matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/dynamic/cnv_cpm_conf.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/rt_transition/lpr_lpr.ma".
  16 include "basic_2/rt_computation/cpms_lsubr.ma".
  17 include "basic_2/rt_computation/cpms_fpbg.ma".
  18 include "basic_2/rt_computation/cpms_cpms.ma".
  19 include "basic_2/dynamic/cnv_drops.ma".
  20 include "basic_2/dynamic/cnv_preserve_far.ma".
  21
  22 (* CONTEXT-SENSITIVE NATIVE VALIDITY FOR TERMS ******************************)
  23
  24 (* Far diamond propery with t-bound rt-transition for terms *****************)
  25
  26 fact cnv_cpm_conf_lpr_atom_atom_aux (h) (G) (L1) (L2) (I):
  27      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓪{I} ➡*[0,h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓪{I} ➡*[O,h] T.
  28 /2 width=3 by ex2_intro/ qed-.
  29
  30 fact cnv_cpm_conf_lpr_atom_ess_aux (h) (G) (L1) (L2) (s):
  31      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⋆s ➡*[1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⋆(next h s) ➡*[h] T.
  32 /3 width=3 by cpm_cpms, ex2_intro/ qed-.
  33
  34 fact cnv_cpm_conf_lpr_atom_delta_aux (a) (h) (o) (G) (L) (i):
  35      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,#i⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
  36      ⦃G,L⦄⊢#i![a,h] →
  37      ∀K,V. ⬇*[i]L ≘ K.ⓓV →
  38      ∀n,XV. ⦃G,K⦄ ⊢ V ➡[n,h] XV →
  39      ∀X. ⬆*[↑i]XV ≘ X →
  40      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
  41      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ #i ➡*[n,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ X ➡*[h] T.
  42 #a #h #o #G #L #i #IH #HT #K #V #HLK #n #XV #HVX #X #HXV #L1 #HL1 #L2 #HL2
  43 lapply (cnv_lref_fwd_drops … HT … HLK) -HT #HV
  44 elim (lpr_drops_conf … HLK … HL1) -HL1 // #Y1 #H1 #HLK1
  45 elim (lpr_inv_pair_sn … H1) -H1 #K1 #V1 #HK1 #HV1 #H destruct
  46 elim (lpr_drops_conf … HLK … HL2) -HL2 // #Y2 #H2 #HLK2
  47 elim (lpr_inv_pair_sn … H2) -H2 #K2 #V2 #HK2 #_ #H destruct
  48 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK2) -V2 // #HLK2
  49 lapply (fqup_lref (Ⓣ) … G … HLK) -HLK #HLK
  50 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HV1 … HVX … HK1 … HK2) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ] -L -K -V
  51 <minus_O_n <minus_n_O #V #HV1 #HVX
  52 elim (cpms_lifts_sn … HVX … HLK2 … HXV) -XV -HLK2 #XV #HVX #HXV
  53 /3 width=6 by cpms_delta_drops, ex2_intro/
  54 qed-.
  55
  56 fact cnv_cpm_conf_lpr_atom_ell_aux (a) (h) (o) (G) (L) (i):
  57      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,#i⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
  58      ⦃G,L⦄⊢#i![a,h] →
  59      ∀K,W. ⬇*[i]L ≘ K.ⓛW →
  60      ∀n,XW. ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡[n,h] XW →
  61      ∀X. ⬆*[↑i]XW ≘ X →
  62      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
  63      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ #i ➡*[↑n,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ X ➡*[h] T.
  64 #a #h #o #G #L #i #IH #HT #K #W #HLK #n #XW #HWX #X #HXW #L1 #HL1 #L2 #HL2
  65 lapply (cnv_lref_fwd_drops … HT … HLK) -HT #HW
  66 elim (lpr_drops_conf … HLK … HL1) -HL1 // #Y1 #H1 #HLK1
  67 elim (lpr_inv_pair_sn … H1) -H1 #K1 #W1 #HK1 #HW1 #H destruct
  68 elim (lpr_drops_conf … HLK … HL2) -HL2 // #Y2 #H2 #HLK2
  69 elim (lpr_inv_pair_sn … H2) -H2 #K2 #W2 #HK2 #_ #H destruct
  70 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK2) -W2 // #HLK2
  71 lapply (fqup_lref (Ⓣ) … G … HLK) -HLK #HLK
  72 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HW1 … HWX … HK1 … HK2) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ] -L -K -W
  73 <minus_O_n <minus_n_O #W #HW1 #HWX
  74 elim (cpms_lifts_sn … HWX … HLK2 … HXW) -XW -HLK2 #XW #HWX #HXW
  75 /3 width=6 by cpms_ell_drops, ex2_intro/
  76 qed-.
