matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/wf3/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/wf3/ty3.ma".
  18
  19 include "basic_1/app/defs.ma".
  20
  21 lemma wf3_total:
  22  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(ex C (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2))))
  23 \def
  24  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(C_ind (\lambda (c: C).(ex C (\lambda (c2:
  25 C).(wf3 g c c2)))) (\lambda (n: nat).(ex_intro C (\lambda (c2: C).(wf3 g
  26 (CSort n) c2)) (CSort n) (wf3_sort g n))) (\lambda (c: C).(\lambda (H: (ex C
  27 (\lambda (c2: C).(wf3 g c c2)))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(let H0 \def
  28 H in (ex_ind C (\lambda (c2: C).(wf3 g c c2)) (ex C (\lambda (c2: C).(wf3 g
  29 (CHead c k t) c2))) (\lambda (x: C).(\lambda (H1: (wf3 g c x)).(K_ind
  30 (\lambda (k0: K).(ex C (\lambda (c2: C).(wf3 g (CHead c k0 t) c2)))) (\lambda
  31 (b: B).(let H_x \def (ty3_inference g c t) in (let H2 \def H_x in (or_ind (ex
  32 T (\lambda (t2: T).(ty3 g c t t2))) (\forall (t2: T).((ty3 g c t t2) \to
  33 False)) (ex C (\lambda (c2: C).(wf3 g (CHead c (Bind b) t) c2))) (\lambda
  34 (H3: (ex T (\lambda (t2: T).(ty3 g c t t2)))).(ex_ind T (\lambda (t2: T).(ty3
  35 g c t t2)) (ex C (\lambda (c2: C).(wf3 g (CHead c (Bind b) t) c2))) (\lambda
  36 (x0: T).(\lambda (H4: (ty3 g c t x0)).(ex_intro C (\lambda (c2: C).(wf3 g
  37 (CHead c (Bind b) t) c2)) (CHead x (Bind b) t) (wf3_bind g c x H1 t x0 H4
  38 b)))) H3)) (\lambda (H3: ((\forall (t2: T).((ty3 g c t t2) \to
  39 False)))).(ex_intro C (\lambda (c2: C).(wf3 g (CHead c (Bind b) t) c2))
  40 (CHead x (Bind Void) (TSort O)) (wf3_void g c x H1 t H3 b))) H2)))) (\lambda
  41 (f: F).(ex_intro C (\lambda (c2: C).(wf3 g (CHead c (Flat f) t) c2)) x
  42 (wf3_flat g c x H1 t f))) k))) H0)))))) c1)).
  43
  44 lemma ty3_shift1:
  45  \forall (g: G).(\forall (c: C).((wf3 g c c) \to (\forall (t1: T).(\forall
  46 (t2: T).((ty3 g c t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c)) (app1 c t1) (app1 c
  47 t2)))))))
  48 \def
  49  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (H: (wf3 g c c)).(insert_eq C c
  50 (\lambda (c0: C).(wf3 g c0 c)) (\lambda (c0: C).(\forall (t1: T).(\forall
  51 (t2: T).((ty3 g c0 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c0)) (app1 c0 t1) (app1 c0
  52 t2)))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g y c)).(wf3_ind g (\lambda (c0:
  53 C).(\lambda (c1: C).((eq C c0 c1) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((ty3
  54 g c0 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c0)) (app1 c0 t1) (app1 c0 t2))))))))
  55 (\lambda (m: nat).(\lambda (_: (eq C (CSort m) (CSort m))).(\lambda (t1:
  56 T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H2: (ty3 g (CSort m) t1 t2)).H2))))) (\lambda
  57 (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C
  58 c1 c2) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((ty3 g c1 t1 t2) \to (ty3 g
  59 (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t1) (app1 c1 t2)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
  60 (t: T).(\lambda (H3: (ty3 g c1 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C
  61 (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind b) u))).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
  62 T).(\lambda (H5: (ty3 g (CHead c1 (Bind b) u) t1 t2)).(let H6 \def (f_equal C
  63 C (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c1 | (CHead c0 _ _)
