))) in (let TMP_4 \def (S v) in (let TMP_5 \def (S w) in (let
  43 TMP_6 \def (S v) in (let TMP_7 \def (S TMP_6) in (let TMP_8 \def (S w) in
  44 (let TMP_9 \def (S v) in (let TMP_10 \def (le_n_S TMP_9 w H0) in (let TMP_11
  45 \def (le_S TMP_7 TMP_8 TMP_10) in (let TMP_12 \def (le_S_n TMP_4 TMP_5
  46 TMP_11) in (let TMP_13 \def (le_S_n v w TMP_12) in (let TMP_14 \def (\lambda
  47 (n0: nat).(\lambda (_: (le (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0))) in (nat_ind
  48 TMP_3 TMP_13 TMP_14 n))))))))))))))))))).
  49
  50 theorem wadd_O:
  51  \forall (n: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_: nat).O) O n) O)
  52 \def
  53  \lambda (n: nat).(let TMP_3 \def (\lambda (n0: nat).(let TMP_1 \def (\lambda
  54 (_: nat).O) in (let TMP_2 \def (wadd TMP_1 O n0) in (eq nat TMP_2 O)))) in
  55 (let TMP_4 \def (refl_equal nat O) in (let TMP_5 \def (\lambda (n0:
  56 nat).(\lambda (_: (eq nat (wadd (\lambda (_: nat).O) O n0) O)).(refl_equal
  57 nat O))) in (nat_ind TMP_3 TMP_4 TMP_5 n)))).
  58
  59 theorem weight_le:
  60  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  61 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t)
  62 (weight_map g t)))))
  63 \def
  64  \lambda (t: T).(let TMP_3 \def (\lambda (t0: T).(\forall (f: ((nat \to
  65 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  66 \to (let TMP_1 \def (weight_map f t0) in (let TMP_2 \def (weight_map g t0) in
  67 (le TMP_1 TMP_2))))))) in (let TMP_6 \def (\lambda (n: nat).(\lambda (f:
  68 ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (_: ((\forall (n0:
  69 nat).(le (f n0) (g n0))))).(let TMP_4 \def (TSort n) in (let TMP_5 \def
  70 (weight_map g TMP_4) in (le_O_n TMP_5))))))) in (let TMP_7 \def (\lambda (n:
  71 nat).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  72 ((\forall (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(H n))))) in (let TMP_144 \def
  73 (\lambda (k: K).(let TMP_12 \def (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).(((\forall
  74 (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f
  75 n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) \to (\forall
  76 (t1: T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  77 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1)
  78 (weight_map g t1)))))) \to (\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat
  79 \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (let TMP_8 \def (THead
  80 k0 t0 t1) in (let TMP_9 \def (weight_map f TMP_8) in (let TMP_10 \def (THead
  81 k0 t0 t1) in (let TMP_11 \def (weight_map g TMP_10) in (le TMP_9
  82 TMP_11))))))))))))) in (let TMP_129 \def (\lambda (b: B).(let TMP_43 \def
  83 (\lambda (b0: B).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall
  84 (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le
  85 (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1: T).(((\forall (f:
  86 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n)
  87 (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1)))))) \to (\forall (f:
  88 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n)
  89 (g n)))) \to (let TMP_27 \def (match b0 with [Abbr \Rightarrow (let TMP_21
  90 \def (weight_map f t0) in (let TMP_22 \def (weight_map f t0) in (let TMP_23
  91 \def (S TMP_22) in (let TMP_24 \def (wadd f TMP_23) in (let TMP_25 \def
  92 (weight_map TMP_24 t1) in (let TMP_26 \def (plus TMP_21 TMP_25) in (S
  93 TMP_26))))))) | Abst \Rightarrow (let TMP_17 \def (weight_map f t0) in (let
  94 TMP_18 \def (wadd f O) in (let TMP_19 \def (weight_map TMP_18 t1) in (let
  95 TMP_20 \def (plus TMP_17 TMP_19) in (S TMP_20))))) | Void \Rightarrow (let