  77
  78 fact cnv_cpm_conf_lpr_delta_delta_aux (a) (h) (o) (I) (G) (L) (i):
  79      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,#i⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
  80      ⦃G,L⦄⊢#i![a,h] →
  81      ∀K1,V1. ⬇*[i]L ≘ K1.ⓑ{I}V1 → ∀K2,V2. ⬇*[i]L ≘ K2.ⓑ{I}V2 →
  82      ∀n1,XV1. ⦃G,K1⦄ ⊢ V1 ➡[n1,h] XV1 → ∀n2,XV2. ⦃G,K2⦄ ⊢ V2 ➡[n2,h] XV2 →
  83      ∀X1. ⬆*[↑i]XV1 ≘ X1 → ∀X2. ⬆*[↑i]XV2 ≘ X2 →
  84      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
  85      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ X1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ X2 ➡*[n1-n2,h] T.
  86 #a #h #o #I #G #L #i #IH #HT
  87 #K #V #HLK #Y #X #HLY #n1 #XV1 #HVX1 #n2 #XV2 #HVX2 #X1 #HXV1 #X2 #HXV2
  88 #L1 #HL1 #L2 #HL2
  89 lapply (drops_mono … HLY … HLK) -HLY #H destruct
  90 lapply (cnv_lref_fwd_drops … HT … HLK) -HT #HV
  91 elim (lpr_drops_conf … HLK … HL1) -HL1 // #Y1 #H1 #HLK1
  92 elim (lpr_inv_pair_sn … H1) -H1 #K1 #V1 #HK1 #_ #H destruct
  93 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK1) -V1 // #HLK1
  94 elim (lpr_drops_conf … HLK … HL2) -HL2 // #Y2 #H2 #HLK2
  95 elim (lpr_inv_pair_sn … H2) -H2 #K2 #V2 #HK2 #_ #H destruct
  96 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK2) -V2 // #HLK2
  97 lapply (fqup_lref (Ⓣ) … G … HLK) -HLK #HLK
  98 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HVX1 … HVX2 … HK1 … HK2) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ] -L -K -V
  99 #V #HVX1 #HVX2
 100 elim (cpms_lifts_sn … HVX1 … HLK1 … HXV1) -XV1 -HLK1 #W1 #HVW1 #HXW1
 101 /3 width=11 by cpms_lifts_bi, ex2_intro/
 102 qed-.
 103
 104 fact cnv_cpm_conf_lpr_delta_ell_aux (L) (K1) (K2) (V) (W) (i):
 105      ⬇*[i]L ≘ K1.ⓓV → ⬇*[i]L ≘ K2.ⓛW → ⊥.
 106 #L #K1 #K2 #V #W #i #HLK1 #HLK2
 107 lapply (drops_mono … HLK2 … HLK1) -L -i #H destruct
 108 qed-.
 109
 110 fact cnv_cpm_conf_lpr_bind_bind_aux (a) (h) (o) (p) (I) (G) (L) (V) (T):
 111      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓑ{p,I}V.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 112      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓑ{p,I}V.T ![a,h] →
 113      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V1 → ∀V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V2 →
 114      ∀n1,T1. ⦃G,L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 115      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 116      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓑ{p,I}V1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓑ{p,I}V2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 117 #a #h #o #p #I #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 118 #V1 #HV01 #V2 #HV02 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02
 119 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 120 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #HV0 #HT0
 121 elim (cpr_conf_lpr … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) #V #HV1 #HV2
 122 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓑ{I}V1) … (L2.ⓑ{I}V2)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ]
 123 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -T0
 124 /3 width=5 by cpms_bind_dx, ex2_intro/
 125 qed-.
 126
 127 fact cnv_cpm_conf_lpr_bind_zeta_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 128      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,+ⓓV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 129      ⦃G,L⦄ ⊢ +ⓓV.T ![a,h] →
 130      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢V ➡[h] V1 →
 131      ∀n1,T1. ⦃G,L.ⓓV⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓓV⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 132      ∀XT2. ⬆*[1]XT2 ≘ T2 →
 133      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 134      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ +ⓓV1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ XT2 ➡*[n1-n2,h] T.
 135 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 136 #V1 #HV01 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02 #XT2 #HXT2
 137 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 138 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #_ #HT0
 139 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓV1) … (L2.ⓓV1)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ] -L0 -T0 -V0
 140 #T #HT1 #HT2
 141 elim (cpms_inv_lifts_sn … HT2 (Ⓣ) … L2 … HXT2) -T2 [| /3 width=1 by drops_refl, drops_drop/ ] #XT #HXT #HXT2
 142 /3 width=3 by cpms_zeta, ex2_intro/
 143 qed-.
