matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1A/drop/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1A/drop/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1A/lift/fwd.ma".
  20
  21 include "basic_1A/r/props.ma".
  22
  23 include "basic_1A/C/fwd.ma".
  24
  25 implied rec lemma drop_ind (P: (nat \to (nat \to (C \to (C \to Prop))))) (f:
  26 (\forall (c: C).(P O O c c))) (f0: (\forall (k: K).(\forall (h: nat).(\forall
  27 (c: C).(\forall (e: C).((drop (r k h) O c e) \to ((P (r k h) O c e) \to
  28 (\forall (u: T).(P (S h) O (CHead c k u) e))))))))) (f1: (\forall (k:
  29 K).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (c: C).(\forall (e: C).((drop
  30 h (r k d) c e) \to ((P h (r k d) c e) \to (\forall (u: T).(P h (S d) (CHead c
  31 k (lift h (r k d) u)) (CHead e k u))))))))))) (n: nat) (n0: nat) (c: C) (c0:
  32 C) (d: drop n n0 c c0) on d: P n n0 c c0 \def match d with [(drop_refl c1)
  33 \Rightarrow (f c1) | (drop_drop k h c1 e d0 u) \Rightarrow (f0 k h c1 e d0
  34 ((drop_ind P f f0 f1) (r k h) O c1 e d0) u) | (drop_skip k h d0 c1 e d1 u)
  35 \Rightarrow (f1 k h d0 c1 e d1 ((drop_ind P f f0 f1) h (r k d0) c1 e d1) u)].
  36
  37 lemma drop_gen_sort:
  38  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (x: C).((drop
  39 h d (CSort n) x) \to (and3 (eq C x (CSort n)) (eq nat h O) (eq nat d O))))))
  40 \def
  41  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (x:
  42 C).(\lambda (H: (drop h d (CSort n) x)).(insert_eq C (CSort n) (\lambda (c:
  43 C).(drop h d c x)) (\lambda (c: C).(and3 (eq C x c) (eq nat h O) (eq nat d
  44 O))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (drop h d y x)).(drop_ind (\lambda (n0:
  45 nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CSort n))
  46 \to (and3 (eq C c0 c) (eq nat n0 O) (eq nat n1 O))))))) (\lambda (c:
  47 C).(\lambda (H1: (eq C c (CSort n))).(let H2 \def (f_equal C C (\lambda (e:
  48 C).e) c (CSort n) H1) in (eq_ind_r C (CSort n) (\lambda (c0: C).(and3 (eq C
  49 c0 c0) (eq nat O O) (eq nat O O))) (and3_intro (eq C (CSort n) (CSort n)) (eq
  50 nat O O) (eq nat O O) (refl_equal C (CSort n)) (refl_equal nat O) (refl_equal
  51 nat O)) c H2)))) (\lambda (k: K).(\lambda (h0: nat).(\lambda (c: C).(\lambda
  52 (e: C).(\lambda (_: (drop (r k h0) O c e)).(\lambda (_: (((eq C c (CSort n))
  53 \to (and3 (eq C e c) (eq nat (r k h0) O) (eq nat O O))))).(\lambda (u:
  54 T).(\lambda (H3: (eq C (CHead c k u) (CSort n))).(let H4 \def (eq_ind C
  55 (CHead c k u) (\lambda (ee: C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow False |
  56 (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort n) H3) in (False_ind (and3 (eq C e
  57 (CHead c k u)) (eq nat (S h0) O) (eq nat O O)) H4)))))))))) (\lambda (k:
  58 K).(\lambda (h0: nat).(\lambda (d0: nat).(\lambda (c: C).(\lambda (e:
  59 C).(\lambda (_: (drop h0 (r k d0) c e)).(\lambda (_: (((eq C c (CSort n)) \to
  60 (and3 (eq C e c) (eq nat h0 O) (eq nat (r k d0) O))))).(\lambda (u:
  61 T).(\lambda (H3: (eq C (CHead c k (lift h0 (r k d0) u)) (CSort n))).(let H4
  62 \def (eq_ind C (CHead c k (lift h0 (r k d0) u)) (\lambda (ee: C).(match ee
  63 with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I
  64 (CSort n) H3) in (False_ind (and3 (eq C (CHead e k u) (CHead c k (lift h0 (r
  65 k d0) u))) (eq nat h0 O) (eq nat (S d0) O)) H4))))))))))) h d y x H0)))
