matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/computation/lpxs_lleq.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/reduction/lpx_lleq.ma".
  16 include "basic_2/computation/cpxs_leq.ma".
  17 include "basic_2/computation/lpxs_ldrop.ma".
  18 include "basic_2/computation/lpxs_cpxs.ma".
  19
  20 (* SN EXTENDED PARALLEL COMPUTATION FOR LOCAL ENVIRONMENTS ******************)
  21
  22 (* Properties on lazy equivalence for local environments ********************)
  23
  24 lemma lleq_lpxs_trans: ∀h,g,G,L2,K2. ⦃G, L2⦄ ⊢ ➡*[h, g] K2 →
  25                        ∀L1,T,d. L1 ⋕[T, d] L2 →
  26                        ∃∃K1. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] K1 & K1 ⋕[T, d] K2.
  27 #h #g #G #L2 #K2 #H @(lpxs_ind … H) -K2 /2 width=3 by ex2_intro/
  28 #K #K2 #_ #HK2 #IH #L1 #T #d #HT elim (IH … HT) -L2
  29 #L #HL1 #HT elim (lleq_lpx_trans … HK2 … HT) -K
  30 /3 width=3 by lpxs_strap1, ex2_intro/
  31 qed-.
  32
  33 lemma lpxs_lleq_fqu_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  34                            ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ⋕[T1, 0] L1 →
  35                            ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ⋕[T2, 0] L2.
  36 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H elim H -G1 -G2 -L1 -L2 -T1 -T2
  37 [ #I #G1 #L1 #V1 #X #H1 #H2 elim (lpxs_inv_pair2 … H1) -H1
  38   #K0 #V0 #H1KL1 #_ #H destruct
  39   elim (lleq_inv_lref_ge_dx … H2 ? I L1 V1) -H2 //
  40   #K1 #H #H2KL1 lapply (ldrop_inv_O2 … H) -H #H destruct
  41   /2 width=4 by fqu_lref_O, ex3_intro/
  42 | * [ #a ] #I #G1 #L1 #V1 #T1 #K1 #HLK1 #H
  43   [ elim (lleq_inv_bind … H)
  44   | elim (lleq_inv_flat … H)
  45   ] -H /2 width=4 by fqu_pair_sn, ex3_intro/
  46 | #a #I #G1 #L1 #V1 #T1 #K1 #HLK1 #H elim (lleq_inv_bind_O … H) -H
  47   /3 width=4 by lpxs_pair, fqu_bind_dx, ex3_intro/
  48 | #I #G1 #L1 #V1 #T1 #K1 #HLK1 #H elim (lleq_inv_flat … H) -H
  49   /2 width=4 by fqu_flat_dx, ex3_intro/
  50 | #G1 #L1 #L #T1 #U1 #e #HL1 #HTU1 #K1 #H1KL1 #H2KL1
  51   elim (ldrop_O1_le (e+1) K1)
  52   [ #K #HK1 lapply (lleq_inv_lift_le … H2KL1 … HK1 HL1 … HTU1 ?) -H2KL1 //
  53     #H2KL elim (lpxs_ldrop_trans_O1 … H1KL1 … HL1) -L1
  54     #K0 #HK10 #H1KL lapply (ldrop_mono … HK10 … HK1) -HK10 #H destruct
  55     /3 width=4 by fqu_drop, ex3_intro/
  56   | lapply (ldrop_fwd_length_le2 … HL1) -L -T1 -g
  57     lapply (lleq_fwd_length … H2KL1) //
  58   ]
  59 ]
  60 qed-.
  61
  62 lemma lpxs_lleq_fquq_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  63                             ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ⋕[T1, 0] L1 →
  64                             ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ⋕[T2, 0] L2.
  65 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H #K1 #H1KL1 #H2KL1
  66 elim (fquq_inv_gen … H) -H
  67 [ #H elim (lpxs_lleq_fqu_trans … H … H1KL1 H2KL1) -L1
  68   /3 width=4 by fqu_fquq, ex3_intro/
  69 | * #HG #HL #HT destruct /2 width=4 by ex3_intro/
  70 ]
  71 qed-.
