matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/dynamic/lsubv.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/lrsubeqv_5.ma".
  16 include "basic_2/dynamic/cnv.ma".
  17
  18 (* LOCAL ENVIRONMENT REFINEMENT FOR NATIVE VALIDITY *************************)
  19
  20 inductive lsubv (a) (h) (G): relation lenv ≝
  21 | lsubv_atom: lsubv a h G (⋆) (⋆)
  22 | lsubv_bind: ∀I,L1,L2. lsubv a h G L1 L2 → lsubv a h G (L1.ⓘ{I}) (L2.ⓘ{I})
  23 | lsubv_beta: ∀L1,L2,W,V. ⦃G,L1⦄ ⊢ ⓝW.V ![a,h] →
  24               lsubv a h G L1 L2 → lsubv a h G (L1.ⓓⓝW.V) (L2.ⓛW)
  25 .
  26
  27 interpretation
  28   "local environment refinement (native validity)"
  29   'LRSubEqV a h G L1 L2 = (lsubv a h G L1 L2).
  30
  31 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  32
  33 fact lsubv_inv_atom_sn_aux (a) (h) (G): ∀L1,L2. G ⊢ L1 ⫃![a,h] L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
  34 #a #h #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  35 [ //
  36 | #I #L1 #L2 #_ #H destruct
  37 | #L1 #L2 #W #V #_ #_ #H destruct
  38 ]
  39 qed-.
  40
  41 (* Basic_2A1: uses: lsubsv_inv_atom1 *)
  42 lemma lsubv_inv_atom_sn (a) (h) (G): ∀L2. G ⊢ ⋆ ⫃![a,h] L2 → L2 = ⋆.
  43 /2 width=6 by lsubv_inv_atom_sn_aux/ qed-.
  44
  45 fact lsubv_inv_bind_sn_aux (a) (h) (G): ∀L1,L2. G ⊢ L1 ⫃![a,h] L2 →
  46                            ∀I,K1. L1 = K1.ⓘ{I} →
  47                            ∨∨ ∃∃K2. G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & L2 = K2.ⓘ{I}
  48                             | ∃∃K2,W,V. ⦃G,K1⦄ ⊢ ⓝW.V ![a,h] &
  49                                         G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 &
  50                                         I = BPair Abbr (ⓝW.V) & L2 = K2.ⓛW.
  51 #a #h #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  52 [ #J #K1 #H destruct
  53 | #I #L1 #L2 #HL12 #J #K1 #H destruct /3 width=3 by ex2_intro, or_introl/
  54 | #L1 #L2 #W #V #HWV #HL12 #J #K1 #H destruct /3 width=7 by ex4_3_intro, or_intror/
  55 ]
  56 qed-.
  57
  58 (* Basic_2A1: uses: lsubsv_inv_pair1 *)
  59 lemma lsubv_inv_bind_sn (a) (h) (G): ∀I,K1,L2. G ⊢ K1.ⓘ{I} ⫃![a,h] L2 →
  60                         ∨∨ ∃∃K2. G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & L2 = K2.ⓘ{I}
  61                          | ∃∃K2,W,V. ⦃G,K1⦄ ⊢ ⓝW.V ![a,h] &
  62                                      G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 &
  63                                      I = BPair Abbr (ⓝW.V) & L2 = K2.ⓛW.
  64 /2 width=3 by lsubv_inv_bind_sn_aux/ qed-.
  65
  66 fact lsubv_inv_atom_dx_aux (a) (h) (G): ∀L1,L2. G ⊢ L1 ⫃![a,h] L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
  67 #a #h #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  68 [ //
  69 | #I #L1 #L2 #_ #H destruct
  70 | #L1 #L2 #W #V #_ #_ #H destruct
  71 ]
  72 qed-.
  73
  74 (* Basic_2A1: uses: lsubsv_inv_atom2 *)
  75 lemma lsubv_inv_atom2 (a) (h) (G): ∀L1. G ⊢ L1 ⫃![a,h] ⋆ → L1 = ⋆.
  76 /2 width=6 by lsubv_inv_atom_dx_aux/ qed-.
  77
  78 fact lsubv_inv_bind_dx_aux (a) (h) (G): ∀L1,L2. G ⊢ L1 ⫃![a,h] L2 →
  79                            ∀I,K2. L2 = K2.ⓘ{I} →
  80                            ∨∨ ∃∃K1. G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & L1 = K1.ⓘ{I}
  81                             | ∃∃K1,W,V. ⦃G,K1⦄ ⊢ ⓝW.V ![a,h] &
  82                                         G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & I = BPair Abst W & L1 = K1.ⓓⓝW.V.
  83 #a #h #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  84 [ #J #K2 #H destruct
  85 | #I #L1 #L2 #HL12 #J #K2 #H destruct /3 width=3 by ex2_intro, or_introl/
  86 | #L1 #L2 #W #V #HWV #HL12 #J #K2 #H destruct /3 width=7 by ex4_3_intro, or_intror/
  87 ]
  88 qed-.
  89
  90 (* Basic_2A1: uses: lsubsv_inv_pair2 *)
  91 lemma lsubv_inv_bind_dx (a) (h) (G): ∀I,L1,K2. G ⊢ L1 ⫃![a,h] K2.ⓘ{I} →
  92                         ∨∨ ∃∃K1. G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & L1 = K1.ⓘ{I}
  93                          | ∃∃K1,W,V. ⦃G,K1⦄ ⊢ ⓝW.V ![a,h] &
  94                                      G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & I = BPair Abst W & L1 = K1.ⓓⓝW.V.
  95 /2 width=3 by lsubv_inv_bind_dx_aux/ qed-.
  96
  97 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  98
  99 lemma lsubv_inv_abst_sn (a) (h) (G): ∀K1,L2,W. G ⊢ K1.ⓛW ⫃![a,h] L2 →
 100                         ∃∃K2. G ⊢ K1 ⫃![a,h] K2 & L2 = K2.ⓛW.
 101 #a #h #G #K1 #L2 #W #H
 102 elim (lsubv_inv_bind_sn … H) -H // *
 103 #K2 #XW #XV #_ #_ #H1 #H2 destruct
 104 qed-.
 105
 106 (* Basic properties *********************************************************)
 107
 108 (* Basic_2A1: uses: lsubsv_refl *)
 109 lemma lsubv_refl (a) (h) (G): reflexive … (lsubv a h G).
 110 #a #h #G #L elim L -L /2 width=1 by lsubv_atom, lsubv_bind/
 111 qed.
 112
 113 (* Basic_2A1: removed theorems 3:
 114               lsubsv_lstas_trans lsubsv_sta_trans
 115               lsubsv_fwd_lsubd
 116 *)