 144
 145 fact cnv_cpm_conf_lpr_zeta_zeta_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 146      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,+ⓓV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 147      ⦃G,L⦄ ⊢ +ⓓV.T ![a,h] →
 148      ∀n1,T1. ⦃G,L.ⓓV⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓓV⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 149      ∀XT1. ⬆*[1]XT1 ≘ T1 → ∀XT2. ⬆*[1]XT2 ≘ T2 →
 150      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 151      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ XT1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ XT2 ➡*[n1-n2,h] T.
 152 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 153 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02 #XT1 #HXT1 #XT2 #HXT2
 154 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 155 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #_ #HT0
 156 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓV0) … (L2.ⓓV0)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ] -L0 -T0
 157 #T #HT1 #HT2
 158 elim (cpms_inv_lifts_sn … HT1 (Ⓣ) … L1 … HXT1) -T1 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #XT #HXT #HXT1
 159 elim (cpms_inv_lifts_sn … HT2 (Ⓣ) … L2 … HXT2) -T2 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #X #H #HXT2
 160 lapply (lifts_inj … H … HXT) -T #H destruct
 161 /2 width=3 by ex2_intro/
 162 qed-.
 163
 164 fact cnv_cpm_conf_lpr_appl_appl_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 165      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓐV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 166      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓐV.T ![a,h] →
 167      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V1 → ∀V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V2 →
 168      ∀n1,T1. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 169      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 170      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓐV2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 171 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 172 #V1 #HV01 #V2 #HV02 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02
 173 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 174 elim (cnv_inv_appl … H0) -H0 #n0 #p0 #X01 #X02 #_ #HV0 #HT0 #_ #_ -n0 -p0 -X01 -X02
 175 elim (cpr_conf_lpr … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) #V #HV1 #HV2
 176 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 … HL01 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 177 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -T0
 178 /3 width=5 by cpms_appl_dx, ex2_intro/
 179 qed-.
 180
 181 fact cnv_cpm_conf_lpr_appl_beta_aux (a) (h) (o) (p) (G) (L) (V) (W) (T):
 182      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓐV.ⓛ{p}W.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 183      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓐV.ⓛ{p}W.T ![a,h] →
 184      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V1 → ∀V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V2 →
 185      ∀W2. ⦃G,L⦄ ⊢ W ➡[h] W2 →
 186      ∀n1,T1. ⦃G,L⦄ ⊢ ⓛ{p}W.T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓛW⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 187      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 188      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓓ{p}ⓝW2.V2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 189 #a #h #o #p #G0 #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #H0
 190 #V1 #HV01 #V2 #HV02 #W2 #HW02 #n1 #X #HX #n2 #T2 #HT02
 191 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 192 elim (cnv_inv_appl … H0) -H0 #n0 #p0 #X01 #X02 #_ #HV0 #H0 #_ #_ -n0 -p0 -X01 -X02
 193 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #HW0 #HT0
 194 elim (cpm_inv_abst1 … HX) -HX #W1 #T1 #HW01 #HT01 #H destruct
 195 elim (cpr_conf_lpr … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) #V #HV1 #HV2
 196 elim (cpr_conf_lpr … HW01 … HW02 … HL01 … HL02) #W #HW1 #HW2
 197 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓛW1) … (L2.ⓛW2)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ]
 198 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -W0 -T0
 199 lapply (lsubr_cpms_trans … HT2 (L2.ⓓⓝW2.V2) ?) -HT2 [ /2 width=1 by lsubr_beta/ ] #HT2
 200 /4 width=5 by cpms_beta_dx, cpms_bind_dx, cpm_cast, ex2_intro/
 201 qed-.
