1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basic_2/notation/relations/nativevalid_5.ma".
16 include "basic_2/computation/cpds.ma".
17 include "basic_2/equivalence/cpcs.ma".
19 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
22 inductive snv (h:sh) (g:sd h): relation3 genv lenv term ≝
23 | snv_sort: ∀G,L,k. snv h g G L (⋆k)
24 | snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
25 | snv_bind: ∀a,I,G,L,V,T. snv h g G L V → snv h g G (L.ⓑ{I}V) T → snv h g G L (ⓑ{a,I}V.T)
26 | snv_appl: ∀a,G,L,V,W,W0,T,U,l. snv h g G L V → snv h g G L T →
27 ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l+1, W⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 →
28 ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U → snv h g G L (ⓐV.T)
29 | snv_cast: ∀G,L,W,T,U,l. snv h g G L W → snv h g G L T →
30 ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W → snv h g G L (ⓝW.T)
33 interpretation "stratified native validity (term)"
34 'NativeValid h g G L T = (snv h g G L T).
36 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
38 fact snv_inv_lref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀i. X = #i →
39 ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
40 #h #g #G #L #X * -G -L -X
41 [ #G #L #k #i #H destruct
42 | #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5/
43 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
44 | #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
45 | #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
49 lemma snv_inv_lref: ∀h,g,G,L,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ¡[h, g] →
50 ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
51 /2 width=3 by snv_inv_lref_aux/ qed-.
53 fact snv_inv_gref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀p. X = §p → ⊥.
54 #h #g #G #L #X * -G -L -X
55 [ #G #L #k #p #H destruct
56 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #p #H destruct
57 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #p #H destruct
58 | #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
59 | #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
63 lemma snv_inv_gref: ∀h,g,G,L,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ¡[h, g] → ⊥.
64 /2 width=8 by snv_inv_gref_aux/ qed-.
66 fact snv_inv_bind_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀a,I,V,T. X = ⓑ{a,I}V.T →
67 ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
68 #h #g #G #L #X * -G -L -X
69 [ #G #L #k #a #I #V #T #H destruct
70 | #I0 #G #L #K #V0 #i #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
71 | #b #I0 #G #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1/
72 | #b #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
73 | #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
77 lemma snv_inv_bind: ∀h,g,a,I,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T ¡[h, g] →
78 ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
79 /2 width=4 by snv_inv_bind_aux/ qed-.
81 fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
82 ∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
83 ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l+1, W⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
84 ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
85 #h #g #G #L #X * -L -X
86 [ #G #L #k #V #T #H destruct
87 | #I #G #L #K #V0 #i #_ #_ #V #T #H destruct
88 | #a #I #G #L #V0 #T0 #_ #_ #V #T #H destruct
89 | #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
90 | #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
94 lemma snv_inv_appl: ∀h,g,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
95 ∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
96 ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l+1, W⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
97 ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
98 /2 width=3 by snv_inv_appl_aux/ qed-.
100 fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀W,T. X = ⓝW.T →
101 ∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
102 ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
103 #h #g #G #L #X * -G -L -X
104 [ #G #L #k #W #T #H destruct
105 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #W #T #H destruct
106 | #a #I #G #L #V #T0 #_ #_ #W #T #H destruct
107 | #a #G #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
108 | #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
112 lemma snv_inv_cast: ∀h,g,G,L,W,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW.T ¡[h, g] →
113 ∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
114 ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
115 /2 width=3 by snv_inv_cast_aux/ qed-.
117 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
119 lemma snv_fwd_ssta: ∀h,g,G,L,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] → ∃∃l,U. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄.
120 #h #g #G #L #T #H elim H -G -L -T
121 [ #G #L #k elim (deg_total h g k) /3 width=3/
122 | * #G #L #K #V #i #HLK #_ * #l0 #W #HVW
123 [ elim (lift_total W 0 (i+1)) /3 width=8/
124 | elim (lift_total V 0 (i+1)) /3 width=8/
126 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #_ * /3 width=3/
127 | #a #G #L #V #W #W1 #T0 #T1 #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ * /3 width=3/
128 | #G #L #W #T #U #l #_ #_ #HTU #_ #_ #_ /3 width=3/ (**) (* auto fails without the last #_ *)