matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/dynamic/snv_cpcs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/unwind/sstas_sstas.ma".
  16 include "basic_2/equivalence/cpcs_ltpr.ma".
  17 include "basic_2/dynamic/snv_ltpss_dx.ma".
  18 include "basic_2/dynamic/snv_sstas.ma".
  19 include "basic_2/dynamic/ygt.ma".
  20
  21 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
  22
  23 (* Inductive premises for the preservation results **************************)
  24
  25 definition IH_snv_ltpr_tpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  26                             λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  27                             ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. T1 ➡ T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  28
  29 definition IH_ssta_ltpr_tpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  30                              λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  31                              ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  32                              ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. T1 ➡ T2 →
  33                              ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  34
  35 definition IH_snv_ssta: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  36                         λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  37                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l + 1] U1 → ⦃h, L1⦄ ⊩ U1 :[g].
  38
  39 (* Properties for the preservation results **********************************)
  40
  41 definition IH_snv_lsubsv: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  42                           λh,g,L2,T. ⦃h, L2⦄ ⊩ T :[g] →
  43                           ∀L1. h ⊢ L1 ⊩:⊑[g] L2 → ⦃h, L1⦄ ⊩ T :[g].
  44
  45 fact snv_ltpr_cpr_aux: ∀h,g,L1,T1. IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1 →
  46                        ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  47                        ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  48 #h #g #L1 #T1 #IH #HT1 #L2 #HL12 #T2 * #T #HT1T #HTT2
  49 lapply (IH … HL12 … HT1T) -HL12 // -T1 #HT0
  50 lapply (snv_tpss_conf … HT0 … HTT2) -T //
  51 qed-.
  52
  53 fact ssta_ltpr_cpr_aux: ∀h,g,L1,T1. IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1 →
  54                         ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  55                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  56                         ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡ T2 →
  57                         ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  58 #h #g #L1 #T1 #IH #HT1 #U1 #l #HTU1 #L2 #HL12 #T2 * #T #HT1T #HTT2
  59 elim (IH … HTU1 … HL12 … HT1T) // -L1 -T1 #U #HTU #HU1
  60 elim (ssta_tpss_conf … HTU … HTT2) -T #U2 #HTU2 #HU2
  61 lapply (cpcs_cpr_strap1 … HU1 U2 ?) /2 width=3/
  62 qed-.
  63
  64 fact snv_ltpr_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  65                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  66                         ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  67                         ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡* T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  68 #h #g #L0 #T0 #IH #L1 #T1 #HLT0 #HT1 #L2 #HL12 #T2 #H
  69 @(cprs_ind … H) -T2 [ /2 width=6 by snv_ltpr_cpr_aux/ ] -HT1
  70 /5 width=6 by snv_ltpr_cpr_aux, ygt_yprs_trans, ltpr_cprs_yprs/
  71 qed-.
  72
  73 fact ssta_ltpr_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  74                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  75                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  76                          ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  77                          ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  78                          ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡* T2 →
  79                          ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  80 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 #l #HTU1 #L2 #HL12 #T2 #H
  81 @(cprs_ind … H) -T2 [ /2 width=7 by ssta_ltpr_cpr_aux/ ]
  82 #T #T2 #HT1T #HTT2 * #U #HTU #HU1
  83 elim (ssta_ltpr_cpr_aux … HTU … HTT2) //
  84 [2: /3 width=9 by snv_ltpr_cprs_aux/
  85 |3: /5 width=6 by ygt_yprs_trans, ltpr_cprs_yprs/
  86 ] -L0 -L1 -T0 -T1 -T #U2 #HTU2 #HU2
  87 lapply (cpcs_trans … HU1 … HU2) -U /2 width=3/
  88 qed-.