  66 H))))).
  67
  68 lemma drop_gen_refl:
  69  \forall (x: C).(\forall (e: C).((drop O O x e) \to (eq C x e)))
  70 \def
  71  \lambda (x: C).(\lambda (e: C).(\lambda (H: (drop O O x e)).(insert_eq nat O
  72 (\lambda (n: nat).(drop n O x e)) (\lambda (_: nat).(eq C x e)) (\lambda (y:
  73 nat).(\lambda (H0: (drop y O x e)).(insert_eq nat O (\lambda (n: nat).(drop y
  74 n x e)) (\lambda (n: nat).((eq nat y n) \to (eq C x e))) (\lambda (y0:
  75 nat).(\lambda (H1: (drop y y0 x e)).(drop_ind (\lambda (n: nat).(\lambda (n0:
  76 nat).(\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).((eq nat n0 O) \to ((eq nat n n0) \to
  77 (eq C c c0))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (_: (eq nat O O)).(\lambda (_: (eq
  78 nat O O)).(refl_equal C c)))) (\lambda (k: K).(\lambda (h: nat).(\lambda (c:
  79 C).(\lambda (e0: C).(\lambda (_: (drop (r k h) O c e0)).(\lambda (_: (((eq
  80 nat O O) \to ((eq nat (r k h) O) \to (eq C c e0))))).(\lambda (u: T).(\lambda
  81 (_: (eq nat O O)).(\lambda (H5: (eq nat (S h) O)).(let H6 \def (eq_ind nat (S
  82 h) (\lambda (ee: nat).(match ee with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
  83 True])) I O H5) in (False_ind (eq C (CHead c k u) e0) H6))))))))))) (\lambda
  84 (k: K).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (c: C).(\lambda (e0:
  85 C).(\lambda (H2: (drop h (r k d) c e0)).(\lambda (H3: (((eq nat (r k d) O)
  86 \to ((eq nat h (r k d)) \to (eq C c e0))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H4: (eq
  87 nat (S d) O)).(\lambda (H5: (eq nat h (S d))).(let H6 \def (f_equal nat nat
  88 (\lambda (e1: nat).e1) h (S d) H5) in (let H7 \def (eq_ind nat h (\lambda (n:
  89 nat).((eq nat (r k d) O) \to ((eq nat n (r k d)) \to (eq C c e0)))) H3 (S d)
  90 H6) in (let H8 \def (eq_ind nat h (\lambda (n: nat).(drop n (r k d) c e0)) H2
  91 (S d) H6) in (eq_ind_r nat (S d) (\lambda (n: nat).(eq C (CHead c k (lift n
  92 (r k d) u)) (CHead e0 k u))) (let H9 \def (eq_ind nat (S d) (\lambda (ee:
  93 nat).(match ee with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H4)
  94 in (False_ind (eq C (CHead c k (lift (S d) (r k d) u)) (CHead e0 k u)) H9)) h
  95 H6)))))))))))))) y y0 x e H1))) H0))) H))).
  96
  97 lemma drop_gen_drop:
  98  \forall (k: K).(\forall (c: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).(\forall (h:
  99 nat).((drop (S h) O (CHead c k u) x) \to (drop (r k h) O c x))))))
 100 \def
 101  \lambda (k: K).(\lambda (c: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (h:
 102 nat).(\lambda (H: (drop (S h) O (CHead c k u) x)).(insert_eq C (CHead c k u)
 103 (\lambda (c0: C).(drop (S h) O c0 x)) (\lambda (_: C).(drop (r k h) O c x))
 104 (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (drop (S h) O y x)).(insert_eq nat O (\lambda
 105 (n: nat).(drop (S h) n y x)) (\lambda (n: nat).((eq C y (CHead c k u)) \to
 106 (drop (r k h) n c x))) (\lambda (y0: nat).(\lambda (H1: (drop (S h) y0 y
 107 x)).(insert_eq nat (S h) (\lambda (n: nat).(drop n y0 y x)) (\lambda (_:
 108 nat).((eq nat y0 O) \to ((eq C y (CHead c k u)) \to (drop (r k h) y0 c x))))
 109 (\lambda (y1: nat).(\lambda (H2: (drop y1 y0 y x)).(drop_ind (\lambda (n:
 110 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (c1: C).((eq nat n (S h))
 111 \to ((eq nat n0 O) \to ((eq C c0 (CHead c k u)) \to (drop (r k h) n0 c
 112 c1)))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (H3: (eq nat O (S h))).(\lambda (_: (eq
 113 nat O O)).(\lambda (H5: (eq C c0 (CHead c k u))).(eq_ind_r C (CHead c k u)
 114 (\lambda (c1: C).(drop (r k h) O c c1)) (let H6 \def (eq_ind nat O (\lambda
 115 (ee: nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I
 116 (S h) H3) in (False_ind (drop (r k h) O c (CHead c k u)) H6)) c0 H5)))))
 117 (\lambda (k0: K).(\lambda (h0: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (e: C).(\lambda
 118 (H3: (drop (r k0 h0) O c0 e)).(\lambda (H4: (((eq nat (r k0 h0) (S h)) \to
 119 ((eq nat O O) \to ((eq C c0 (CHead c k u)) \to (drop (r k h) O c
 120 e)))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (H5: (eq nat (S h0) (S h))).(\lambda (_:
 121 (eq nat O O)).(\lambda (H7: (eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead c k u))).(let H8
 122 \def (f_equal C C (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow c0 |
 123 (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c k u) H7) in ((let
 124 H9 \def (f_equal C K (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow
 125 k0 | (CHead _ k1 _) \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c k u) H7) in
 126 ((let H10 \def (f_equal C T (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _)
 127 \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c k
 128 u) H7) in (\lambda (H11: (eq K k0 k)).(\lambda (H12: (eq C c0 c)).(let H13
 129 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).((eq nat (r k0 h0) (S h)) \to ((eq nat O