  96 TMP_13 \def (weight_map f t0) in (let TMP_14 \def (wadd f O) in (let TMP_15
  97 \def (weight_map TMP_14 t1) in (let TMP_16 \def (plus TMP_13 TMP_15) in (S
  98 TMP_16)))))]) in (let TMP_42 \def (match b0 with [Abbr \Rightarrow (let
  99 TMP_36 \def (weight_map g t0) in (let TMP_37 \def (weight_map g t0) in (let
 100 TMP_38 \def (S TMP_37) in (let TMP_39 \def (wadd g TMP_38) in (let TMP_40
 101 \def (weight_map TMP_39 t1) in (let TMP_41 \def (plus TMP_36 TMP_40) in (S
 102 TMP_41))))))) | Abst \Rightarrow (let TMP_32 \def (weight_map g t0) in (let
 103 TMP_33 \def (wadd g O) in (let TMP_34 \def (weight_map TMP_33 t1) in (let
 104 TMP_35 \def (plus TMP_32 TMP_34) in (S TMP_35))))) | Void \Rightarrow (let
 105 TMP_28 \def (weight_map g t0) in (let TMP_29 \def (wadd g O) in (let TMP_30
 106 \def (weight_map TMP_29 t1) in (let TMP_31 \def (plus TMP_28 TMP_30) in (S
 107 TMP_31)))))]) in (le TMP_27 TMP_42))))))))))) in (let TMP_84 \def (\lambda
 108 (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 109 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
 110 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f: ((nat
 111 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g
 112 n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 113 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 114 (f n) (g n))))).(let TMP_44 \def (weight_map f t0) in (let TMP_45 \def
 115 (weight_map f t0) in (let TMP_46 \def (S TMP_45) in (let TMP_47 \def (wadd f
 116 TMP_46) in (let TMP_48 \def (weight_map TMP_47 t1) in (let TMP_49 \def (plus
 117 TMP_44 TMP_48) in (let TMP_50 \def (weight_map g t0) in (let TMP_51 \def
 118 (weight_map g t0) in (let TMP_52 \def (S TMP_51) in (let TMP_53 \def (wadd g
 119 TMP_52) in (let TMP_54 \def (weight_map TMP_53 t1) in (let TMP_55 \def (plus
 120 TMP_50 TMP_54) in (let TMP_56 \def (weight_map f t0) in (let TMP_57 \def
 121 (weight_map g t0) in (let TMP_58 \def (weight_map f t0) in (let TMP_59 \def
 122 (S TMP_58) in (let TMP_60 \def (wadd f TMP_59) in (let TMP_61 \def
 123 (weight_map TMP_60 t1) in (let TMP_62 \def (weight_map g t0) in (let TMP_63
 124 \def (S TMP_62) in (let TMP_64 \def (wadd g TMP_63) in (let TMP_65 \def
 125 (weight_map TMP_64 t1) in (let TMP_66 \def (H f g H1) in (let TMP_67 \def
 126 (weight_map f t0) in (let TMP_68 \def (S TMP_67) in (let TMP_69 \def (wadd f
 127 TMP_68) in (let TMP_70 \def (weight_map g t0) in (let TMP_71 \def (S TMP_70)
 128 in (let TMP_72 \def (wadd g TMP_71) in (let TMP_81 \def (\lambda (n:
 129 nat).(let TMP_73 \def (weight_map f t0) in (let TMP_74 \def (S TMP_73) in
 130 (let TMP_75 \def (weight_map g t0) in (let TMP_76 \def (S TMP_75) in (let
 131 TMP_77 \def (weight_map f t0) in (let TMP_78 \def (weight_map g t0) in (let
 132 TMP_79 \def (H f g H1) in (let TMP_80 \def (le_n_S TMP_77 TMP_78 TMP_79) in
 133 (wadd_le f g H1 TMP_74 TMP_76 TMP_80 n)))))))))) in (let TMP_82 \def (H0
 134 TMP_69 TMP_72 TMP_81) in (let TMP_83 \def (le_plus_plus TMP_56 TMP_57 TMP_61
 135 TMP_65 TMP_66 TMP_82) in (le_n_S TMP_49 TMP_55
 136 TMP_83)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) in (let TMP_106 \def (\lambda
 137 (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 138 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
 139 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f: ((nat
 140 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g
 141 n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 142 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 143 (f n) (g n))))).(let TMP_85 \def (weight_map f t0) in (let TMP_86 \def (wadd