 202
 203 fact cnv_cpm_conf_lpr_appl_theta_aux (a) (h) (o) (p) (G) (L) (V) (W) (T):
 204      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓐV.ⓓ{p}W.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 205      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓐV.ⓓ{p}W.T ![a,h] →
 206      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V1 → ∀V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V2 →
 207      ∀W2. ⦃G,L⦄ ⊢ W ➡[h] W2 →
 208      ∀n1,T1. ⦃G,L⦄ ⊢ ⓓ{p}W.T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓓW⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 209      ∀U2. ⬆*[1]V2 ≘ U2 →
 210      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 211      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓓ{p}W2.ⓐU2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 212 #a #h #o #p #G0 #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #H0
 213 #V1 #HV01 #V2 #HV02 #W2 #HW02 #n1 #X #HX #n2 #T2 #HT02 #U2 #HVU2
 214 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 215 elim (cnv_inv_appl … H0) -H0 #n0 #p0 #X01 #X02 #_ #HV0 #H0 #_ #_ -n0 -p0 -X01 -X02
 216 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #HW0 #HT0
 217 elim (cpr_conf_lpr … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) #V #HV1 #HV2
 218 elim (cpm_lifts_sn … HV2 (Ⓣ) … (L2.ⓓW2) … HVU2) -HVU2 [| /3 width=1 by drops_refl, drops_drop/ ] #U #HVU #HU2
 219 elim (cpm_inv_abbr1 … HX) -HX *
 220 [ #W1 #T1 #HW01 #HT01 #H destruct
 221   elim (cpr_conf_lpr … HW01 … HW02 … HL01 … HL02) #W #HW1 #HW2
 222   elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓW1) … (L2.ⓓW2)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ]
 223   #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -W0 -T0
 224   /4 width=7 by cpms_theta_dx, cpms_appl_dx, cpms_bind_dx, ex2_intro/
 225 | #T1 #HT01 #HX #H destruct
 226   elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓW2) … (L2.ⓓW2)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ]
 227   #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -W0 -T0
 228   elim (cpms_inv_lifts_sn … HT1 (Ⓣ) … L1 … HX) -T1 [| /3 width=1 by drops_refl, drops_drop/ ] #X0 #HXT #HX0
 229   /4 width=7 by cpms_zeta, cpms_appl_dx, lifts_flat, ex2_intro/
 230 ]
 231 qed-.
 232
 233 fact cnv_cpm_conf_lpr_beta_beta_aux (a) (h) (o) (p) (G) (L) (V) (W) (T):
 234      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓐV.ⓛ{p}W.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 235      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓐV.ⓛ{p}W.T ![a,h] →
 236      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V1 → ∀V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V2 →
 237      ∀W1. ⦃G,L⦄ ⊢ W ➡[h] W1 → ∀W2. ⦃G,L⦄ ⊢ W ➡[h] W2 →
 238      ∀n1,T1. ⦃G,L.ⓛW⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓛW⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 239      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 240      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓓ{p}ⓝW1.V1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓓ{p}ⓝW2.V2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 241 #a #h #o #p #G0 #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #H0
 242 #V1 #HV01 #V2 #HV02 #W1 #HW01 #W2 #HW02 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02
 243 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 244 elim (cnv_inv_appl … H0) -H0 #n0 #p0 #X01 #X02 #_ #HV0 #H0 #_ #_ -n0 -p0 -X01 -X02
 245 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #HW0 #HT0
 246 elim (cpr_conf_lpr … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) #V #HV1 #HV2
 247 elim (cpr_conf_lpr … HW01 … HW02 … HL01 … HL02) #W #HW1 #HW2
 248 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓛW1) … (L2.ⓛW2)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ]
 249 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -W0 -T0
 250 lapply (lsubr_cpms_trans … HT1 (L1.ⓓⓝW1.V1) ?) -HT1 /2 width=1 by lsubr_beta/ #HT1
 251 lapply (lsubr_cpms_trans … HT2 (L2.ⓓⓝW2.V2) ?) -HT2 /2 width=1 by lsubr_beta/ #HT2
 252 /4 width=5 by cpms_bind_dx, cpm_eps, ex2_intro/
 253 qed-.
 254
 255 fact cnv_cpm_conf_lpr_theta_theta_aux (a) (h) (o) (p) (G) (L) (V) (W) (T):
 256      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓐV.ⓓ{p}W.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 257      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓐV.ⓓ{p}W.T ![a,h] →
 258      ∀V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V1 → ∀V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[h] V2 →
 259      ∀W1. ⦃G,L⦄ ⊢ W ➡[h] W1 → ∀W2. ⦃G,L⦄ ⊢ W ➡[h] W2 →
 260      ∀n1,T1. ⦃G,L.ⓓW⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L.ⓓW⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 261      ∀U1. ⬆*[1]V1 ≘ U1 → ∀U2. ⬆*[1]V2 ≘ U2 →
 262      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 263      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓓ{p}W1.ⓐU1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓓ{p}W2.ⓐU2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 264 #a #h #o #p #G0 #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #H0
 265 #V1 #HV01 #V2 #HV02 #W1 #HW01 #W2 #HW02 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02 #U1 #HVU1 #U2 #HVU2
 266 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 267 elim (cnv_inv_appl … H0) -H0 #n0 #p0 #X01 #X02 #_ #HV0 #H0 #_ #_ -n0 -p0 -X01 -X02
 268 elim (cnv_inv_bind … H0) -H0 #HW0 #HT0
 269 elim (cpr_conf_lpr … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) #V #HV1 #HV2
 270 elim (cpr_conf_lpr … HW01 … HW02 … HL01 … HL02) #W #HW1 #HW2
 271 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓW1) … (L2.ⓓW2)) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg, lpr_pair/ ]
 272 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -W0 -T0
 273 elim (cpm_lifts_sn … HV1 (Ⓣ) … (L1.ⓓW1) … HVU1) -V1 [| /3 width=1 by drops_refl, drops_drop/ ] #U #HVU #HU1
 274 lapply (cpm_lifts_bi … HV2 (Ⓣ) … (L2.ⓓW2) … HVU2 … HVU) -V2 -V [ /3 width=1 by drops_refl, drops_drop/ ] #HU2
 275 /4 width=7 by cpms_appl_dx, cpms_bind_dx, ex2_intro/
 276 qed-.
