]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/computation/cpxs.ma
notational change of lift, drop, and gget
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_2 / computation / cpxs.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "basic_2/notation/relations/predstar_6.ma".
16 include "basic_2/reduction/cnx.ma".
17 include "basic_2/computation/cprs.ma".
18
19 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED PARALLEL COMPUTATION ON TERMS *****************)
20
21 definition cpxs: ∀h. sd h → relation4 genv lenv term term ≝
22                  λh,g,G. LTC … (cpx h g G).
23
24 interpretation "extended context-sensitive parallel computation (term)"
25    'PRedStar h g G L T1 T2 = (cpxs h g G L T1 T2).
26
27 (* Basic eliminators ********************************************************)
28
29 lemma cpxs_ind: ∀h,g,G,L,T1. ∀R:predicate term. R T1 →
30                 (∀T,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h, g] T2 → R T → R T2) →
31                 ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 → R T2.
32 #h #g #L #G #T1 #R #HT1 #IHT1 #T2 #HT12
33 @(TC_star_ind … HT1 IHT1 … HT12) //
34 qed-.
35
36 lemma cpxs_ind_dx: ∀h,g,G,L,T2. ∀R:predicate term. R T2 →
37                    (∀T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[h, g] T2 → R T → R T1) →
38                    ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 → R T1.
39 #h #g #G #L #T2 #R #HT2 #IHT2 #T1 #HT12
40 @(TC_star_ind_dx … HT2 IHT2 … HT12) //
41 qed-.
42
43 (* Basic properties *********************************************************)
44
45 lemma cpxs_refl: ∀h,g,G,L,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[h, g] T.
46 /2 width=1 by inj/ qed.
47
48 lemma cpx_cpxs: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2.
49 /2 width=1 by inj/ qed.
50
51 lemma cpxs_strap1: ∀h,g,G,L,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T →
52                    ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h, g] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2.
53 normalize /2 width=3 by step/ qed.
54
55 lemma cpxs_strap2: ∀h,g,G,L,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T →
56                    ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[h, g] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2.
57 normalize /2 width=3 by TC_strap/ qed.
58
59 lemma lsubr_cpxs_trans: ∀h,g,G. lsub_trans … (cpxs h g G) lsubr.
60 /3 width=5 by lsubr_cpx_trans, LTC_lsub_trans/
61 qed-.
62
63 lemma cprs_cpxs: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡* T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2.
64 #h #g #G #L #T1 #T2 #H @(cprs_ind … H) -T2 /3 width=3 by cpxs_strap1, cpr_cpx/
65 qed.
66
67 lemma cpxs_sort: ∀h,g,G,L,k,l1. deg h g k l1 →
68                  ∀l2. l2 ≤ l1 → ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ➡*[h, g] ⋆((next h)^l2 k).
69 #h #g #G #L #k #l1 #Hkl1 #l2 @(nat_ind_plus … l2) -l2 /2 width=1 by cpx_cpxs/
70 #l2 #IHl2 #Hl21 >iter_SO
71 @(cpxs_strap1 … (⋆(iter l2 ℕ (next h) k)))
72 [ /3 width=3 by lt_to_le/
73 | @(cpx_st … (l1-l2-1)) <plus_minus_m_m
74   /2 width=1 by deg_iter, monotonic_le_minus_r/
75 ]
76 qed.
77
78 lemma cpxs_bind_dx: ∀h,g,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 →
79                     ∀I,T1,T2. ⦃G, L. ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 →
80                     ∀a. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡*[h, g] ⓑ{a,I}V2.T2.
81 #h #g #G #L #V1 #V2 #HV12 #I #T1 #T2 #HT12 #a @(cpxs_ind_dx … HT12) -T1
82 /3 width=3 by cpxs_strap2, cpx_cpxs, cpx_pair_sn, cpx_bind/
83 qed.
84
85 lemma cpxs_flat_dx: ∀h,g,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 →
86                     ∀T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 →
87                     ∀I. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.T1 ➡*[h, g] ⓕ{I}V2.T2.
88 #h #g #G #L #V1 #V2 #HV12 #T1 #T2 #HT12 @(cpxs_ind … HT12) -T2
89 /3 width=5 by cpxs_strap1, cpx_cpxs, cpx_pair_sn, cpx_flat/
90 qed.
91
92 lemma cpxs_flat_sn: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 →
93                     ∀V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 →
94                     ∀I. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.T1 ➡*[h, g] ⓕ{I}V2.T2.
95 #h #g #G #L #T1 #T2 #HT12 #V1 #V2 #H @(cpxs_ind … H) -V2
96 /3 width=5 by cpxs_strap1, cpx_cpxs, cpx_pair_sn, cpx_flat/
97 qed.
98
99 lemma cpxs_pair_sn: ∀h,g,I,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 →
100                     ∀T. ⦃G, L⦄ ⊢ ②{I}V1.T ➡*[h, g] ②{I}V2.T.