 144 f O) in (let TMP_87 \def (weight_map TMP_86 t1) in (let TMP_88 \def (plus
 145 TMP_85 TMP_87) in (let TMP_89 \def (weight_map g t0) in (let TMP_90 \def
 146 (wadd g O) in (let TMP_91 \def (weight_map TMP_90 t1) in (let TMP_92 \def
 147 (plus TMP_89 TMP_91) in (let TMP_93 \def (weight_map f t0) in (let TMP_94
 148 \def (weight_map g t0) in (let TMP_95 \def (wadd f O) in (let TMP_96 \def
 149 (weight_map TMP_95 t1) in (let TMP_97 \def (wadd g O) in (let TMP_98 \def
 150 (weight_map TMP_97 t1) in (let TMP_99 \def (H f g H1) in (let TMP_100 \def
 151 (wadd f O) in (let TMP_101 \def (wadd g O) in (let TMP_103 \def (\lambda (n:
 152 nat).(let TMP_102 \def (le_O_n O) in (wadd_le f g H1 O O TMP_102 n))) in (let
 153 TMP_104 \def (H0 TMP_100 TMP_101 TMP_103) in (let TMP_105 \def (le_plus_plus
 154 TMP_93 TMP_94 TMP_96 TMP_98 TMP_99 TMP_104) in (le_n_S TMP_88 TMP_92
 155 TMP_105)))))))))))))))))))))))))))) in (let TMP_128 \def (\lambda (t0:
 156 T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 157 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
 158 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f: ((nat
 159 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g
 160 n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 161 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 162 (f n) (g n))))).(let TMP_107 \def (weight_map f t0) in (let TMP_108 \def
 163 (wadd f O) in (let TMP_109 \def (weight_map TMP_108 t1) in (let TMP_110 \def
 164 (plus TMP_107 TMP_109) in (let TMP_111 \def (weight_map g t0) in (let TMP_112
 165 \def (wadd g O) in (let TMP_113 \def (weight_map TMP_112 t1) in (let TMP_114
 166 \def (plus TMP_111 TMP_113) in (let TMP_115 \def (weight_map f t0) in (let
 167 TMP_116 \def (weight_map g t0) in (let TMP_117 \def (wadd f O) in (let
 168 TMP_118 \def (weight_map TMP_117 t1) in (let TMP_119 \def (wadd g O) in (let
 169 TMP_120 \def (weight_map TMP_119 t1) in (let TMP_121 \def (H f g H1) in (let
 170 TMP_122 \def (wadd f O) in (let TMP_123 \def (wadd g O) in (let TMP_125 \def
 171 (\lambda (n: nat).(let TMP_124 \def (le_O_n O) in (wadd_le f g H1 O O TMP_124
 172 n))) in (let TMP_126 \def (H0 TMP_122 TMP_123 TMP_125) in (let TMP_127 \def
 173 (le_plus_plus TMP_115 TMP_116 TMP_118 TMP_120 TMP_121 TMP_126) in (le_n_S
 174 TMP_110 TMP_114 TMP_127)))))))))))))))))))))))))))) in (B_ind TMP_43 TMP_84
 175 TMP_106 TMP_128 b)))))) in (let TMP_143 \def (\lambda (_: F).(\lambda (t0:
 176 T).(\lambda (H: ((\forall (f0: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 177 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g n)))) \to (le (weight_map f0 t0)
 178 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f0: ((nat
 179 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g
 180 n)))) \to (le (weight_map f0 t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f0: ((nat
 181 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 182 (f0 n) (g n))))).(let TMP_130 \def (weight_map f0 t0) in (let TMP_131 \def
 183 (weight_map f0 t1) in (let TMP_132 \def (plus TMP_130 TMP_131) in (let
 184 TMP_133 \def (weight_map g t0) in (let TMP_134 \def (weight_map g t1) in (let
 185 TMP_135 \def (plus TMP_133 TMP_134) in (let TMP_136 \def (weight_map f0 t0)
 186 in (let TMP_137 \def (weight_map g t0) in (let TMP_138 \def (weight_map f0
 187 t1) in (let TMP_139 \def (weight_map g t1) in (let TMP_140 \def (H f0 g H1)
 188 in (let TMP_141 \def (H0 f0 g H1) in (let TMP_142 \def (le_plus_plus TMP_136
 189 TMP_137 TMP_138 TMP_139 TMP_140 TMP_141) in (le_n_S TMP_132 TMP_135
 190 TMP_142)))))))))))))))))))))) in (K_ind TMP_12 TMP_129 TMP_143 k))))) in
 191 (T_ind TMP_3 TMP_6 TMP_7 TMP_144 t))))).