 130 O) \to ((eq C c1 (CHead c k u)) \to (drop (r k h) O c e))))) H4 c H12) in
 131 (let H14 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(drop (r k0 h0) O c1 e)) H3 c
 132 H12) in (let H15 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq nat (r k1 h0) (S h))
 133 \to ((eq nat O O) \to ((eq C c (CHead c k u)) \to (drop (r k h) O c e)))))
 134 H13 k H11) in (let H16 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(drop (r k1 h0) O c
 135 e)) H14 k H11) in (let H17 \def (f_equal nat nat (\lambda (e0: nat).(match e0
 136 with [O \Rightarrow h0 | (S n) \Rightarrow n])) (S h0) (S h) H5) in (let H18
 137 \def (eq_ind nat h0 (\lambda (n: nat).((eq nat (r k n) (S h)) \to ((eq nat O
 138 O) \to ((eq C c (CHead c k u)) \to (drop (r k h) O c e))))) H15 h H17) in
 139 (let H19 \def (eq_ind nat h0 (\lambda (n: nat).(drop (r k n) O c e)) H16 h
 140 H17) in H19)))))))))) H9)) H8)))))))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (h0:
 141 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (e: C).(\lambda (H3: (drop
 142 h0 (r k0 d) c0 e)).(\lambda (H4: (((eq nat h0 (S h)) \to ((eq nat (r k0 d) O)
 143 \to ((eq C c0 (CHead c k u)) \to (drop (r k h) (r k0 d) c e)))))).(\lambda
 144 (u0: T).(\lambda (H5: (eq nat h0 (S h))).(\lambda (H6: (eq nat (S d)
 145 O)).(\lambda (H7: (eq C (CHead c0 k0 (lift h0 (r k0 d) u0)) (CHead c k
 146 u))).(let H8 \def (eq_ind nat h0 (\lambda (n: nat).(eq C (CHead c0 k0 (lift n
 147 (r k0 d) u0)) (CHead c k u))) H7 (S h) H5) in (let H9 \def (eq_ind nat h0
 148 (\lambda (n: nat).((eq nat n (S h)) \to ((eq nat (r k0 d) O) \to ((eq C c0
 149 (CHead c k u)) \to (drop (r k h) (r k0 d) c e))))) H4 (S h) H5) in (let H10
 150 \def (eq_ind nat h0 (\lambda (n: nat).(drop n (r k0 d) c0 e)) H3 (S h) H5) in
 151 (let H11 \def (f_equal C C (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _)
 152 \Rightarrow c0 | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead c0 k0 (lift (S h) (r
 153 k0 d) u0)) (CHead c k u) H8) in ((let H12 \def (f_equal C K (\lambda (e0:
 154 C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1 _) \Rightarrow
 155 k1])) (CHead c0 k0 (lift (S h) (r k0 d) u0)) (CHead c k u) H8) in ((let H13
 156 \def (f_equal C T (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow
 157 (lref_map (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S h))) (r k0 d) u0) | (CHead _ _ t)
 158 \Rightarrow t])) (CHead c0 k0 (lift (S h) (r k0 d) u0)) (CHead c k u) H8) in
 159 (\lambda (H14: (eq K k0 k)).(\lambda (H15: (eq C c0 c)).(let H16 \def (eq_ind
 160 C c0 (\lambda (c1: C).((eq nat (S h) (S h)) \to ((eq nat (r k0 d) O) \to ((eq
 161 C c1 (CHead c k u)) \to (drop (r k h) (r k0 d) c e))))) H9 c H15) in (let H17
 162 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(drop (S h) (r k0 d) c1 e)) H10 c H15) in
 163 (let H18 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(eq T (lift (S h) (r k1 d) u0)
 164 u)) H13 k H14) in (let H19 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq nat (S h)
 165 (S h)) \to ((eq nat (r k1 d) O) \to ((eq C c (CHead c k u)) \to (drop (r k h)
 166 (r k1 d) c e))))) H16 k H14) in (let H20 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1:
 167 K).(drop (S h) (r k1 d) c e)) H17 k H14) in (eq_ind_r K k (\lambda (k1:
 168 K).(drop (r k h) (S d) c (CHead e k1 u0))) (let H21 \def (eq_ind_r T u
 169 (\lambda (t: T).((eq nat (S h) (S h)) \to ((eq nat (r k d) O) \to ((eq C c
 170 (CHead c k t)) \to (drop (r k h) (r k d) c e))))) H19 (lift (S h) (r k d) u0)
 171 H18) in (let H22 \def (eq_ind nat (S d) (\lambda (ee: nat).(match ee with [O
 172 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H6) in (False_ind (drop (r
 173 k h) (S d) c (CHead e k u0)) H22))) k0 H14))))))))) H12)) H11))))))))))))))))
 174 y1 y0 y x H2))) H1))) H0))) H)))))).
 175
 176 lemma drop_gen_skip_r:
 177  \forall (c: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).(\forall (h: nat).(\forall
 178 (d: nat).(\forall (k: K).((drop h (S d) x (CHead c k u)) \to (ex2 C (\lambda
 179 (e: C).(eq C x (CHead e k (lift h (r k d) u)))) (\lambda (e: C).(drop h (r k
 180 d) e c)))))))))
 181 \def
 182  \lambda (c: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
 183 (d: nat).(\lambda (k: K).(\lambda (H: (drop h (S d) x (CHead c k
 184 u))).(insert_eq C (CHead c k u) (\lambda (c0: C).(drop h (S d) x c0))
 185 (\lambda (_: C).(ex2 C (\lambda (e: C).(eq C x (CHead e k (lift h (r k d)
 186 u)))) (\lambda (e: C).(drop h (r k d) e c)))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0:
 187 (drop h (S d) x y)).(insert_eq nat (S d) (\lambda (n: nat).(drop h n x y))
 188 (\lambda (_: nat).((eq C y (CHead c k u)) \to (ex2 C (\lambda (e: C).(eq C x
 189 (CHead e k (lift h (r k d) u)))) (\lambda (e: C).(drop h (r k d) e c)))))
 190 (\lambda (y0: nat).(\lambda (H1: (drop h y0 x y)).(drop_ind (\lambda (n:
 191 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (c1: C).((eq nat n0 (S d))
 192 \to ((eq C c1 (CHead c k u)) \to (ex2 C (\lambda (e: C).(eq C c0 (CHead e k