  64 \Rightarrow c0])) (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind b) u) H4) in (let H7
  65 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c1 c0) \to (\forall (t3:
  66 T).(\forall (t4: T).((ty3 g c1 t3 t4) \to (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1
  67 t3) (app1 c1 t4))))))) H2 c1 H6) in (let H8 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0:
  68 C).(wf3 g c1 c0)) H1 c1 H6) in (ex_ind T (\lambda (t0: T).(ty3 g (CHead c1
  69 (Bind b) u) t2 t0)) (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Bind b) u t1))
  70 (app1 c1 (THead (Bind b) u t2))) (\lambda (x: T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead
  71 c1 (Bind b) u) t2 x)).(H7 (refl_equal C c1) (THead (Bind b) u t1) (THead
  72 (Bind b) u t2) (ty3_bind g c1 u t H3 b t1 t2 H5)))) (ty3_correct g (CHead c1
  73 (Bind b) u) t1 t2 H5))))))))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2:
  74 C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c1 c2) \to (\forall
  75 (t1: T).(\forall (t2: T).((ty3 g c1 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1
  76 c1 t1) (app1 c1 t2)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: ((\forall (t:
  77 T).((ty3 g c1 u t) \to False)))).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead
  78 c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)))).(\lambda (t1: T).(\lambda
  79 (t2: T).(\lambda (H5: (ty3 g (CHead c1 (Bind b) u) t1 t2)).(let H6 \def
  80 (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c1 | (CHead
  81 c0 _ _) \Rightarrow c0])) (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort
  82 O)) H4) in ((let H7 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e with [(CSort
  83 _) \Rightarrow b | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with [(Bind b0)
  84 \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow b])])) (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2
  85 (Bind Void) (TSort O)) H4) in ((let H8 \def (f_equal C T (\lambda (e:
  86 C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t) \Rightarrow t]))
  87 (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) H4) in (\lambda (H9:
  88 (eq B b Void)).(\lambda (H10: (eq C c1 c2)).(let H11 \def (eq_ind B b
  89 (\lambda (b0: B).(ty3 g (CHead c1 (Bind b0) u) t1 t2)) H5 Void H9) in
  90 (eq_ind_r B Void (\lambda (b0: B).(ty3 g (CSort (cbk (CHead c1 (Bind b0) u)))
  91 (app1 (CHead c1 (Bind b0) u) t1) (app1 (CHead c1 (Bind b0) u) t2))) (let H12
  92 \def (eq_ind T u (\lambda (t: T).(ty3 g (CHead c1 (Bind Void) t) t1 t2)) H11
  93 (TSort O) H8) in (let H13 \def (eq_ind T u (\lambda (t: T).(\forall (t0:
  94 T).((ty3 g c1 t t0) \to False))) H3 (TSort O) H8) in (eq_ind_r T (TSort O)
  95 (\lambda (t: T).(ty3 g (CSort (cbk (CHead c1 (Bind Void) t))) (app1 (CHead c1
  96 (Bind Void) t) t1) (app1 (CHead c1 (Bind Void) t) t2))) (let H14 \def
  97 (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c1 c0) \to (\forall (t3: T).(\forall
  98 (t4: T).((ty3 g c1 t3 t4) \to (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t3) (app1 c1
  99 t4))))))) H2 c1 H10) in (let H15 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g
 100 c1 c0)) H1 c1 H10) in (ex_ind T (\lambda (t: T).(ty3 g (CHead c1 (Bind Void)
 101 (TSort O)) t2 t)) (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Bind Void) (TSort
 102 O) t1)) (app1 c1 (THead (Bind Void) (TSort O) t2))) (\lambda (x: T).(\lambda
 103 (_: (ty3 g (CHead c1 (Bind Void) (TSort O)) t2 x)).(H14 (refl_equal C c1)
 104 (THead (Bind Void) (TSort O) t1) (THead (Bind Void) (TSort O) t2) (ty3_bind g