 192
 193 theorem weight_eq:
 194  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 195 nat))).(((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n)))) \to (eq nat (weight_map f
 196 t) (weight_map g t)))))
 197 \def
 198  \lambda (t: T).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 199 nat))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n))))).(let TMP_1
 200 \def (weight_map f t) in (let TMP_2 \def (weight_map g t) in (let TMP_10 \def
 201 (\lambda (n: nat).(let TMP_3 \def (g n) in (let TMP_5 \def (\lambda (n0:
 202 nat).(let TMP_4 \def (g n) in (le n0 TMP_4))) in (let TMP_6 \def (g n) in
 203 (let TMP_7 \def (le_n TMP_6) in (let TMP_8 \def (f n) in (let TMP_9 \def (H
 204 n) in (eq_ind_r nat TMP_3 TMP_5 TMP_7 TMP_8 TMP_9)))))))) in (let TMP_11 \def
 205 (weight_le t f g TMP_10) in (let TMP_19 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_12
 206 \def (g n) in (let TMP_14 \def (\lambda (n0: nat).(let TMP_13 \def (g n) in
 207 (le TMP_13 n0))) in (let TMP_15 \def (g n) in (let TMP_16 \def (le_n TMP_15)
 208 in (let TMP_17 \def (f n) in (let TMP_18 \def (H n) in (eq_ind_r nat TMP_12
 209 TMP_14 TMP_16 TMP_17 TMP_18)))))))) in (let TMP_20 \def (weight_le t g f
 210 TMP_19) in (le_antisym TMP_1 TMP_2 TMP_11 TMP_20)))))))))).
 211
 212 theorem weight_add_O:
 213  \forall (t: T).(eq nat (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 214 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 215 \def
 216  \lambda (t: T).(let TMP_1 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_2 \def (wadd
 217 TMP_1 O) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_4 \def (\lambda
 218 (n: nat).(wadd_O n)) in (weight_eq t TMP_2 TMP_3 TMP_4))))).
 219
 220 theorem weight_add_S:
 221  \forall (t: T).(\forall (m: nat).(le (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O)
 222 O) t) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) t)))
 223 \def
 224  \lambda (t: T).(\lambda (m: nat).(let TMP_1 \def (\lambda (_: nat).O) in
 225 (let TMP_2 \def (wadd TMP_1 O) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: nat).O) in
 226 (let TMP_4 \def (S m) in (let TMP_5 \def (wadd TMP_3 TMP_4) in (let TMP_12
 227 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_6 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_7
 228 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_8 \def (\lambda (_: nat).(le_O_n O)) in
 229 (let TMP_9 \def (S m) in (let TMP_10 \def (S m) in (let TMP_11 \def (le_O_n
 230 TMP_10) in (wadd_le TMP_6 TMP_7 TMP_8 O TMP_9 TMP_11 n)))))))) in (weight_le
 231 t TMP_2 TMP_5 TMP_12)))))))).
 232
 233 theorem tlt_trans:
 234  \forall (v: T).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((tlt u v) \to ((tlt v t) \to
 235 (tlt u t)))))
 236 \def
 237  \lambda (v: T).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (lt (weight u)
 238 (weight v))).(\lambda (H0: (lt (weight v) (weight t))).(let TMP_1 \def
 239 (weight u) in (let TMP_2 \def (weight v) in (let TMP_3 \def (weight t) in
 240 (lt_trans TMP_1 TMP_2 TMP_3 H H0)))))))).