 277
 278 fact cnv_cpm_conf_lpr_cast_cast_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 279      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 280      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓝV.T ![a,h] →
 281      ∀n1,V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n1,h] V1 → ∀n2,V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n2,h] V2 →
 282      ∀T1. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀T2. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 283      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 284      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓝV1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ ⓝV2.T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 285 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 286 #n1 #V1 #HV01 #n2 #V2 #HV02 #T1 #HT01 #T2 #HT02
 287 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 288 elim (cnv_inv_cast … H0) -H0 #X0 #HV0 #HT0 #_ #_ -X0
 289 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 290 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 … HL01 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 291 #T #HT1 #HT2 #V #HV1 #HV2 -L0 -V0 -T0
 292 /3 width=5 by cpms_cast, ex2_intro/
 293 qed-.
 294
 295 fact cnv_cpm_conf_lpr_cast_epsilon_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 296      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 297      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓝV.T ![a,h] →
 298      ∀n1,V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n1,h] V1 →
 299      ∀T1. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 300      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 301      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓝV1.T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 302 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 303 #n1 #V1 #HV01 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02
 304 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 305 elim (cnv_inv_cast … H0) -H0 #X0 #HV0 #HT0 #_ #_ -X0
 306 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 … HL01 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 307 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -T0
 308 /3 width=3 by cpms_eps, ex2_intro/
 309 qed-.
 310
 311 fact cnv_cpm_conf_lpr_cast_ee_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 312      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpm_trans_lpr a h G0 L0 T0) →
 313      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 314      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓝV.T ![a,h] →
 315      ∀n1,V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n1,h] V1 → ∀n2,V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n2,h] V2 →
 316      ∀T1. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 →
 317      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 318      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓝV1.T1 ➡*[↑n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ V2 ➡*[n1-↑n2,h] T.
 319 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH2 #IH1 #H0
 320 #n1 #V1 #HV01 #n2 #V2 #HV02 #T1 #HT01
 321 #L1 #HL01 #L2 #HL02 -HV01
 322 elim (cnv_inv_cast … H0) -H0 #X0 #HV0 #HT0 #HVX0 #HTX0
 323 lapply (cnv_cpms_trans_lpr_far … IH2 … HVX0 … L0 ?) [4:|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ] #HX0
 324 elim (cnv_cpms_strip_lpr_far … IH1 … HVX0 … HV02 … L0 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 325 elim (cnv_cpms_strip_lpr_far … IH1 … HTX0 … HT01 … L0 … HL01) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 326 -HV02 -HTX0 -HT01 <minus_O_n <minus_n_O #T #HT2 #HT1 #V #HV1 #HV2
 327 elim (IH1 … HV1 … HT2 … HL02 … HL01) [|*: /2 width=4 by fqup_cpms_fwd_fpbg/ ]
 328 -L0 -V0 -T0 -X0 #U #HVU #HTU
 329 lapply (cpms_trans … HV2 … HVU) -V <plus_O_n >minus_plus #H2
 330 lapply (cpms_trans … HT1 … HTU) -T <arith_l #H1
 331 /3 width=3 by cpms_eps, ex2_intro/
 332 qed-.
 333
 334 fact cnv_cpm_conf_lpr_epsilon_epsilon_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 335      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 336      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓝV.T ![a,h] →
 337      ∀n1,T1. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,T2. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n2,h] T2 →
 338      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 339      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ T1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ T2 ➡*[n1-n2,h] T.
 340 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 341 #n1 #T1 #HT01 #n2 #T2 #HT02
 342 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 343 elim (cnv_inv_cast … H0) -H0 #X0 #_ #HT0 #_ #_ -X0
 344 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HT01 … HT02 … HL01 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 345 #T #HT1 #HT2 -L0 -V0 -T0
 346 /2 width=3 by ex2_intro/
 347 qed-.
 348
 349 fact cnv_cpm_conf_lpr_epsilon_ee_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 350      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpm_trans_lpr a h G0 L0 T0) →
 351      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 352      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓝV.T ![a,h] →
 353      ∀n1,T1. ⦃G,L⦄ ⊢ T ➡[n1,h] T1 → ∀n2,V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n2,h] V2 →
 354      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 355      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ T1 ➡*[↑n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ V2 ➡*[n1-↑n2,h] T.