 193 (lift n (r k d) u)))) (\lambda (e: C).(drop n (r k d) e c))))))))) (\lambda
 194 (c0: C).(\lambda (H2: (eq nat O (S d))).(\lambda (H3: (eq C c0 (CHead c k
 195 u))).(eq_ind_r C (CHead c k u) (\lambda (c1: C).(ex2 C (\lambda (e: C).(eq C
 196 c1 (CHead e k (lift O (r k d) u)))) (\lambda (e: C).(drop O (r k d) e c))))
 197 (let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match ee with [O \Rightarrow
 198 True | (S _) \Rightarrow False])) I (S d) H2) in (False_ind (ex2 C (\lambda
 199 (e: C).(eq C (CHead c k u) (CHead e k (lift O (r k d) u)))) (\lambda (e:
 200 C).(drop O (r k d) e c))) H4)) c0 H3)))) (\lambda (k0: K).(\lambda (h0:
 201 nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (e: C).(\lambda (H2: (drop (r k0 h0) O c0
 202 e)).(\lambda (H3: (((eq nat O (S d)) \to ((eq C e (CHead c k u)) \to (ex2 C
 203 (\lambda (e0: C).(eq C c0 (CHead e0 k (lift (r k0 h0) (r k d) u)))) (\lambda
 204 (e0: C).(drop (r k0 h0) (r k d) e0 c))))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (H4:
 205 (eq nat O (S d))).(\lambda (H5: (eq C e (CHead c k u))).(let H6 \def (eq_ind
 206 C e (\lambda (c1: C).((eq nat O (S d)) \to ((eq C c1 (CHead c k u)) \to (ex2
 207 C (\lambda (e0: C).(eq C c0 (CHead e0 k (lift (r k0 h0) (r k d) u))))
 208 (\lambda (e0: C).(drop (r k0 h0) (r k d) e0 c)))))) H3 (CHead c k u) H5) in
 209 (let H7 \def (eq_ind C e (\lambda (c1: C).(drop (r k0 h0) O c0 c1)) H2 (CHead
 210 c k u) H5) in (let H8 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match ee with [O
 211 \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S d) H4) in (False_ind (ex2
 212 C (\lambda (e0: C).(eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead e0 k (lift (S h0) (r k d)
 213 u)))) (\lambda (e0: C).(drop (S h0) (r k d) e0 c))) H8))))))))))))) (\lambda
 214 (k0: K).(\lambda (h0: nat).(\lambda (d0: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (e:
 215 C).(\lambda (H2: (drop h0 (r k0 d0) c0 e)).(\lambda (H3: (((eq nat (r k0 d0)
 216 (S d)) \to ((eq C e (CHead c k u)) \to (ex2 C (\lambda (e0: C).(eq C c0
 217 (CHead e0 k (lift h0 (r k d) u)))) (\lambda (e0: C).(drop h0 (r k d) e0
 218 c))))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (H4: (eq nat (S d0) (S d))).(\lambda (H5:
 219 (eq C (CHead e k0 u0) (CHead c k u))).(let H6 \def (f_equal C C (\lambda (e0:
 220 C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow e | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1]))
 221 (CHead e k0 u0) (CHead c k u) H5) in ((let H7 \def (f_equal C K (\lambda (e0:
 222 C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1 _) \Rightarrow
 223 k1])) (CHead e k0 u0) (CHead c k u) H5) in ((let H8 \def (f_equal C T
 224 (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t)
 225 \Rightarrow t])) (CHead e k0 u0) (CHead c k u) H5) in (\lambda (H9: (eq K k0
 226 k)).(\lambda (H10: (eq C e c)).(eq_ind_r T u (\lambda (t: T).(ex2 C (\lambda
 227 (e0: C).(eq C (CHead c0 k0 (lift h0 (r k0 d0) t)) (CHead e0 k (lift h0 (r k
 228 d) u)))) (\lambda (e0: C).(drop h0 (r k d) e0 c)))) (let H11 \def (eq_ind C e
 229 (\lambda (c1: C).((eq nat (r k0 d0) (S d)) \to ((eq C c1 (CHead c k u)) \to
 230 (ex2 C (\lambda (e0: C).(eq C c0 (CHead e0 k (lift h0 (r k d) u)))) (\lambda
 231 (e0: C).(drop h0 (r k d) e0 c)))))) H3 c H10) in (let H12 \def (eq_ind C e
 232 (\lambda (c1: C).(drop h0 (r k0 d0) c0 c1)) H2 c H10) in (let H13 \def
 233 (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq nat (r k1 d0) (S d)) \to ((eq C c (CHead c
 234 k u)) \to (ex2 C (\lambda (e0: C).(eq C c0 (CHead e0 k (lift h0 (r k d) u))))
 235 (\lambda (e0: C).(drop h0 (r k d) e0 c)))))) H11 k H9) in (let H14 \def
 236 (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(drop h0 (r k1 d0) c0 c)) H12 k H9) in
 237 (eq_ind_r K k (\lambda (k1: K).(ex2 C (\lambda (e0: C).(eq C (CHead c0 k1
 238 (lift h0 (r k1 d0) u)) (CHead e0 k (lift h0 (r k d) u)))) (\lambda (e0:
 239 C).(drop h0 (r k d) e0 c)))) (let H15 \def (f_equal nat nat (\lambda (e0:
 240 nat).(match e0 with [O \Rightarrow d0 | (S n) \Rightarrow n])) (S d0) (S d)
 241 H4) in (let H16 \def (eq_ind nat d0 (\lambda (n: nat).((eq nat (r k n) (S d))
 242 \to ((eq C c (CHead c k u)) \to (ex2 C (\lambda (e0: C).(eq C c0 (CHead e0 k
 243 (lift h0 (r k d) u)))) (\lambda (e0: C).(drop h0 (r k d) e0 c)))))) H13 d
 244 H15) in (let H17 \def (eq_ind nat d0 (\lambda (n: nat).(drop h0 (r k n) c0
 245 c)) H14 d H15) in (eq_ind_r nat d (\lambda (n: nat).(ex2 C (\lambda (e0:
 246 C).(eq C (CHead c0 k (lift h0 (r k n) u)) (CHead e0 k (lift h0 (r k d) u))))
 247 (\lambda (e0: C).(drop h0 (r k d) e0 c)))) (ex_intro2 C (\lambda (e0: C).(eq
 248 C (CHead c0 k (lift h0 (r k d) u)) (CHead e0 k (lift h0 (r k d) u))))
 249 (\lambda (e0: C).(drop h0 (r k d) e0 c)) c0 (refl_equal C (CHead c0 k (lift
 250 h0 (r k d) u))) H17) d0 H15)))) k0 H9))))) u0 H8)))) H7)) H6)))))))))))) h y0
 251 x y H1))) H0))) H))))))).
