matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1A/aprem/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1A/aprem/defs.ma".
  18
  19 implied rec lemma aprem_ind (P: (nat \to (A \to (A \to Prop)))) (f: (\forall
  20 (a1: A).(\forall (a2: A).(P O (AHead a1 a2) a1)))) (f0: (\forall (a2:
  21 A).(\forall (a: A).(\forall (i: nat).((aprem i a2 a) \to ((P i a2 a) \to
  22 (\forall (a1: A).(P (S i) (AHead a1 a2) a)))))))) (n: nat) (a: A) (a0: A)
  23 (a1: aprem n a a0) on a1: P n a a0 \def match a1 with [(aprem_zero a2 a3)
  24 \Rightarrow (f a2 a3) | (aprem_succ a2 a3 i a4 a5) \Rightarrow (f0 a2 a3 i a4
  25 ((aprem_ind P f f0) i a2 a3 a4) a5)].
  26
  27 lemma aprem_gen_sort:
  28  \forall (x: A).(\forall (i: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((aprem
  29 i (ASort h n) x) \to False))))
  30 \def
  31  \lambda (x: A).(\lambda (i: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (n:
  32 nat).(\lambda (H: (aprem i (ASort h n) x)).(insert_eq A (ASort h n) (\lambda
  33 (a: A).(aprem i a x)) (\lambda (_: A).False) (\lambda (y: A).(\lambda (H0:
  34 (aprem i y x)).(aprem_ind (\lambda (_: nat).(\lambda (a: A).(\lambda (_:
  35 A).((eq A a (ASort h n)) \to False)))) (\lambda (a1: A).(\lambda (a2:
  36 A).(\lambda (H1: (eq A (AHead a1 a2) (ASort h n))).(let H2 \def (eq_ind A
  37 (AHead a1 a2) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow False
  38 | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h n) H1) in (False_ind False
  39 H2))))) (\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_:
  40 (aprem i0 a2 a)).(\lambda (_: (((eq A a2 (ASort h n)) \to False))).(\lambda
  41 (a1: A).(\lambda (H3: (eq A (AHead a1 a2) (ASort h n))).(let H4 \def (eq_ind
  42 A (AHead a1 a2) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort _ _) \Rightarrow
  43 False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h n) H3) in (False_ind False
  44 H4))))))))) i y x H0))) H))))).
  45
  46 lemma aprem_gen_head_O:
  47  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (x: A).((aprem O (AHead a1 a2) x)
  48 \to (eq A x a1))))
  49 \def
  50  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (x: A).(\lambda (H: (aprem O
  51 (AHead a1 a2) x)).(insert_eq A (AHead a1 a2) (\lambda (a: A).(aprem O a x))
  52 (\lambda (_: A).(eq A x a1)) (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (aprem O y
  53 x)).(insert_eq nat O (\lambda (n: nat).(aprem n y x)) (\lambda (_: nat).((eq
  54 A y (AHead a1 a2)) \to (eq A x a1))) (\lambda (y0: nat).(\lambda (H1: (aprem
  55 y0 y x)).(aprem_ind (\lambda (n: nat).(\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq
  56 nat n O) \to ((eq A a (AHead a1 a2)) \to (eq A a0 a1)))))) (\lambda (a0:
  57 A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (eq nat O O)).(\lambda (H3: (eq A (AHead a0
  58 a3) (AHead a1 a2))).(let H4 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
  59 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a3)
  60 (AHead a1 a2) H3) in ((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
  61 [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a3)
  62 (AHead a1 a2) H3) in (\lambda (H6: (eq A a0 a1)).H6)) H4)))))) (\lambda (a0:
  63 A).(\lambda (a: A).(\lambda (i: nat).(\lambda (H2: (aprem i a0 a)).(\lambda
  64 (H3: (((eq nat i O) \to ((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to (eq A a a1))))).(\lambda
  65 (a3: A).(\lambda (H4: (eq nat (S i) O)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a0)
  66 (AHead a1 a2))).(let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
  67 [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a4 _) \Rightarrow a4])) (AHead a3 a0)
  68 (AHead a1 a2) H5) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with
  69 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a4) \Rightarrow a4])) (AHead a3 a0)
  70 (AHead a1 a2) H5) in (\lambda (_: (eq A a3 a1)).(let H9 \def (eq_ind A a0
  71 (\lambda (a4: A).((eq nat i O) \to ((eq A a4 (AHead a1 a2)) \to (eq A a
  72 a1)))) H3 a2 H7) in (let H10 \def (eq_ind A a0 (\lambda (a4: A).(aprem i a4
  73 a)) H2 a2 H7) in (let H11 \def (eq_ind nat (S i) (\lambda (ee: nat).(match ee
  74 with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H4) in (False_ind
  75 (eq A a a1) H11)))))) H6)))))))))) y0 y x H1))) H0))) H)))).