  72
  73 lemma lpxs_lleq_fqup_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐+ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  74                             ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ⋕[T1, 0] L1 →
  75                             ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐+ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ⋕[T2, 0] L2.
  76 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fqup_ind … H) -G2 -L2 -T2
  77 [ #G2 #L2 #T2 #H #K1 #H1KL1 #H2KL1 elim (lpxs_lleq_fqu_trans … H … H1KL1 H2KL1) -L1
  78   /3 width=4 by fqu_fqup, ex3_intro/
  79 | #G #G2 #L #L2 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 #K1 #H1KL1 #H2KL1 elim (IHT1 … H2KL1) // -L1
  80   #K #HT1 #H1KL #H2KL elim (lpxs_lleq_fqu_trans … HT2 … H1KL H2KL) -L
  81   /3 width=5 by fqup_strap1, ex3_intro/
  82 ]
  83 qed-.
  84
  85 lemma lpxs_lleq_fqus_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  86                             ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ⋕[T1, 0] L1 →
  87                             ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ⋕[T2, 0] L2.
  88 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H #K1 #H1KL1 #H2KL1
  89 elim (fqus_inv_gen … H) -H
  90 [ #H elim (lpxs_lleq_fqup_trans … H … H1KL1 H2KL1) -L1
  91   /3 width=4 by fqup_fqus, ex3_intro/
  92 | * #HG #HL #HT destruct /2 width=4 by ex3_intro/
  93 ]
  94 qed-.
  95
  96 fact leq_lpxs_trans_lleq_aux: ∀h,g,G,L1,L0,d,e. L1 ≃[d, e] L0 → e = ∞ →
  97                               ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 →
  98                               ∃∃L. L ≃[d, e] L2 & ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L &
  99                                    (∀T. L0 ⋕[T, d] L2 ↔ L1 ⋕[T, d] L).
 100 #h #g #G #L1 #L0 #d #e #H elim H -L1 -L0 -d -e
 101 [ #d #e #_ #L2 #H >(lpxs_inv_atom1 … H) -H
 102   /3 width=5 by ex3_intro, conj/
 103 | #I1 #I0 #L1 #L0 #V1 #V0 #_ #_ #He destruct
 104 | #I #L1 #L0 #V1 #e #HL10 #IHL10 #He #Y #H
 105   elim (lpxs_inv_pair1 … H) -H #L2 #V2 #HL02 #HV02 #H destruct
 106   lapply (ysucc_inv_Y_dx … He) -He #He
 107   elim (IHL10 … HL02) // -IHL10 -HL02 #L #HL2 #HL1 #IH
 108   @(ex3_intro … (L.ⓑ{I}V2)) /3 width=3 by lpxs_pair, leq_cpxs_trans, leq_pair/
 109   #T elim (IH T) #HL0dx #HL0sn
 110   @conj #H @(lleq_leq_repl … H) -H /3 width=1 by leq_sym, leq_pair_O_Y/
 111 | #I1 #I0 #L1 #L0 #V1 #V0 #d #e #HL10 #IHL10 #He #Y #H
 112   elim (lpxs_inv_pair1 … H) -H #L2 #V2 #HL02 #HV02 #H destruct
 113   elim (IHL10 … HL02) // -IHL10 -HL02 #L #HL2 #HL1 #IH
 114   @(ex3_intro … (L.ⓑ{I1}V1)) /3 width=1 by lpxs_pair, leq_succ/
 115   #T elim (IH T) #HL0dx #HL0sn
 116   @conj #H @(lleq_leq_repl … H) -H /3 width=1 by leq_sym, leq_succ/
 117 ]
 118 qed-.
 119
 120 lemma leq_lpxs_trans_lleq: ∀h,g,G,L1,L0,d. L1 ≃[d, ∞] L0 →
 121                            ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 →
 122                            ∃∃L. L ≃[d, ∞] L2 & ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L &
 123                                 (∀T. L0 ⋕[T, d] L2 ↔ L1 ⋕[T, d] L).
 124 /2 width=1 by leq_lpxs_trans_lleq_aux/ qed-.