 252
 253 lemma drop_gen_skip_l:
 254  \forall (c: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).(\forall (h: nat).(\forall
 255 (d: nat).(\forall (k: K).((drop h (S d) (CHead c k u) x) \to (ex3_2 C T
 256 (\lambda (e: C).(\lambda (v: T).(eq C x (CHead e k v)))) (\lambda (_:
 257 C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift h (r k d) v)))) (\lambda (e: C).(\lambda (_:
 258 T).(drop h (r k d) c e))))))))))
 259 \def
 260  \lambda (c: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
 261 (d: nat).(\lambda (k: K).(\lambda (H: (drop h (S d) (CHead c k u)
 262 x)).(insert_eq C (CHead c k u) (\lambda (c0: C).(drop h (S d) c0 x)) (\lambda
 263 (_: C).(ex3_2 C T (\lambda (e: C).(\lambda (v: T).(eq C x (CHead e k v))))
 264 (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift h (r k d) v)))) (\lambda (e:
 265 C).(\lambda (_: T).(drop h (r k d) c e))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0:
 266 (drop h (S d) y x)).(insert_eq nat (S d) (\lambda (n: nat).(drop h n y x))
 267 (\lambda (_: nat).((eq C y (CHead c k u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e:
 268 C).(\lambda (v: T).(eq C x (CHead e k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v:
 269 T).(eq T u (lift h (r k d) v)))) (\lambda (e: C).(\lambda (_: T).(drop h (r k
 270 d) c e)))))) (\lambda (y0: nat).(\lambda (H1: (drop h y0 y x)).(drop_ind
 271 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (c1: C).((eq
 272 nat n0 (S d)) \to ((eq C c0 (CHead c k u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e:
 273 C).(\lambda (v: T).(eq C c1 (CHead e k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v:
 274 T).(eq T u (lift n (r k d) v)))) (\lambda (e: C).(\lambda (_: T).(drop n (r k
 275 d) c e)))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (H2: (eq nat O (S d))).(\lambda
 276 (H3: (eq C c0 (CHead c k u))).(eq_ind_r C (CHead c k u) (\lambda (c1:
 277 C).(ex3_2 C T (\lambda (e: C).(\lambda (v: T).(eq C c1 (CHead e k v))))
 278 (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift O (r k d) v)))) (\lambda (e:
 279 C).(\lambda (_: T).(drop O (r k d) c e))))) (let H4 \def (eq_ind nat O
 280 (\lambda (ee: nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow
 281 False])) I (S d) H2) in (False_ind (ex3_2 C T (\lambda (e: C).(\lambda (v:
 282 T).(eq C (CHead c k u) (CHead e k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T
 283 u (lift O (r k d) v)))) (\lambda (e: C).(\lambda (_: T).(drop O (r k d) c
 284 e)))) H4)) c0 H3)))) (\lambda (k0: K).(\lambda (h0: nat).(\lambda (c0:
 285 C).(\lambda (e: C).(\lambda (H2: (drop (r k0 h0) O c0 e)).(\lambda (H3: (((eq
 286 nat O (S d)) \to ((eq C c0 (CHead c k u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e0:
 287 C).(\lambda (v: T).(eq C e (CHead e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v:
 288 T).(eq T u (lift (r k0 h0) (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_:
 289 T).(drop (r k0 h0) (r k d) c e0)))))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (H4: (eq
 290 nat O (S d))).(\lambda (H5: (eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead c k u))).(let H6
 291 \def (f_equal C C (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow c0 |
 292 (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c k u) H5) in ((let
 293 H7 \def (f_equal C K (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow
 294 k0 | (CHead _ k1 _) \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c k u) H5) in
 295 ((let H8 \def (f_equal C T (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _)
 296 \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c k
 297 u) H5) in (\lambda (H9: (eq K k0 k)).(\lambda (H10: (eq C c0 c)).(let H11
 298 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).((eq nat O (S d)) \to ((eq C c1 (CHead c k
 299 u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C e (CHead e0 k v))))
 300 (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift (r k0 h0) (r k d) v))))
 301 (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop (r k0 h0) (r k d) c e0))))))) H3 c
 302 H10) in (let H12 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(drop (r k0 h0) O c1 e))
 303 H2 c H10) in (let H13 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq nat O (S d))
 304 \to ((eq C c (CHead c k u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v:
 305 T).(eq C e (CHead e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift (r
 306 k1 h0) (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop (r k1 h0) (r k d)
 307 c e0))))))) H11 k H9) in (let H14 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(drop (r
 308 k1 h0) O c e)) H12 k H9) in (let H15 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 309 nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S d)