 241
 242 theorem tlt_head_sx:
 243  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt u (THead k u t))))
 244 \def
 245  \lambda (k: K).(let TMP_6 \def (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t:
 246 T).(let TMP_1 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_2 \def (weight_map TMP_1
 247 u) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_4 \def (THead k0 u t)
 248 in (let TMP_5 \def (weight_map TMP_3 TMP_4) in (lt TMP_2 TMP_5))))))))) in
 249 (let TMP_83 \def (\lambda (b: B).(let TMP_31 \def (\lambda (b0: B).(\forall
 250 (u: T).(\forall (t: T).(let TMP_7 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_8
 251 \def (weight_map TMP_7 u) in (let TMP_30 \def (match b0 with [Abbr
 252 \Rightarrow (let TMP_21 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_22 \def
 253 (weight_map TMP_21 u) in (let TMP_23 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_24
 254 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_25 \def (weight_map TMP_24 u) in (let
 255 TMP_26 \def (S TMP_25) in (let TMP_27 \def (wadd TMP_23 TMP_26) in (let
 256 TMP_28 \def (weight_map TMP_27 t) in (let TMP_29 \def (plus TMP_22 TMP_28) in
 257 (S TMP_29)))))))))) | Abst \Rightarrow (let TMP_15 \def (\lambda (_: nat).O)
 258 in (let TMP_16 \def (weight_map TMP_15 u) in (let TMP_17 \def (\lambda (_:
 259 nat).O) in (let TMP_18 \def (wadd TMP_17 O) in (let TMP_19 \def (weight_map
 260 TMP_18 t) in (let TMP_20 \def (plus TMP_16 TMP_19) in (S TMP_20))))))) | Void
 261 \Rightarrow (let TMP_9 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_10 \def
 262 (weight_map TMP_9 u) in (let TMP_11 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_12
 263 \def (wadd TMP_11 O) in (let TMP_13 \def (weight_map TMP_12 t) in (let TMP_14
 264 \def (plus TMP_10 TMP_13) in (S TMP_14)))))))]) in (lt TMP_8 TMP_30))))))) in
 265 (let TMP_52 \def (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(let TMP_32 \def (\lambda
 266 (_: nat).O) in (let TMP_33 \def (weight_map TMP_32 u) in (let TMP_34 \def
 267 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_35 \def (weight_map TMP_34 u) in (let TMP_36
 268 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_37 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 269 TMP_38 \def (weight_map TMP_37 u) in (let TMP_39 \def (S TMP_38) in (let
 270 TMP_40 \def (wadd TMP_36 TMP_39) in (let TMP_41 \def (weight_map TMP_40 t) in
 271 (let TMP_42 \def (plus TMP_35 TMP_41) in (let TMP_43 \def (\lambda (_:
 272 nat).O) in (let TMP_44 \def (weight_map TMP_43 u) in (let TMP_45 \def
 273 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_46 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_47
 274 \def (weight_map TMP_46 u) in (let TMP_48 \def (S TMP_47) in (let TMP_49 \def
 275 (wadd TMP_45 TMP_48) in (let TMP_50 \def (weight_map TMP_49 t) in (let TMP_51
 276 \def (le_plus_l TMP_44 TMP_50) in (le_n_S TMP_33 TMP_42
 277 TMP_51))))))))))))))))))))))) in (let TMP_67 \def (\lambda (u: T).(\lambda
 278 (t: T).(let TMP_53 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_54 \def (weight_map
 279 TMP_53 u) in (let TMP_55 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_56 \def
 280 (weight_map TMP_55 u) in (let TMP_57 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_58
 281 \def (wadd TMP_57 O) in (let TMP_59 \def (weight_map TMP_58 t) in (let TMP_60
 282 \def (plus TMP_56 TMP_59) in (let TMP_61 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 283 TMP_62 \def (weight_map TMP_61 u) in (let TMP_63 \def (\lambda (_: nat).O) in
 284 (let TMP_64 \def (wadd TMP_63 O) in (let TMP_65 \def (weight_map TMP_64 t) in
 285 (let TMP_66 \def (le_plus_l TMP_62 TMP_65) in (le_n_S TMP_54 TMP_60
 286 TMP_66))))))))))))))))) in (let TMP_82 \def (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 287 T).(let TMP_68 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_69 \def (weight_map
 288 TMP_68 u) in (let TMP_70 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_71 \def
 289 (weight_map TMP_70 u) in (let TMP_72 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_73
 290 \def (wadd TMP_72 O) in (let TMP_74 \def (weight_map TMP_73 t) in (let TMP_75
 291 \def (plus TMP_71 TMP_74) in (let TMP_76 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 292 TMP_77 \def (weight_map TMP_76 u) in (let TMP_78 \def (\lambda (_: nat).O) in
 293 (let TMP_79 \def (wadd TMP_78 O) in (let TMP_80 \def (weight_map TMP_79 t) in
 294 (let TMP_81 \def (le_plus_l TMP_77 TMP_80) in (le_n_S TMP_69 TMP_75
 295 TMP_81))))))))))))))))) in (B_ind TMP_31 TMP_52 TMP_67 TMP_82 b)))))) in (let
 296 TMP_96 \def (\lambda (_: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(let TMP_84 \def
 297 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_85 \def (weight_map TMP_84 u) in (let TMP_86
 298 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_87 \def (weight_map TMP_86 u) in (let
 299 TMP_88 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_89 \def (weight_map TMP_88 t) in
 300 (let TMP_90 \def (plus TMP_87 TMP_89) in (let TMP_91 \def (\lambda (_:
 301 nat).O) in (let TMP_92 \def (weight_map TMP_91 u) in (let TMP_93 \def
 302 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_94 \def (weight_map TMP_93 t) in (let TMP_95
