matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/frees/frees_drops.etc

   1 (* Note: this does not hold since L = Y.ⓧ, U = #0, f = ⫯g requires T = #(-1) *)
   2 lemma frees_inv_drops: ∀f2,L,U. L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2 →
   3                        ∀f,K. ⬇*[Ⓣ, f] L ≡ K → ∀f1. f ~⊚ f1 ≡ f2 →
   4                        ∃∃T. K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 & ⬆*[f] T ≡ U.
   5 #f2 #L #U #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f2 -L -U
   6 [ #f2 #I #Hf2 #_ #f #K #H1 #f1 #H2
   7   lapply (coafter_fwd_isid2 … H2 ??) -H2 // -Hf2 #Hf1
   8   elim (drops_inv_atom1 … H1) -H1 #H #Hf destruct
   9   /4 width=3 by frees_atom, lifts_refl, ex2_intro/
  10 | #f2 #I #L #s #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
  11   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
  12   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
  13   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
  14     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #Z #K #HLK #_ #H destruct
  15   | #g #Hf2 #H destruct
  16     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
  17   ]
  18   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
  19   lapply (lifts_inv_sort2 … HX) -HX #H destruct
  20   /3 width=3 by frees_sort, lifts_sort, ex2_intro/
  21 | #f2 #I #L #W #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
  22   lapply (isfin_inv_next … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
  23   elim (coafter_inv_xxn … H2) -H2 [ |*: // ] #g #g1 #Hf2 #H0 #H destruct
  24   elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #J #K #HLK #HJI #H destruct
  25   elim (liftsb_inv_pair_dx … HJI) -HJI #V #HVW #H destruct
  26   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
  27   lapply (lifts_inj … HX … HVW) -W #H destruct
  28   /3 width=3 by frees_zero, lifts_lref, ex2_intro/
  29 | #f2 #L #Hf2 #_ #f #Y #H1 #f1 #H2
  30   lapply (coafter_fwd_isid2 … H2 ??) -H2 // -Hf2 #Hf1
  31   elim (pn_split f) * #g #H destruct
  32   [ elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #J #K #HLK #HJI #H destruct
  33     lapply  (liftsb_inv_unit_dx … HJI) -HJI #H destruct
  34     /3 width=3 by frees_void, lifts_lref, ex2_intro/
  35   | lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #H1
  36 | #f2 #I #L #j #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
  37   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
  38   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
  39   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
  40     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #J #K #HLK #_ #H destruct
  41   | #g #Hf2 #H destruct
  42     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK (* cannot continue *)
  43   ]
  44   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
  45   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #i #Hij #H destruct
  46   /4 width=7 by frees_lref, lifts_lref, at_S1, at_next, ex2_intro/
  47 | #f2 #I #L #l #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
  48   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
  49   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
  50   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
  51     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #J #K #HLK #_ #H destruct
  52   | #g #Hf2 #H destruct
  53     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
  54   ]
  55   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
  56   lapply (lifts_inv_gref2 … HX) -HX #H destruct
  57   /3 width=3 by frees_gref, lifts_gref, ex2_intro/
  58 | #f2W #f2U #f2 #p #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #f1 #H2
  59   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H
  60   lapply (isfin_inv_tl … H) -H #H1f2U
  61   elim (coafter_inv_sor … H2 … H1f2) -H2 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H #Hf1
  62   elim (coafter_inv_tl0 … H) -H #g1 #H2f2U #H destruct
  63   elim (IHW … H1 … H2f2W) -IHW -H2f2W // -H1f2W #V #Hf1W #HVW
  64   elim (IHU … H2f2U) -IHU -H2f2U
  65   /3 width=5 by frees_bind, drops_skip, lifts_bind, ext2_pair, ex2_intro/
  66 | #f2W #f2U #f2 #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #f1 #H2
  67   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H1f2U
  68   elim (coafter_inv_sor … H2 … H1f2) -H2 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H2f2U #Hf1
  69   elim (IHW … H1 … H2f2W) -IHW -H2f2W // -H1f2W
  70   elim (IHU … H1 … H2f2U) -L -H2f2U
  71   /3 width=5 by frees_flat, lifts_flat, ex2_intro/
  72 ]
  73 qed-.