 356 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH2 #IH1 #H0
 357 #n1 #T1 #HT01 #n2 #V2 #HV02
 358 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 359 elim (cnv_inv_cast … H0) -H0 #X0 #HV0 #HT0 #HVX0 #HTX0
 360 lapply (cnv_cpms_trans_lpr_far … IH2 … HVX0 … L0 ?) [4:|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ] #HX0
 361 elim (cnv_cpms_strip_lpr_far … IH1 … HVX0 … HV02 … L0 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 362 elim (cnv_cpms_strip_lpr_far … IH1 … HTX0 … HT01 … L0 … HL01) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 363 -HV02 -HTX0 -HT01 <minus_O_n <minus_n_O #T #HT2 #HT1 #V #HV1 #HV2
 364 elim (IH1 … HV1 … HT2 … HL02 … HL01) [|*: /2 width=4 by fqup_cpms_fwd_fpbg/ ]
 365 -L0 -V0 -T0 -X0 #U #HVU #HTU
 366 lapply (cpms_trans … HV2 … HVU) -V <plus_O_n >minus_plus #H2
 367 lapply (cpms_trans … HT1 … HTU) -T <arith_l #H1
 368 /2 width=3 by ex2_intro/
 369 qed-.
 370
 371 fact cnv_cpm_conf_lpr_ee_ee_aux (a) (h) (o) (G) (L) (V) (T):
 372      (∀G0,L0,T0. ⦃G,L,ⓝV.T⦄ >[h,o] ⦃G0,L0,T0⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G0 L0 T0) →
 373      ⦃G,L⦄ ⊢ ⓝV.T ![a,h] →
 374      ∀n1,V1. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n1,h] V1 → ∀n2,V2. ⦃G,L⦄ ⊢ V ➡[n2,h] V2 →
 375      ∀L1. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L1 → ∀L2. ⦃G,L⦄ ⊢ ➡[h] L2 →
 376      ∃∃T. ⦃G,L1⦄ ⊢ V1 ➡*[n2-n1,h] T & ⦃G,L2⦄ ⊢ V2 ➡*[n1-n2,h] T.
 377 #a #h #o #G0 #L0 #V0 #T0 #IH #H0
 378 #n1 #V1 #HV01 #n2 #V2 #HV02
 379 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 380 elim (cnv_inv_cast … H0) -H0 #X0 #HV0 #_ #_ #_ -X0
 381 elim (cnv_cpm_conf_lpr_far … IH … HV01 … HV02 … HL01 … HL02) [|*: /2 width=1 by fqup_fpbg/ ]
 382 #V #HV1 #HV2 -L0 -V0 -T0
 383 /2 width=3 by ex2_intro/
 384 qed-.
 385
 386 fact cnv_cpm_conf_lpr_aux (a) (h) (o):
 387                           ∀G0,L0,T0.
 388                           (∀G1,L1,T1. ⦃G0, L0, T0⦄ >[h, o] ⦃G1, L1, T1⦄ → IH_cnv_cpm_trans_lpr a h G1 L1 T1) →
 389                           (∀G1,L1,T1. ⦃G0, L0, T0⦄ >[h, o] ⦃G1, L1, T1⦄ → IH_cnv_cpms_conf_lpr a h G1 L1 T1) →
 390                           ∀G1,L1,T1. G0 = G1 → L0 = L1 → T0 = T1 → IH_cnv_cpm_conf_lpr a h G1 L1 T1.
