matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/computation/lprs_cprs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/computation/cprs_cprs.ma".
  16 include "basic_2/computation/lprs.ma".
  17
  18 (* SN PARALLEL COMPUTATION ON LOCAL ENVIRONMENTS ****************************)
  19
  20 (* Advanced properties ******************************************************)
  21
  22 lemma lprs_pair: ∀I,L1,L2. L1 ⊢ ➡* L2 → ∀V1,V2. L1 ⊢ V1 ➡* V2 →
  23                  L1. ⓑ{I} V1 ⊢ ➡* L2.ⓑ{I} V2.
  24 /2 width=1 by TC_lpx_sn_pair/ qed.
  25
  26 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  27
  28 lemma lprs_inv_pair1: ∀I,K1,L2,V1. K1. ⓑ{I} V1 ⊢ ➡* L2 →
  29                       ∃∃K2,V2. K1 ⊢ ➡* K2 & K1 ⊢ V1 ➡* V2 & L2 = K2. ⓑ{I} V2.
  30 /3 width=3 by TC_lpx_sn_inv_pair1, lpr_cprs_trans/ qed-.
  31
  32 lemma lprs_inv_pair2: ∀I,L1,K2,V2. L1 ⊢ ➡* K2. ⓑ{I} V2 →
  33                       ∃∃K1,V1. K1 ⊢ ➡* K2 & K1 ⊢ V1 ➡* V2 & L1 = K1. ⓑ{I} V1.
  34 /3 width=3 by TC_lpx_sn_inv_pair2, lpr_cprs_trans/ qed-.
  35
  36 (* Properties on context-sensitive parallel computation for terms ***********)
  37
  38 lemma lprs_cpr_trans: s_r_trans … cpr lprs.
  39 /3 width=5 by s_r_trans_TC2, lpr_cprs_trans/ qed-.
  40
  41 (* Basic_1: was just: pr3_pr3_pr3_t *)
  42 lemma lprs_cprs_trans: s_rs_trans … cpr lprs.
  43 /3 width=5 by s_r_trans_TC1, lprs_cpr_trans/ qed-.
  44
  45 lemma lprs_cprs_conf_dx: ∀L0,T0,T1. L0 ⊢ T0 ➡* T1 → ∀L1. L0 ⊢ ➡* L1 →
  46                          ∃∃T. L1 ⊢ T1 ➡* T & L1 ⊢ T0 ➡* T.
  47 #L0 #T0 #T1 #HT01 #L1 #H elim H -L1
  48 [ #L1 #HL01
  49   elim (cprs_lpr_conf_dx … HT01 … HL01) -L0 /2 width=3/
  50 | #L #L1 #_ #HL1 * #T #HT1 #HT0 -L0
  51   elim (cprs_lpr_conf_dx … HT1 … HL1) -HT1 #T2 #HT2 #HT12
  52   elim (cprs_lpr_conf_dx … HT0 … HL1) -L #T3 #HT3 #HT03
  53   elim (cprs_conf … HT2 … HT3) -T #T #HT2 #HT3
  54   lapply (cprs_trans … HT03 … HT3) -T3
  55   lapply (cprs_trans … HT12 … HT2) -T2 /2 width=3/
  56 ]
  57 qed-.
  58
  59 lemma lprs_cpr_conf_dx: ∀L0,T0,T1. L0 ⊢ T0 ➡ T1 → ∀L1. L0 ⊢ ➡* L1 →
  60                         ∃∃T. L1 ⊢ T1 ➡* T & L1 ⊢ T0 ➡* T.
  61 /3 width=3 by lprs_cprs_conf_dx, cpr_cprs/ qed-.
  62
  63 lemma lprs_cprs_conf_sn: ∀L0,T0,T1. L0 ⊢ T0 ➡* T1 → ∀L1. L0 ⊢ ➡* L1 →
  64                          ∃∃T. L0 ⊢ T1 ➡* T & L1 ⊢ T0 ➡* T.
  65 #L0 #T0 #T1 #HT01 #L1 #HL01
  66 elim (lprs_cprs_conf_dx … HT01 … HL01) -HT01 #T #HT1
  67 lapply (lprs_cprs_trans … HT1 … HL01) -HT1 /2 width=3/
  68 qed-.