 303 \def (le_plus_l TMP_92 TMP_94) in (le_n_S TMP_85 TMP_90
 304 TMP_95)))))))))))))))) in (K_ind TMP_6 TMP_83 TMP_96 k)))).
 305
 306 theorem tlt_head_dx:
 307  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt t (THead k u t))))
 308 \def
 309  \lambda (k: K).(let TMP_6 \def (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t:
 310 T).(let TMP_1 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_2 \def (weight_map TMP_1
 311 t) in (let TMP_3 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_4 \def (THead k0 u t)
 312 in (let TMP_5 \def (weight_map TMP_3 TMP_4) in (lt TMP_2 TMP_5))))))))) in
 313 (let TMP_161 \def (\lambda (b: B).(let TMP_31 \def (\lambda (b0: B).(\forall
 314 (u: T).(\forall (t: T).(let TMP_7 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_8
 315 \def (weight_map TMP_7 t) in (let TMP_30 \def (match b0 with [Abbr
 316 \Rightarrow (let TMP_21 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_22 \def
 317 (weight_map TMP_21 u) in (let TMP_23 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_24
 318 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_25 \def (weight_map TMP_24 u) in (let
 319 TMP_26 \def (S TMP_25) in (let TMP_27 \def (wadd TMP_23 TMP_26) in (let
 320 TMP_28 \def (weight_map TMP_27 t) in (let TMP_29 \def (plus TMP_22 TMP_28) in
 321 (S TMP_29)))))))))) | Abst \Rightarrow (let TMP_15 \def (\lambda (_: nat).O)
 322 in (let TMP_16 \def (weight_map TMP_15 u) in (let TMP_17 \def (\lambda (_:
 323 nat).O) in (let TMP_18 \def (wadd TMP_17 O) in (let TMP_19 \def (weight_map
 324 TMP_18 t) in (let TMP_20 \def (plus TMP_16 TMP_19) in (S TMP_20))))))) | Void
 325 \Rightarrow (let TMP_9 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_10 \def
 326 (weight_map TMP_9 u) in (let TMP_11 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_12
 327 \def (wadd TMP_11 O) in (let TMP_13 \def (weight_map TMP_12 t) in (let TMP_14
 328 \def (plus TMP_10 TMP_13) in (S TMP_14)))))))]) in (lt TMP_8 TMP_30))))))) in
 329 (let TMP_106 \def (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(let TMP_32 \def (\lambda
 330 (_: nat).O) in (let TMP_33 \def (weight_map TMP_32 t) in (let TMP_34 \def
 331 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_35 \def (weight_map TMP_34 t) in (let TMP_36
 332 \def (S TMP_35) in (let TMP_37 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_38 \def
 333 (weight_map TMP_37 u) in (let TMP_39 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_40
 334 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_41 \def (weight_map TMP_40 u) in (let
 335 TMP_42 \def (S TMP_41) in (let TMP_43 \def (wadd TMP_39 TMP_42) in (let
 336 TMP_44 \def (weight_map TMP_43 t) in (let TMP_45 \def (plus TMP_38 TMP_44) in
 337 (let TMP_46 \def (S TMP_45) in (let TMP_47 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 338 TMP_48 \def (weight_map TMP_47 t) in (let TMP_49 \def (lt_n_Sn TMP_48) in
 339 (let TMP_50 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_51 \def (weight_map TMP_50
 340 t) in (let TMP_52 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_53 \def (weight_map
 341 TMP_52 u) in (let TMP_54 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_55 \def
 342 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_56 \def (weight_map TMP_55 u) in (let TMP_57
 343 \def (S TMP_56) in (let TMP_58 \def (wadd TMP_54 TMP_57) in (let TMP_59 \def
 344 (weight_map TMP_58 t) in (let TMP_60 \def (plus TMP_53 TMP_59) in (let TMP_61