 310 H4) in (False_ind (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C e (CHead
 311 e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift (S h0) (r k d) v))))
 312 (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop (S h0) (r k d) c e0)))) H15)))))))))
 313 H7)) H6))))))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (h0: nat).(\lambda (d0:
 314 nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (e: C).(\lambda (H2: (drop h0 (r k0 d0) c0
 315 e)).(\lambda (H3: (((eq nat (r k0 d0) (S d)) \to ((eq C c0 (CHead c k u)) \to
 316 (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C e (CHead e0 k v))))
 317 (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0:
 318 C).(\lambda (_: T).(drop h0 (r k d) c e0)))))))).(\lambda (u0: T).(\lambda
 319 (H4: (eq nat (S d0) (S d))).(\lambda (H5: (eq C (CHead c0 k0 (lift h0 (r k0
 320 d0) u0)) (CHead c k u))).(let H6 \def (f_equal C C (\lambda (e0: C).(match e0
 321 with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead c0
 322 k0 (lift h0 (r k0 d0) u0)) (CHead c k u) H5) in ((let H7 \def (f_equal C K
 323 (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1 _)
 324 \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 (lift h0 (r k0 d0) u0)) (CHead c k u) H5) in
 325 ((let H8 \def (f_equal C T (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _)
 326 \Rightarrow (lref_map (\lambda (x0: nat).(plus x0 h0)) (r k0 d0) u0) | (CHead
 327 _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0 (lift h0 (r k0 d0) u0)) (CHead c k u)
 328 H5) in (\lambda (H9: (eq K k0 k)).(\lambda (H10: (eq C c0 c)).(let H11 \def
 329 (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).((eq nat (r k0 d0) (S d)) \to ((eq C c1 (CHead
 330 c k u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C e (CHead e0 k
 331 v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift h0 (r k d) v)))) (\lambda
 332 (e0: C).(\lambda (_: T).(drop h0 (r k d) c e0))))))) H3 c H10) in (let H12
 333 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(drop h0 (r k0 d0) c1 e)) H2 c H10) in
 334 (let H13 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(eq T (lift h0 (r k1 d0) u0) u))
 335 H8 k H9) in (let H14 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq nat (r k1 d0) (S
 336 d)) \to ((eq C c (CHead c k u)) \to (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v:
 337 T).(eq C e (CHead e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift h0
 338 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop h0 (r k d) c e0)))))))
 339 H11 k H9) in (let H15 \def (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(drop h0 (r k1 d0) c
 340 e)) H12 k H9) in (eq_ind_r K k (\lambda (k1: K).(ex3_2 C T (\lambda (e0:
 341 C).(\lambda (v: T).(eq C (CHead e k1 u0) (CHead e0 k v)))) (\lambda (_:
 342 C).(\lambda (v: T).(eq T u (lift h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda
 343 (_: T).(drop h0 (r k d) c e0))))) (let H16 \def (eq_ind_r T u (\lambda (t:
 344 T).((eq nat (r k d0) (S d)) \to ((eq C c (CHead c k t)) \to (ex3_2 C T
 345 (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C e (CHead e0 k v)))) (\lambda (_:
 346 C).(\lambda (v: T).(eq T t (lift h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda
 347 (_: T).(drop h0 (r k d) c e0))))))) H14 (lift h0 (r k d0) u0) H13) in (eq_ind
 348 T (lift h0 (r k d0) u0) (\lambda (t: T).(ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda
 349 (v: T).(eq C (CHead e k u0) (CHead e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v:
 350 T).(eq T t (lift h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop h0
 351 (r k d) c e0))))) (let H17 \def (f_equal nat nat (\lambda (e0: nat).(match e0
 352 with [O \Rightarrow d0 | (S n) \Rightarrow n])) (S d0) (S d) H4) in (let H18
 353 \def (eq_ind nat d0 (\lambda (n: nat).((eq nat (r k n) (S d)) \to ((eq C c
 354 (CHead c k (lift h0 (r k n) u0))) \to (ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda
 355 (v: T).(eq C e (CHead e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T (lift
 356 h0 (r k n) u0) (lift h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop
 357 h0 (r k d) c e0))))))) H16 d H17) in (let H19 \def (eq_ind nat d0 (\lambda
 358 (n: nat).(drop h0 (r k n) c e)) H15 d H17) in (eq_ind_r nat d (\lambda (n:
 359 nat).(ex3_2 C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C (CHead e k u0) (CHead
 360 e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T (lift h0 (r k n) u0) (lift
 361 h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop h0 (r k d) c e0)))))
 362 (ex3_2_intro C T (\lambda (e0: C).(\lambda (v: T).(eq C (CHead e k u0) (CHead
 363 e0 k v)))) (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T (lift h0 (r k d) u0) (lift