  89
  90 fact ssta_ltpr_cpcs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  91                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  92                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  93                          ∀L1,L2,T1,T2. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L2, T2⦄ →
  94                          ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g] →
  95                          ∀U1,l1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l1] U1 →
  96                          ∀U2,l2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l2] U2 →
  97                          L1 ➡ L2 → L2 ⊢ T1 ⬌* T2 →
  98                          l1 = l2 ∧ L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  99 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #L2 #T1 #T2 #HLT01 #HLT02 #HT1 #HT2 #U1 #l1 #HTU1 #U2 #l2 #HTU2 #HL12 #H
 100 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #T #H1 #H2
 101 elim (ssta_ltpr_cprs_aux … HLT01 HT1 … HTU1 … H1) -T1 /2 width=1/ #W1 #H1 #HUW1
 102 elim (ssta_ltpr_cprs_aux … HLT02 HT2 … HTU2 … H2) -T2 /2 width=1/ #W2 #H2 #HUW2 -L1 -L0 -T0
 103 elim (ssta_mono … H1 … H2) -h -T #H1 #H2 destruct
 104 lapply (cpcs_canc_dx … HUW1 … HUW2) -W2 /2 width=1/
 105 qed-.
 106
 107 fact snv_sstas_aux: ∀h,g,L0,T0.
 108                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 109                     ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 110                     ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*[g] U1 → ⦃h, L1⦄ ⊩ U1 :[g].
 111 #h #g #L0 #T0 #IH #L1 #T1 #HLT0 #HT1 #U1 #H
 112 @(sstas_ind … H) -U1 // -HT1 /4 width=5 by ygt_yprs_trans, sstas_yprs/
 113 qed-.
 114
 115 fact sstas_ltpr_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 116                           (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 117                           (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 118                           (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 119                           ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 120                           ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*[g] U1 →
 121                           ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •*[g] U2 & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
 122 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #L2 #HL12 #T2 #HT12 #U1 #H
 123 @(sstas_ind … H) -U1 [ /3 width=3/ ]
 124 #U1 #W1 #l1 #HTU1 #HUW1 * #U2 #HTU2 #HU12
 125 lapply (snv_ltpr_cprs_aux … IH2 … HT1 … HT12) // #HT2
 126 elim (snv_sstas_fwd_correct … HTU2) // #W2 #l2 #HUW2
 127 elim (ssta_ltpr_cpcs_aux … IH2 IH1 … HUW1 … HUW2 … HU12) -IH2 -IH1 -HUW1 -HU12 //
 128 [2: /4 width=8 by snv_sstas_aux, ygt_yprs_trans, ltpr_cprs_yprs/
 129 |3: /3 width=7 by snv_sstas_aux, ygt_yprs_trans, cprs_yprs/
 130 |4: /4 width=5 by ygt_yprs_trans, ltpr_cprs_yprs, sstas_yprs/
 131 |5: /3 width=4 by ygt_yprs_trans, cprs_yprs, sstas_yprs/
 132 ] -L0 -T0 -T1 -HT2 #H #HW12 destruct /3 width=4/
 133 qed-.
 134
 135 fact dxprs_ltpr_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 136                           (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 137                           (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 138                           (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 139                           ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 140                           ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] U1 →
 141                           ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡* T2 →
 142                           ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •*➡*[g] U2 & L2 ⊢ U1 ➡* U2.
 143 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 * #W1 #HTW1 #HWU1 #L2 #HL12 #T2 #HT12
 144 elim (sstas_ltpr_cprs_aux … IH3 IH2 IH1 … H01 … HT12 … HTW1) // -L0 -T0 -T1 #W2 #HTW2 #HW12
 145 lapply (ltpr_cprs_conf … HL12 … HWU1) -L1 #HWU1
 146 lapply (cpcs_canc_sn … HW12 HWU1) -W1 #H
 147 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H /3 width=3/
 148 qed-.
 149
 150 fact ssta_dxprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 151                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 152                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 153                      ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 154                      ∀l,U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l+1] U1 → ∀T2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] T2 →
 155                      ∃∃U,U2. ⦃h, L1⦄ ⊢ U1 •*[g] U & ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •*[g] U2 & L1 ⊢ U ⬌* U2.
 156 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #l #U1 #HTU1 #T2 * #T #HT1T #HTT2
 157 elim (sstas_strip … HT1T … HTU1) #HU1T destruct [ -HT1T | -L0 -T0 -T1 ]
 158 [ elim (ssta_ltpr_cprs_aux … IH2 IH1 … HTU1 L1 … HTT2) // -L0 -T0 -T /3 width=5/
 159 | @(ex3_2_intro …T2 HU1T) // /2 width=1/
 160 ]
 161 qed-.