  76
  77 lemma aprem_gen_head_S:
  78  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (x: A).(\forall (i: nat).((aprem
  79 (S i) (AHead a1 a2) x) \to (aprem i a2 x)))))
  80 \def
  81  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (x: A).(\lambda (i: nat).(\lambda
  82 (H: (aprem (S i) (AHead a1 a2) x)).(insert_eq A (AHead a1 a2) (\lambda (a:
  83 A).(aprem (S i) a x)) (\lambda (_: A).(aprem i a2 x)) (\lambda (y:
  84 A).(\lambda (H0: (aprem (S i) y x)).(insert_eq nat (S i) (\lambda (n:
  85 nat).(aprem n y x)) (\lambda (_: nat).((eq A y (AHead a1 a2)) \to (aprem i a2
  86 x))) (\lambda (y0: nat).(\lambda (H1: (aprem y0 y x)).(aprem_ind (\lambda (n:
  87 nat).(\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq nat n (S i)) \to ((eq A a (AHead
  88 a1 a2)) \to (aprem i a2 a0)))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
  89 (H2: (eq nat O (S i))).(\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a3) (AHead a1 a2))).(let
  90 H4 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow
  91 a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a3) (AHead a1 a2) H3) in ((let H5
  92 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 |
  93 (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a3) (AHead a1 a2) H3) in (\lambda (H6:
  94 (eq A a0 a1)).(eq_ind_r A a1 (\lambda (a: A).(aprem i a2 a)) (let H7 \def
  95 (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _)
  96 \Rightarrow False])) I (S i) H2) in (False_ind (aprem i a2 a1) H7)) a0 H6)))
  97 H4)))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a: A).(\lambda (i0: nat).(\lambda (H2:
  98 (aprem i0 a0 a)).(\lambda (H3: (((eq nat i0 (S i)) \to ((eq A a0 (AHead a1
  99 a2)) \to (aprem i a2 a))))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H4: (eq nat (S i0) (S
 100 i))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a0) (AHead a1 a2))).(let H6 \def (f_equal
 101 A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a4 _)
 102 \Rightarrow a4])) (AHead a3 a0) (AHead a1 a2) H5) in ((let H7 \def (f_equal A
 103 A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a4)
 104 \Rightarrow a4])) (AHead a3 a0) (AHead a1 a2) H5) in (\lambda (_: (eq A a3
 105 a1)).(let H9 \def (eq_ind A a0 (\lambda (a4: A).((eq nat i0 (S i)) \to ((eq A
 106 a4 (AHead a1 a2)) \to (aprem i a2 a)))) H3 a2 H7) in (let H10 \def (eq_ind A
 107 a0 (\lambda (a4: A).(aprem i0 a4 a)) H2 a2 H7) in (let H11 \def (f_equal nat
 108 nat (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow i0 | (S n) \Rightarrow
 109 n])) (S i0) (S i) H4) in (let H12 \def (eq_ind nat i0 (\lambda (n: nat).((eq
 110 nat n (S i)) \to ((eq A a2 (AHead a1 a2)) \to (aprem i a2 a)))) H9 i H11) in
 111 (let H13 \def (eq_ind nat i0 (\lambda (n: nat).(aprem n a2 a)) H10 i H11) in
 112 H13))))))) H6)))))))))) y0 y x H1))) H0))) H))))).
 113