matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/dynamic/snv_cpcs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/unfold/sstas_sstas.ma".
  16 include "basic_2/equivalence/cpcs_cpcs.ma".
  17 include "basic_2/dynamic/snv_sstas.ma".
  18 include "basic_2/dynamic/ygt.ma".
  19
  20 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
  21
  22 (* Inductive premises for the preservation results **************************)
  23
  24 definition IH_snv_cpr_lpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  25                            λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
  26                            ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡ T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 → ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 ¡[g].
  27
  28 definition IH_ssta_cpr_lpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  29                             λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
  30                             ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g] ⦃l, U1⦄ →
  31                             ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡ T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 →
  32                             ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g] ⦃l, U2⦄ & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  33
  34 definition IH_snv_ssta: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  35                         λh,g,L,T. ⦃h, L⦄ ⊢ T ¡[g] →
  36                         ∀U,l. ⦃h, L⦄ ⊢ T •[g] ⦃l+1, U⦄ → ⦃h, L⦄ ⊢ U ¡[g].
  37
  38 definition IH_snv_lsubsv: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  39                           λh,g,L2,T. ⦃h, L2⦄ ⊢ T ¡[g] →
  40                           ∀L1. h ⊢ L1 ¡⊑[g] L2 → ⦃h, L1⦄ ⊢ T ¡[g].
  41
  42 (* Properties for the preservation results **********************************)
  43
  44 fact snv_cprs_lpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
  45                        (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
  46                        ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
  47                        ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 → ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 ¡[g].
  48 #h #g #L0 #T0 #IH #L1 #T1 #HLT0 #HT1 #T2 #H
  49 elim H -T2 [ /2 width=6/ ] -HT1
  50 /4 width=6 by ygt_yprs_trans, cprs_yprs/
  51 qed-.
  52
  53 fact ssta_cprs_lpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
  54                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
  55                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_cpr_lpr h g L1 T1) →
  56                         ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
  57                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g] ⦃l, U1⦄ →
  58                         ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 →
  59                         ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g] ⦃l, U2⦄ & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  60 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 #l #HTU1 #T2 #H
  61 elim H -T2 [ /2 width=7/ ]
  62 #T #T2 #HT1T #HTT2 #IHT1 #L2 #HL12
  63 elim (IHT1 L1) // -IHT1 #U #HTU #HU1
  64 elim (IH1 … HTU … HTT2 … HL12) -IH1 -HTU -HTT2
  65 [2: /3 width=9 by snv_cprs_lpr_aux/
  66 |3: /5 width=6 by ygt_yprs_trans, cprs_yprs/
  67 ] -L0 -T0 -T1 -T #U2 #HTU2 #HU2
  68 lapply (lpr_cpcs_conf … HL12 … HU1) -L1 #HU1
  69 lapply (cpcs_trans … HU1 … HU2) -U /2 width=3/
  70 qed-.
  71
  72 fact ssta_cpcs_lpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
  73                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
  74                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_cpr_lpr h g L1 T1) →
  75                         ∀L1,T1,T2. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T2⦄ →
  76                         ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] → ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 ¡[g] →
  77                         ∀U1,l1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g] ⦃l1, U1⦄ →
  78                         ∀U2,l2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •[g] ⦃l2, U2⦄ →
  79                         L1 ⊢ T1 ⬌* T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 →
  80                         l1 = l2 ∧ L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
  81 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #T2 #H01 #H02 #HT1 #HT2 #U1 #l1 #HTU1 #U2 #l2 #HTU2 #H #L2 #HL12
  82 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #T #H1 #H2
  83 elim (ssta_cprs_lpr_aux … H01 HT1 … HTU1 … H1 … HL12) -T1 /2 width=1/ #W1 #H1 #HUW1
  84 elim (ssta_cprs_lpr_aux … H02 HT2 … HTU2 … H2 … HL12) -T2 /2 width=1/ #W2 #H2 #HUW2 -L0 -T0
  85 elim (ssta_mono … H1 … H2) -h -T #H1 #H2 destruct
  86 lapply (cpcs_canc_dx … HUW1 … HUW2) -W2 /2 width=1/
  87 qed-.
  88
  89 fact snv_sstas_aux: ∀h,g,L0,T0.
  90                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
  91                     ∀L,T. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L, T⦄ → ⦃h, L⦄ ⊢ T ¡[g] →
  92                     ∀U. ⦃h, L⦄ ⊢ T •*[g] U → ⦃h, L⦄ ⊢ U ¡[g].