 345 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_62 \def (weight_map TMP_61 t) in (let
 346 TMP_63 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_64 \def (\lambda (_: nat).O) in
 347 (let TMP_65 \def (weight_map TMP_64 u) in (let TMP_66 \def (S TMP_65) in (let
 348 TMP_67 \def (wadd TMP_63 TMP_66) in (let TMP_68 \def (weight_map TMP_67 t) in
 349 (let TMP_69 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_70 \def (weight_map TMP_69
 350 u) in (let TMP_71 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_72 \def (\lambda (_:
 351 nat).O) in (let TMP_73 \def (weight_map TMP_72 u) in (let TMP_74 \def (S
 352 TMP_73) in (let TMP_75 \def (wadd TMP_71 TMP_74) in (let TMP_76 \def
 353 (weight_map TMP_75 t) in (let TMP_77 \def (plus TMP_70 TMP_76) in (let TMP_78
 354 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_79 \def (wadd TMP_78 O) in (let TMP_80
 355 \def (weight_map TMP_79 t) in (let TMP_87 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_81
 356 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_82 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 357 TMP_83 \def (weight_map TMP_82 u) in (let TMP_84 \def (S TMP_83) in (let
 358 TMP_85 \def (wadd TMP_81 TMP_84) in (let TMP_86 \def (weight_map TMP_85 t) in
 359 (le n TMP_86)))))))) in (let TMP_88 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_89
 360 \def (weight_map TMP_88 u) in (let TMP_90 \def (weight_add_S t TMP_89) in
 361 (let TMP_91 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_92 \def (weight_map TMP_91
 362 t) in (let TMP_93 \def (weight_add_O t) in (let TMP_94 \def (eq_ind nat
 363 TMP_80 TMP_87 TMP_90 TMP_92 TMP_93) in (let TMP_95 \def (\lambda (_: nat).O)
 364 in (let TMP_96 \def (weight_map TMP_95 u) in (let TMP_97 \def (\lambda (_:
 365 nat).O) in (let TMP_98 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_99 \def
 366 (weight_map TMP_98 u) in (let TMP_100 \def (S TMP_99) in (let TMP_101 \def
 367 (wadd TMP_97 TMP_100) in (let TMP_102 \def (weight_map TMP_101 t) in (let
 368 TMP_103 \def (le_plus_r TMP_96 TMP_102) in (let TMP_104 \def (le_trans TMP_62
 369 TMP_68 TMP_77 TMP_94 TMP_103) in (let TMP_105 \def (le_n_S TMP_51 TMP_60
 370 TMP_104) in (lt_le_trans TMP_33 TMP_36 TMP_46 TMP_49
 371 TMP_105)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
 372  in (let TMP_133 \def (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(let TMP_107 \def
 373 (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_108 \def (weight_map TMP_107 t) in (let
 374 TMP_115 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_109 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 375 TMP_110 \def (weight_map TMP_109 t) in (let TMP_111 \def (\lambda (_: nat).O)
 376 in (let TMP_112 \def (weight_map TMP_111 u) in (let TMP_113 \def (plus
 377 TMP_112 n) in (let TMP_114 \def (S TMP_113) in (lt TMP_110 TMP_114)))))))) in
 378 (let TMP_116 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_117 \def (weight_map
 379 TMP_116 t) in (let TMP_118 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_119 \def
 380 (weight_map TMP_118 u) in (let TMP_120 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 381 TMP_121 \def (weight_map TMP_120 t) in (let TMP_122 \def (plus TMP_119
 382 TMP_121) in (let TMP_123 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_124 \def
 383 (weight_map TMP_123 u) in (let TMP_125 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 384 TMP_126 \def (weight_map TMP_125 t) in (let TMP_127 \def (le_plus_r TMP_124