  69
  70 lemma lprs_cpr_conf_sn: ∀L0,T0,T1. L0 ⊢ T0 ➡ T1 → ∀L1. L0 ⊢ ➡* L1 →
  71                         ∃∃T. L0 ⊢ T1 ➡* T & L1 ⊢ T0 ➡* T.
  72 /3 width=3 by lprs_cprs_conf_sn, cpr_cprs/ qed-.
  73
  74 lemma cprs_bind2: ∀L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡* V2 → ∀I,T1,T2. L. ⓑ{I}V2 ⊢ T1 ➡* T2 →
  75                   ∀a. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1. T1 ➡* ⓑ{a,I}V2. T2.
  76 #L #V1 #V2 #HV12 #I #T1 #T2 #HT12
  77 lapply (lprs_cprs_trans … HT12 (L.ⓑ{I}V1) ?) /2 width=1/
  78 qed.
  79
  80 (* Inversion lemmas on context-sensitive parallel computation for terms *****)
  81
  82 (* Basic_1: was: pr3_gen_abst *)
  83 lemma cprs_inv_abst1: ∀a,L,W1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}W1.T1 ➡* U2 →
  84                       ∃∃W2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡* W2 & L.ⓛW1 ⊢ T1 ➡* T2 &
  85                                U2 = ⓛ{a}W2.T2.
  86 #a #L #V1 #T1 #U2 #H @(cprs_ind … H) -U2 /2 width=5/
  87 #U0 #U2 #_ #HU02 * #V0 #T0 #HV10 #HT10 #H destruct
  88 elim (cpr_inv_abst1 … HU02) -HU02 #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  89 lapply (lprs_cpr_trans … HT02 (L.ⓛV1) ?) /2 width=1/ -HT02 #HT02
  90 lapply (cprs_strap1 … HV10 … HV02) -V0
  91 lapply (cprs_trans … HT10 … HT02) -T0 /2 width=5/
  92 qed-.
  93
  94 lemma cprs_inv_abst: ∀a,L,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}W1.T1 ➡* ⓛ{a}W2.T2 →
  95                      ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡* W2 ∧ L.ⓛW1 ⊢ T1 ➡* T2.
  96 #a #L #W1 #W2 #T1 #T2 #H
  97 elim (cprs_inv_abst1 … H) -H #W #T #HW1 #HT1 #H destruct /2 width=1/
  98 qed-.
  99
 100 (* Basic_1: was pr3_gen_abbr *)
 101 lemma cprs_inv_abbr1: ∀a,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡* U2 → (
 102                       ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡* V2 & L. ⓓV1 ⊢ T1 ➡* T2 &
 103                                U2 = ⓓ{a}V2.T2
 104                       ) ∨
 105                       ∃∃T2. L. ⓓV1 ⊢ T1 ➡* T2 & ⇧[0, 1] U2 ≡ T2 & a = true.
 106 #a #L #V1 #T1 #U2 #H @(cprs_ind … H) -U2 /3 width=5/
 107 #U0 #U2 #_ #HU02 * *
 108 [ #V0 #T0 #HV10 #HT10 #H destruct
 109   elim (cpr_inv_abbr1 … HU02) -HU02 *
 110   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
 111     lapply (lprs_cpr_trans … HT02 (L.ⓓV1) ?) /2 width=1/ -HT02 #HT02
 112     lapply (cprs_strap1 … HV10 … HV02) -V0
 113     lapply (cprs_trans … HT10 … HT02) -T0 /3 width=5/
 114   | #T2 #HT02 #HUT2
 115     lapply (lprs_cpr_trans … HT02 (L.ⓓV1) ?) -HT02 /2 width=1/ -V0 #HT02
 116     lapply (cprs_trans … HT10 … HT02) -T0 /3 width=3/
 117   ]
 118 | #U1 #HTU1 #HU01
 119   elim (lift_total U2 0 1) #U #HU2
 120   lapply (cpr_lift … HU02 (L.ⓓV1) … HU01 … HU2) -U0 /2 width=1/ /4 width=3/
 121 ]
 122 qed-.
 123
 124 (* More advanced properties *************************************************)
 125
 126 lemma lprs_pair2: ∀I,L1,L2. L1 ⊢ ➡* L2 → ∀V1,V2. L2 ⊢ V1 ➡* V2 →
 127                   L1. ⓑ{I} V1 ⊢ ➡* L2. ⓑ{I} V2.
 128 /3 width=3 by lprs_pair, lprs_cprs_trans/ qed.