101 #h #g #I #G #L #V1 #V2 #H @(cpxs_ind … H) -V2
102 /3 width=3 by cpxs_strap1, cpx_pair_sn/
103 qed.
104
105 lemma cpxs_zeta: ∀h,g,G,L,V,T1,T,T2. ⬆[0, 1] T2 ≡ T →
106                  ⦃G, L.ⓓV⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T → ⦃G, L⦄ ⊢ +ⓓV.T1 ➡*[h, g] T2.
107 #h #g #G #L #V #T1 #T #T2 #HT2 #H @(cpxs_ind_dx … H) -T1
108 /3 width=3 by cpxs_strap2, cpx_cpxs, cpx_bind, cpx_zeta/
109 qed.
110
111 lemma cpxs_eps: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 →
112                 ∀V. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝV.T1 ➡*[h, g] T2.
113 #h #g #G #L #T1 #T2 #H @(cpxs_ind … H) -T2
114 /3 width=3 by cpxs_strap1, cpx_cpxs, cpx_eps/
115 qed.
116
117 lemma cpxs_ct: ∀h,g,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 →
118                ∀T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝV1.T ➡*[h, g] V2.
119 #h #g #G #L #V1 #V2 #H @(cpxs_ind … H) -V2
120 /3 width=3 by cpxs_strap1, cpx_cpxs, cpx_ct/
121 qed.
122
123 lemma cpxs_beta_dx: ∀h,g,a,G,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
124                     ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 → ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 →
125                     ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.ⓛ{a}W1.T1 ➡*[h, g] ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2.
126 #h #g #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 * -T2
127 /4 width=7 by cpx_cpxs, cpxs_strap1, cpxs_bind_dx, cpxs_flat_dx, cpx_beta/
128 qed.
129
130 lemma cpxs_theta_dx: ∀h,g,a,G,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
131                      ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V → ⬆[0, 1] V ≡ V2 → ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 →
132                      ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 → ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.ⓓ{a}W1.T1 ➡*[h, g] ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2.
133 #h #g #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 * -T2 
134 /4 width=9 by cpx_cpxs, cpxs_strap1, cpxs_bind_dx, cpxs_flat_dx, cpx_theta/
135 qed.
136
137 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
138
139 lemma cpxs_inv_sort1: ∀h,g,G,L,U2,k. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ➡*[h, g] U2 →
140                       ∃∃n,l. deg h g k (n+l) & U2 = ⋆((next h)^n k).
141 #h #g #G #L #U2 #k #H @(cpxs_ind … H) -U2
142 [ elim (deg_total h g k) #l #Hkl
143   @(ex2_2_intro … 0 … Hkl) -Hkl //
144 | #U #U2 #_ #HU2 * #n #l #Hknl #H destruct
145   elim (cpx_inv_sort1 … HU2) -HU2
146   [ #H destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
147   | * #l0 #Hkl0 #H destruct -l
148     @(ex2_2_intro … (n+1) l0) /2 width=1 by deg_inv_prec/ >iter_SO //
149   ]
150 ]
151 qed-.
152
153 lemma cpxs_inv_cast1: ∀h,g,G,L,W1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW1.T1 ➡*[h, g] U2 →
154                       ∨∨ ∃∃W2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡*[h, g] W2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 & U2 = ⓝW2.T2
155                        | ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] U2
156                        | ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡*[h, g] U2.
157 #h #g #G #L #W1 #T1 #U2 #H @(cpxs_ind … H) -U2 /3 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro/
158 #U2 #U #_ #HU2 * /3 width=3 by cpxs_strap1, or3_intro1, or3_intro2/ *
159 #W #T #HW1 #HT1 #H destruct
160 elim (cpx_inv_cast1 … HU2) -HU2 /3 width=3 by cpxs_strap1, or3_intro1, or3_intro2/ *
161 #W2 #T2 #HW2 #HT2 #H destruct
162 lapply (cpxs_strap1 … HW1 … HW2) -W
163 lapply (cpxs_strap1 … HT1 … HT2) -T /3 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro/
164 qed-.
165
166 lemma cpxs_inv_cnx1: ∀h,g,G,L,T,U. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[h, g] U → ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, g] 𝐍⦃T⦄ → T = U.
167 #h #g #G #L #T #U #H @(cpxs_ind_dx … H) -T //
168 #T0 #T #H1T0 #_ #IHT #H2T0
169 lapply (H2T0 … H1T0) -H1T0 #H destruct /2 width=1 by/
170 qed-.
171
172 lemma cpxs_neq_inv_step_sn: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 → (T1 = T2 → ⊥) →
173                             ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & T1 = T → ⊥ & ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[h, g] T2.
174 #h #g #G #L #T1 #T2 #H @(cpxs_ind_dx … H) -T1
175 [ #H elim H -H //
176 | #T1 #T #H1 #H2 #IH2 #H12 elim (eq_term_dec T1 T) #H destruct
177   [ -H1 -H2 /3 width=1 by/
178   | -IH2 /3 width=4 by ex3_intro/ (**) (* auto fails without clear *)
179   ]
180 ]
181 qed-.