 364 h0 (r k d) v)))) (\lambda (e0: C).(\lambda (_: T).(drop h0 (r k d) c e0))) e
 365 u0 (refl_equal C (CHead e k u0)) (refl_equal T (lift h0 (r k d) u0)) H19) d0
 366 H17)))) u H13)) k0 H9))))))))) H7)) H6)))))))))))) h y0 y x H1))) H0)))
 367 H))))))).
 368
 369 lemma drop_S:
 370  \forall (b: B).(\forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (u: T).(\forall (h:
 371 nat).((drop h O c (CHead e (Bind b) u)) \to (drop (S h) O c e))))))
 372 \def
 373  \lambda (b: B).(\lambda (c: C).(C_ind (\lambda (c0: C).(\forall (e:
 374 C).(\forall (u: T).(\forall (h: nat).((drop h O c0 (CHead e (Bind b) u)) \to
 375 (drop (S h) O c0 e)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (e: C).(\lambda (u:
 376 T).(\lambda (h: nat).(\lambda (H: (drop h O (CSort n) (CHead e (Bind b)
 377 u))).(and3_ind (eq C (CHead e (Bind b) u) (CSort n)) (eq nat h O) (eq nat O
 378 O) (drop (S h) O (CSort n) e) (\lambda (H0: (eq C (CHead e (Bind b) u) (CSort
 379 n))).(\lambda (H1: (eq nat h O)).(\lambda (_: (eq nat O O)).(eq_ind_r nat O
 380 (\lambda (n0: nat).(drop (S n0) O (CSort n) e)) (let H3 \def (eq_ind C (CHead
 381 e (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow False |
 382 (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort n) H0) in (False_ind (drop (S O) O
 383 (CSort n) e) H3)) h H1)))) (drop_gen_sort n h O (CHead e (Bind b) u) H)))))))
 384 (\lambda (c0: C).(\lambda (H: ((\forall (e: C).(\forall (u: T).(\forall (h:
 385 nat).((drop h O c0 (CHead e (Bind b) u)) \to (drop (S h) O c0
 386 e))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (e: C).(\lambda (u:
 387 T).(\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((drop n O (CHead c0 k t)
 388 (CHead e (Bind b) u)) \to (drop (S n) O (CHead c0 k t) e))) (\lambda (H0:
 389 (drop O O (CHead c0 k t) (CHead e (Bind b) u))).(let H1 \def (f_equal C C
 390 (\lambda (e0: C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c1 _ _)
 391 \Rightarrow c1])) (CHead c0 k t) (CHead e (Bind b) u) (drop_gen_refl (CHead
 392 c0 k t) (CHead e (Bind b) u) H0)) in ((let H2 \def (f_equal C K (\lambda (e0:
 393 C).(match e0 with [(CSort _) \Rightarrow k | (CHead _ k0 _) \Rightarrow k0]))
 394 (CHead c0 k t) (CHead e (Bind b) u) (drop_gen_refl (CHead c0 k t) (CHead e
 395 (Bind b) u) H0)) in ((let H3 \def (f_equal C T (\lambda (e0: C).(match e0
 396 with [(CSort _) \Rightarrow t | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c0 k
 397 t) (CHead e (Bind b) u) (drop_gen_refl (CHead c0 k t) (CHead e (Bind b) u)
 398 H0)) in (\lambda (H4: (eq K k (Bind b))).(\lambda (H5: (eq C c0 e)).(eq_ind C
 399 c0 (\lambda (c1: C).(drop (S O) O (CHead c0 k t) c1)) (eq_ind_r K (Bind b)
 400 (\lambda (k0: K).(drop (S O) O (CHead c0 k0 t) c0)) (drop_drop (Bind b) O c0
 401 c0 (drop_refl c0) t) k H4) e H5)))) H2)) H1))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_:
 402 (((drop n O (CHead c0 k t) (CHead e (Bind b) u)) \to (drop (S n) O (CHead c0
 403 k t) e)))).(\lambda (H1: (drop (S n) O (CHead c0 k t) (CHead e (Bind b)
 404 u))).(drop_drop k (S n) c0 e (eq_ind_r nat (S (r k n)) (\lambda (n0:
 405 nat).(drop n0 O c0 e)) (H e u (r k n) (drop_gen_drop k c0 (CHead e (Bind b)
 406 u) t n H1)) (r k (S n)) (r_S k n)) t)))) h)))))))) c)).
 407
 408 theorem drop_mono:
 409  \forall (c: C).(\forall (x1: C).(\forall (d: nat).(\forall (h: nat).((drop h
 410 d c x1) \to (\forall (x2: C).((drop h d c x2) \to (eq C x1 x2)))))))
 411 \def
 412  \lambda (c: C).(C_ind (\lambda (c0: C).(\forall (x1: C).(\forall (d:
 413 nat).(\forall (h: nat).((drop h d c0 x1) \to (\forall (x2: C).((drop h d c0
 414 x2) \to (eq C x1 x2)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x1: C).(\lambda (d:
 415 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (H: (drop h d (CSort n) x1)).(\lambda (x2:
 416 C).(\lambda (H0: (drop h d (CSort n) x2)).(and3_ind (eq C x2 (CSort n)) (eq
 417 nat h O) (eq nat d O) (eq C x1 x2) (\lambda (H1: (eq C x2 (CSort
 418 n))).(\lambda (H2: (eq nat h O)).(\lambda (H3: (eq nat d O)).(and3_ind (eq C
 419 x1 (CSort n)) (eq nat h O) (eq nat d O) (eq C x1 x2) (\lambda (H4: (eq C x1
 420 (CSort n))).(\lambda (H5: (eq nat h O)).(\lambda (H6: (eq nat d O)).(eq_ind_r
 421 C (CSort n) (\lambda (c0: C).(eq C x1 c0)) (let H7 \def (eq_ind nat h