 391 #a #h #o #G0 #L0 #T0 #IH2 #IH1 #G #L * [| * [| * ]]
 392 [ #I #HG0 #HL0 #HT0 #HT #n1 #X1 #HX1 #n2 #X2 #HX2 #L1 #HL1 #L2 #HL2 destruct
 393   elim (cpm_inv_atom1_drops … HX1) -HX1 *
 394   elim (cpm_inv_atom1_drops … HX2) -HX2 *
 395   [ #H21 #H22 #H11 #H12 destruct -L -a -o
 396     <minus_O_n
 397     /2 width=1 by cnv_cpm_conf_lpr_atom_atom_aux/
 398   | #s2 #H21 #H22 #H23 #H11 #H12 destruct -L -a -o
 399     <minus_O_n <minus_n_O
 400     /2 width=1 by cnv_cpm_conf_lpr_atom_ess_aux/
 401   | #K2 #V2 #XV2 #i #HLK2 #HVX2 #HXV2 #H21 #H11 #H12 destruct -IH2
 402     <minus_O_n <minus_n_O
 403     @(cnv_cpm_conf_lpr_atom_delta_aux … IH1) -IH1 /1 width=6 by/
 404   | #m2 #K2 #W2 #XW2 #i #HLK2 #HWX2 #HXW2 #H21 #H22 #H11 #H12 destruct -IH2
 405     <minus_O_n <minus_n_O
 406     @(cnv_cpm_conf_lpr_atom_ell_aux … IH1) -IH1 /1 width=6 by/
 407   | #H21 #H22 #s1 #H11 #H12 #H13 destruct -L -a -o
 408     <minus_O_n <minus_n_O
 409     /3 width=1 by cnv_cpm_conf_lpr_atom_ess_aux, ex2_commute/
 410   | #s2 #H21 #H22 #H23 #s1 #H11 #H12 #H13 destruct -L -a -o
 411     <minus_n_n
 412     /2 width=1 by cnv_cpm_conf_lpr_atom_atom_aux/
 413   | #K2 #V2 #XV2 #i2 #_ #_ #_ #H21 #s1 #H11 #H12 #H13 destruct
 414   | #m2 #K2 #W2 #XW2 #i2 #_ #_ #_ #H21 #H22 #s1 #H11 #H12 #H13 destruct
 415   | #H21 #H22 #K1 #V1 #XV1 #i1 #HLK1 #HVX1 #HXV1 #H11 destruct -IH2
 416     <minus_O_n <minus_n_O
 417     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_atom_delta_aux … IH1) -IH1 /1 width=6 by/
 418   | #s2 #H21 #H22 #H23 #K1 #V1 #XV1 #i1 #_ #_ #_ #H11 destruct
 419   | #K2 #V2 #XV2 #i2 #HLK2 #HVX2 #HXV2 #H21 #K1 #V1 #XV1 #i1 #HLK1 #HVX1 #HXV1 #H11 destruct -IH2
 420     @(cnv_cpm_conf_lpr_delta_delta_aux … IH1) -IH1 /1 width=13 by/
 421   | #m2 #K2 #W2 #XW2 #i2 #HLK2 #_ #_ #H21 #H22 #K1 #V1 #XV1 #i1 #HLK1 #_ #_ #H11 destruct -a -o -XW2 -XV1 -HL2 -HL1
 422     elim cnv_cpm_conf_lpr_delta_ell_aux /1 width=8 by/
 423   | #H21 #H22 #m1 #K1 #W1 #XW1 #i1 #HLK1 #HWX1 #HXW1 #H11 #H12 destruct -IH2
 424     <minus_O_n <minus_n_O
 425     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_atom_ell_aux … IH1) -IH1 /1 width=6 by/
 426   | #s2 #H21 #H22 #H23 #m1 #K1 #W1 #XW1 #i1 #_ #_ #_ #H11 #H12 destruct
 427   | #K2 #V2 #XV2 #i2 #HLK2 #_ #_ #H21 #m1 #K1 #W1 #XW1 #i1 #HLK1 #_ #_ #H11 #H12 destruct -a -o -XV2 -XW1 -HL2 -HL1
 428     elim cnv_cpm_conf_lpr_delta_ell_aux /1 width=8 by/
 429   | #m2 #K2 #W2 #XW2 #i2 #HLK2 #HWX2 #HXW2 #H21 #H22 #m1 #K1 #W1 #XW1 #i1 #HLK1 #HWX1 #HXW1 #H11 #H12 destruct -IH2
 430     >minus_S_S >minus_S_S
 431     @(cnv_cpm_conf_lpr_delta_delta_aux … IH1) -IH1 /1 width=13 by/
 432   ]
 433 | #p #I #V #T #HG0 #HL0 #HT0 #HT #n1 #X1 #HX1 #n2 #X2 #HX2 #L1 #HL1 #L2 #HL2 destruct
 434   elim (cpm_inv_bind1 … HX1) -HX1 *
 435   elim (cpm_inv_bind1 … HX2) -HX2 *
 436   [ #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 437     @(cnv_cpm_conf_lpr_bind_bind_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 438   | #T2 #HT2 #HXT2 #H21 #H22 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 439     @(cnv_cpm_conf_lpr_bind_zeta_aux … IH1) -IH1 /1 width=3 by/
 440   | #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #T1 #HT1 #HXT1 #H11 #H12 destruct -IH2
 441     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_bind_zeta_aux … IH1) -IH1 /1 width=3 by/
 442   | #T2 #HT2 #HXT2 #H21 #H22 #T1 #HT1 #HXT1 #H11 #H12 destruct -IH2
 443     @(cnv_cpm_conf_lpr_zeta_zeta_aux … IH1) -IH1 /1 width=3 by/
 444   ]