 385 TMP_126) in (let TMP_128 \def (le_n_S TMP_117 TMP_122 TMP_127) in (let
 386 TMP_129 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_130 \def (wadd TMP_129 O) in
 387 (let TMP_131 \def (weight_map TMP_130 t) in (let TMP_132 \def (weight_add_O
 388 t) in (eq_ind_r nat TMP_108 TMP_115 TMP_128 TMP_131
 389 TMP_132))))))))))))))))))))))) in (let TMP_160 \def (\lambda (u: T).(\lambda
 390 (t: T).(let TMP_134 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_135 \def
 391 (weight_map TMP_134 t) in (let TMP_142 \def (\lambda (n: nat).(let TMP_136
 392 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_137 \def (weight_map TMP_136 t) in (let
 393 TMP_138 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_139 \def (weight_map TMP_138 u)
 394 in (let TMP_140 \def (plus TMP_139 n) in (let TMP_141 \def (S TMP_140) in (lt
 395 TMP_137 TMP_141)))))))) in (let TMP_143 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 396 TMP_144 \def (weight_map TMP_143 t) in (let TMP_145 \def (\lambda (_: nat).O)
 397 in (let TMP_146 \def (weight_map TMP_145 u) in (let TMP_147 \def (\lambda (_:
 398 nat).O) in (let TMP_148 \def (weight_map TMP_147 t) in (let TMP_149 \def
 399 (plus TMP_146 TMP_148) in (let TMP_150 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 400 TMP_151 \def (weight_map TMP_150 u) in (let TMP_152 \def (\lambda (_: nat).O)
 401 in (let TMP_153 \def (weight_map TMP_152 t) in (let TMP_154 \def (le_plus_r
 402 TMP_151 TMP_153) in (let TMP_155 \def (le_n_S TMP_144 TMP_149 TMP_154) in
 403 (let TMP_156 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_157 \def (wadd TMP_156 O)
 404 in (let TMP_158 \def (weight_map TMP_157 t) in (let TMP_159 \def
 405 (weight_add_O t) in (eq_ind_r nat TMP_135 TMP_142 TMP_155 TMP_158
 406 TMP_159))))))))))))))))))))))) in (B_ind TMP_31 TMP_106 TMP_133 TMP_160
 407 b)))))) in (let TMP_174 \def (\lambda (_: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t:
 408 T).(let TMP_162 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_163 \def (weight_map
 409 TMP_162 t) in (let TMP_164 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_165 \def
 410 (weight_map TMP_164 u) in (let TMP_166 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 411 TMP_167 \def (weight_map TMP_166 t) in (let TMP_168 \def (plus TMP_165
 412 TMP_167) in (let TMP_169 \def (\lambda (_: nat).O) in (let TMP_170 \def
 413 (weight_map TMP_169 u) in (let TMP_171 \def (\lambda (_: nat).O) in (let
 414 TMP_172 \def (weight_map TMP_171 t) in (let TMP_173 \def (le_plus_r TMP_170
 415 TMP_172) in (le_n_S TMP_163 TMP_168 TMP_173)))))))))))))))) in (K_ind TMP_6
 416 TMP_161 TMP_174 k)))).
 417
 418 theorem tle_r:
 419  \forall (t: T).(tle t t)
 420 \def
 421  \lambda (t: T).(let TMP_3 \def (\lambda (t0: T).(let TMP_1 \def (tweight t0)
 422 in (let TMP_2 \def (tweight t0) in (le TMP_1 TMP_2)))) in (let TMP_5 \def
 423 (\lambda (_: nat).(let TMP_4 \def (S O) in (le_n TMP_4))) in (let TMP_7 \def
 424 (\lambda (_: nat).(let TMP_6 \def (S O) in (le_n TMP_6))) in (let TMP_12 \def
 425 (\lambda (_: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (le (tweight t0) (tweight
 426 t0))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (le (tweight t1) (tweight t1))).(let
 427 TMP_8 \def (tweight t0) in (let TMP_9 \def (tweight t1) in (let TMP_10 \def
 428 (plus TMP_8 TMP_9) in (let TMP_11 \def (S TMP_10) in (le_n TMP_11))))))))))
 429 in (T_ind TMP_3 TMP_5 TMP_7 TMP_12 t))))).
 430