  93 #h #g #L0 #T0 #IH #L #T #H01 #HT #U #H
  94 @(sstas_ind … H) -U // -HT /4 width=5 by ygt_yprs_trans, sstas_yprs/
  95 qed-.
  96
  97 fact snv_sstas_lpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
  98                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
  99                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 100                         ∀L1,T. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊢ T ¡[g] →
 101                         ∀U. ⦃h, L1⦄ ⊢ T •*[g] U → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 → ⦃h, L2⦄ ⊢ U ¡[g].
 102 /4 width=7 by snv_sstas_aux, ygt_yprs_trans, sstas_yprs/
 103 qed-.
 104
 105 fact sstas_cprs_lpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
 106                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 107                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
 108                          (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_cpr_lpr h g L1 T1) →
 109                          ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
 110                          ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*[g] U1 → ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 →
 111                          ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •*[g] U2 & L2 ⊢ U1 ⬌* U2.
 112 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 #H
 113 @(sstas_ind … H) -U1 [ /3 width=5 by lpr_cprs_conf, ex2_intro/ ]
 114 #U1 #W1 #l1 #HTU1 #HUW1 #IHTU1 #T2 #HT12 #L2 #HL12
 115 elim (IHTU1 … HT12 … HL12) -IHTU1 #U2 #HTU2 #HU12
 116 lapply (snv_cprs_lpr_aux … IH2 … HT1 … HT12 … HL12) // #HT2
 117 elim (snv_sstas_fwd_correct … HTU2) // #W2 #l2 #HUW2
 118 elim (IH1 … HUW1 U1 … HL12) -HUW1 //
 119 [2: /3 width=7 by snv_sstas_aux/
 120 |3: /3 width=4 by ygt_yprs_trans, sstas_yprs/
 121 ] #W #HU1W #HW1
 122 elim (ssta_cpcs_lpr_aux … IH2 IH1 … HU1W … HUW2 … HU12 L2) // -IH1 -HU1W -HU12
 123 [2: /4 width=8 by snv_sstas_aux, ygt_yprs_trans, cprs_lpr_yprs/
 124 |3: /3 width=10 by snv_sstas_lpr_aux/
 125 |4,5: /4 width=5 by ygt_yprs_trans, cprs_lpr_yprs, sstas_yprs/
 126 ] -L0 -T0 -L1 -T1 -HT2 #H #HW12 destruct
 127 lapply (cpcs_trans … HW1 … HW12) -W /3 width=4/
 128 qed-.
 129
 130 fact cpds_cprs_lpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
 131                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 132                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
 133                         (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_cpr_lpr h g L1 T1) →
 134                         ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
 135                         ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] U1 →
 136                         ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀L2. L1 ⊢ ➡ L2 →
 137                         ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •*➡*[g] U2 & L2 ⊢ U1 ➡* U2.
 138 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 * #W1 #HTW1 #HWU1 #T2 #HT12 #L2 #HL12
 139 elim (sstas_cprs_lpr_aux … IH3 IH2 IH1 … H01 … HTW1 … HT12 … HL12) // -L0 -T0 -T1 #W2 #HTW2 #HW12
 140 lapply (lpr_cprs_conf … HL12 … HWU1) -L1 #HWU1
 141 lapply (cpcs_canc_sn … HW12 HWU1) -W1 #H
 142 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H /3 width=3/
 143 qed-.
 144
 145 fact ssta_cpds_aux: ∀h,g,L0,T0.
 146                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_cpr_lpr h g L1 T1) →
 147                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_cpr_lpr h g L1 T1) →
 148                     ∀L,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L, T1⦄ → ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ¡[g] →
 149                     ∀l,U1. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •[g] ⦃l+1, U1⦄ → ∀T2. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] T2 →
 150                     ∃∃U,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ U1 •*[g] U & ⦃h, L⦄ ⊢ T2 •*[g] U2 & L ⊢ U ⬌* U2.
 151 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L #T1 #H01 #HT1 #l #U1 #HTU1 #T2 * #T #HT1T #HTT2
 152 elim (sstas_strip … HT1T … HTU1) #HU1T destruct [ -HT1T | -L0 -T0 -T1 ]
 153 [ elim (ssta_cprs_lpr_aux … IH2 IH1 … HTU1 … HTT2 L) // -L0 -T0 -T /3 width=5/
 154 | @(ex3_2_intro …T2 HU1T) // /2 width=1/
 155 ]
 156 qed-.