 105 c1 (TSort O) (TSort (next g O)) (ty3_sort g c1 O) Void t1 t2 H12))))
 106 (ty3_correct g (CHead c1 (Bind Void) (TSort O)) t1 t2 H12)))) u H8))) b
 107 H9))))) H7)) H6))))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1:
 108 (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c1 c2) \to (\forall (t1: T).(\forall
 109 (t2: T).((ty3 g c1 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t1) (app1 c1
 110 t2)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq C (CHead c1
 111 (Flat f) u) c2)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead
 112 c1 (Flat f) u) t1 t2)).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).e) (CHead c1
 113 (Flat f) u) c2 H3) in (let H6 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c1
 114 c0) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).((ty3 g c1 t3 t4) \to (ty3 g (CSort
 115 (cbk c1)) (app1 c1 t3) (app1 c1 t4))))))) H2 (CHead c1 (Flat f) u) H5) in
 116 (let H7 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 (CHead c1
 117 (Flat f) u) H5) in (let H_x \def (wf3_gen_head2 g c1 c1 u (Flat f) H7) in
 118 (let H8 \def H_x in (ex_ind B (\lambda (b: B).(eq K (Flat f) (Bind b))) (ty3
 119 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u t1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u
 120 t2))) (\lambda (x: B).(\lambda (H9: (eq K (Flat f) (Bind x))).(let H10 \def
 121 (eq_ind K (Flat f) (\lambda (ee: K).(match ee with [(Bind _) \Rightarrow
 122 False | (Flat _) \Rightarrow True])) I (Bind x) H9) in (False_ind (ty3 g
 123 (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u t1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u
 124 t2))) H10)))) H8)))))))))))))))) y c H0))) H))).
 125
 126 lemma wf3_idem:
 127  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (c2: C).((wf3 g c1 c2) \to (wf3 g
 128 c2 c2))))
 129 \def
 130  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H: (wf3 g c1
 131 c2)).(wf3_ind g (\lambda (_: C).(\lambda (c0: C).(wf3 g c0 c0))) (\lambda (m:
 132 nat).(wf3_sort g m)) (\lambda (c3: C).(\lambda (c4: C).(\lambda (H0: (wf3 g
 133 c3 c4)).(\lambda (H1: (wf3 g c4 c4)).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda
 134 (H2: (ty3 g c3 u t)).(\lambda (b: B).(wf3_bind g c4 c4 H1 u t (wf3_ty3_conf g
 135 c3 u t H2 c4 H0) b))))))))) (\lambda (c3: C).(\lambda (c4: C).(\lambda (_:
 136 (wf3 g c3 c4)).(\lambda (H1: (wf3 g c4 c4)).(\lambda (u: T).(\lambda (_:
 137 ((\forall (t: T).((ty3 g c3 u t) \to False)))).(\lambda (_: B).(wf3_bind g c4
 138 c4 H1 (TSort O) (TSort (next g O)) (ty3_sort g c4 O) Void)))))))) (\lambda
 139 (c3: C).(\lambda (c4: C).(\lambda (_: (wf3 g c3 c4)).(\lambda (H1: (wf3 g c4
 140 c4)).(\lambda (_: T).(\lambda (_: F).H1)))))) c1 c2 H)))).
 141
 142 lemma wf3_ty3:
 143  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (t: T).(\forall (u: T).((ty3 g c1 t
 144 u) \to (ex2 C (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (c2: C).(ty3 g c2 t
 145 u)))))))
 146 \def
 147  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (t: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
 148 (ty3 g c1 t u)).(let H_x \def (wf3_total g c1) in (let H0 \def H_x in (ex_ind
 149 C (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (ex2 C (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2))
 150 (\lambda (c2: C).(ty3 g c2 t u))) (\lambda (x: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1
 151 x)).(ex_intro2 C (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (c2: C).(ty3 g c2 t
 152 u)) x H1 (wf3_ty3_conf g c1 t u H x H1)))) H0))))))).
 153