 422 (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 O)) H2 O H5) in (let H8 \def (eq_ind nat d
 423 (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 O)) H3 O H6) in (eq_ind_r C (CSort n) (\lambda
 424 (c0: C).(eq C c0 (CSort n))) (refl_equal C (CSort n)) x1 H4))) x2 H1))))
 425 (drop_gen_sort n h d x1 H))))) (drop_gen_sort n h d x2 H0))))))))) (\lambda
 426 (c0: C).(\lambda (H: ((\forall (x1: C).(\forall (d: nat).(\forall (h:
 427 nat).((drop h d c0 x1) \to (\forall (x2: C).((drop h d c0 x2) \to (eq C x1
 428 x2))))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (x1: C).(\lambda (d:
 429 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (h: nat).((drop h n (CHead c0 k t)
 430 x1) \to (\forall (x2: C).((drop h n (CHead c0 k t) x2) \to (eq C x1 x2))))))
 431 (\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((drop n O (CHead c0 k t) x1)
 432 \to (\forall (x2: C).((drop n O (CHead c0 k t) x2) \to (eq C x1 x2)))))
 433 (\lambda (H0: (drop O O (CHead c0 k t) x1)).(\lambda (x2: C).(\lambda (H1:
 434 (drop O O (CHead c0 k t) x2)).(eq_ind C (CHead c0 k t) (\lambda (c1: C).(eq C
 435 x1 c1)) (eq_ind C (CHead c0 k t) (\lambda (c1: C).(eq C c1 (CHead c0 k t)))
 436 (refl_equal C (CHead c0 k t)) x1 (drop_gen_refl (CHead c0 k t) x1 H0)) x2
 437 (drop_gen_refl (CHead c0 k t) x2 H1))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_:
 438 (((drop n O (CHead c0 k t) x1) \to (\forall (x2: C).((drop n O (CHead c0 k t)
 439 x2) \to (eq C x1 x2)))))).(\lambda (H1: (drop (S n) O (CHead c0 k t)
 440 x1)).(\lambda (x2: C).(\lambda (H2: (drop (S n) O (CHead c0 k t) x2)).(H x1 O
 441 (r k n) (drop_gen_drop k c0 x1 t n H1) x2 (drop_gen_drop k c0 x2 t n
 442 H2))))))) h)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).((drop h n
 443 (CHead c0 k t) x1) \to (\forall (x2: C).((drop h n (CHead c0 k t) x2) \to (eq
 444 C x1 x2))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (H1: (drop h (S n) (CHead c0 k t)
 445 x1)).(\lambda (x2: C).(\lambda (H2: (drop h (S n) (CHead c0 k t)
 446 x2)).(ex3_2_ind C T (\lambda (e: C).(\lambda (v: T).(eq C x2 (CHead e k v))))
 447 (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T t (lift h (r k n) v)))) (\lambda (e:
 448 C).(\lambda (_: T).(drop h (r k n) c0 e))) (eq C x1 x2) (\lambda (x0:
 449 C).(\lambda (x3: T).(\lambda (H3: (eq C x2 (CHead x0 k x3))).(\lambda (H4:
 450 (eq T t (lift h (r k n) x3))).(\lambda (H5: (drop h (r k n) c0
 451 x0)).(ex3_2_ind C T (\lambda (e: C).(\lambda (v: T).(eq C x1 (CHead e k v))))
 452 (\lambda (_: C).(\lambda (v: T).(eq T t (lift h (r k n) v)))) (\lambda (e:
 453 C).(\lambda (_: T).(drop h (r k n) c0 e))) (eq C x1 x2) (\lambda (x4:
 454 C).(\lambda (x5: T).(\lambda (H6: (eq C x1 (CHead x4 k x5))).(\lambda (H7:
 455 (eq T t (lift h (r k n) x5))).(\lambda (H8: (drop h (r k n) c0 x4)).(eq_ind_r
 456 C (CHead x0 k x3) (\lambda (c1: C).(eq C x1 c1)) (let H9 \def (eq_ind C x1
 457 (\lambda (c1: C).(\forall (h0: nat).((drop h0 n (CHead c0 k t) c1) \to
 458 (\forall (x6: C).((drop h0 n (CHead c0 k t) x6) \to (eq C c1 x6)))))) H0
 459 (CHead x4 k x5) H6) in (eq_ind_r C (CHead x4 k x5) (\lambda (c1: C).(eq C c1
 460 (CHead x0 k x3))) (let H10 \def (eq_ind T t (\lambda (t0: T).(\forall (h0:
 461 nat).((drop h0 n (CHead c0 k t0) (CHead x4 k x5)) \to (\forall (x6: C).((drop
 462 h0 n (CHead c0 k t0) x6) \to (eq C (CHead x4 k x5) x6)))))) H9 (lift h (r k
 463 n) x5) H7) in (let H11 \def (eq_ind T t (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h (r
 464 k n) x3))) H4 (lift h (r k n) x5) H7) in (let H12 \def (eq_ind T x5 (\lambda
 465 (t0: T).(\forall (h0: nat).((drop h0 n (CHead c0 k (lift h (r k n) t0))
 466 (CHead x4 k t0)) \to (\forall (x6: C).((drop h0 n (CHead c0 k (lift h (r k n)
 467 t0)) x6) \to (eq C (CHead x4 k t0) x6)))))) H10 x3 (lift_inj x5 x3 h (r k n)
 468 H11)) in (eq_ind_r T x3 (\lambda (t0: T).(eq C (CHead x4 k t0) (CHead x0 k
 469 x3))) (sym_eq C (CHead x0 k x3) (CHead x4 k x3) (sym_eq C (CHead x4 k x3)
 470 (CHead x0 k x3) (sym_eq C (CHead x0 k x3) (CHead x4 k x3) (f_equal3 C K T C
 471 CHead x0 x4 k k x3 x3 (H x0 (r k n) h H5 x4 H8) (refl_equal K k) (refl_equal
 472 T x3))))) x5 (lift_inj x5 x3 h (r k n) H11))))) x1 H6)) x2 H3))))))
 473 (drop_gen_skip_l c0 x1 t h n k H1))))))) (drop_gen_skip_l c0 x2 t h n k
 474 H2)))))))) d))))))) c).
 475