 445 | #V #T #HG0 #HL0 #HT0 #HT #n1 #X1 #HX1 #n2 #X2 #HX2 #L1 #HL1 #L2 #HL2 destruct
 446   elim (cpm_inv_appl1 … HX1) -HX1 *
 447   elim (cpm_inv_appl1 … HX2) -HX2 *
 448   [ #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 449     @(cnv_cpm_conf_lpr_appl_appl_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 450   | #p2 #V2 #XW2 #W2 #XT2 #T2 #HV2 #HW2 #HT2 #H21 #H22 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 451     @(cnv_cpm_conf_lpr_appl_beta_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 452   | #p2 #V2 #XV2 #XW2 #W2 #XT2 #T2 #HV2 #HXV2 #HW2 #HT2 #H21 #H22 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 453     @(cnv_cpm_conf_lpr_appl_theta_aux … IH1) -IH1 /1 width=3 by/
 454   | #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #p1 #V1 #XW1 #W1 #XT1 #T1 #HV1 #HW1 #HT1 #H11 #H12 destruct -IH2
 455     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_appl_beta_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 456   | #p2 #V2 #XW2 #W2 #XT2 #T2 #HV2 #HW2 #HT2 #H21 #H22 #p1 #V1 #XW1 #W1 #XT1 #T1 #HV1 #HW1 #HT1 #H11 #H12 destruct -IH2
 457     @(cnv_cpm_conf_lpr_beta_beta_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 458   | #p2 #V2 #XV2 #XW2 #W2 #XT2 #T2 #HV2 #HXV2 #HW2 #HT2 #H21 #H22 #p1 #V1 #XW1 #W1 #XT1 #T1 #HV1 #HW1 #HT1 #H11 #H12 destruct
 459   | #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #p1 #V1 #XV1 #XW1 #W1 #XT1 #T1 #HV1 #HXV1 #HW1 #HT1 #H11 #H12 destruct -IH2
 460     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_appl_theta_aux … IH1) -IH1 /1 width=3 by/
 461   | #p2 #V2 #XW2 #W2 #XT2 #T2 #HV2 #HW2 #HT2 #H21 #H22 #p1 #V1 #XV1 #XW1 #W1 #XT1 #T1 #HV1 #HXV1 #HW1 #HT1 #H11 #H12 destruct
 462   | #p2 #V2 #XV2 #XW2 #W2 #XT2 #T2 #HV2 #HXV2 #HW2 #HT2 #H21 #H22 #p1 #V1 #XV1 #XW1 #W1 #XT1 #T1 #HV1 #HXV1 #HW1 #HT1 #H11 #H12 destruct -IH2
 463     @(cnv_cpm_conf_lpr_theta_theta_aux … IH1) -IH1 /1 width=3 by/
 464   ]
 465 | #V #T #HG0 #HL0 #HT0 #HT #n1 #X1 #HX1 #n2 #X2 #HX2 #L1 #HL1 #L2 #HL2 destruct
 466   elim (cpm_inv_cast1 … HX1) -HX1 [ * || * ]
 467   elim (cpm_inv_cast1 … HX2) -HX2 [ * || * | * || * | * || * ]
 468   [ #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 469     @(cnv_cpm_conf_lpr_cast_cast_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 470   | #HT2 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct -IH2
 471     @(cnv_cpm_conf_lpr_cast_epsilon_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 472   | #m2 #HV2 #H21 #V1 #T1 #HV1 #HT1 #H11 destruct
 473     @(cnv_cpm_conf_lpr_cast_ee_aux … IH2 IH1) -IH2 -IH1 /1 width=1 by/
 474   | #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #HT1 destruct -IH2
 475     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_cast_epsilon_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 476   | #HT2 #HT1 -IH2
 477     @(cnv_cpm_conf_lpr_epsilon_epsilon_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 478   | #m2 #HV2 #H21 #HT1 destruct
 479     @(cnv_cpm_conf_lpr_epsilon_ee_aux … IH2 IH1) -IH2 -IH1 /1 width=1 by/
 480   | #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H21 #m1 #HV1 #H11 destruct
 481     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_cast_ee_aux … IH2 IH1) -IH2 -IH1 /1 width=1 by/
 482   | #HT2 #m1 #HV1 #H11 destruct
 483     @ex2_commute @(cnv_cpm_conf_lpr_epsilon_ee_aux … IH2 IH1) -IH2 -IH1 /1 width=1 by/
 484   | #m2 #HV2 #H21 #m1 #HV1 #H11 destruct -IH2
 485     >minus_S_S >minus_S_S
 486     @(cnv_cpm_conf_lpr_ee_ee_aux … IH1) -IH1 /1 width=1 by/
 487   ]
 488 ]
 489 qed-.