matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/sdsx/sdsx.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/rt_computation/rdsx.ma".
  16
  17 (* STRONGLY NORMALIZING SELECTED LOCAL ENV.S FOR UNBOUND RT-TRANSITION ******)
  18
  19 (* Basic_2A1: uses: lcosx *)
  20 inductive sdsx (h) (G): rtmap → predicate lenv ≝
  21 | sdsx_atom: ∀f. sdsx h G f (⋆)
  22 | sdsx_push: ∀f,I,K. sdsx h G f K → sdsx h G (⫯f) (K.ⓘ{I})
  23 | sdsx_unit: ∀f,I,K. sdsx h G f K → sdsx h G (↑f) (K.ⓤ{I})
  24 | sdsx_pair: ∀f,I,K,V. G ⊢ ⬈*[h,V] 𝐒⦃K⦄ →
  25              sdsx h G f K → sdsx h G (↑f) (K.ⓑ{I}V)
  26 .
  27
  28 interpretation
  29    "strong normalization for unbound context-sensitive parallel rt-transition on selected entries (local environment)"
  30    'PRedTySNStrong h f G L = (sdsx h G f L).
  31
  32 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  33
  34 fact sdsx_inv_push_aux (h) (G):
  35      ∀g,L. G ⊢ ⬈*[h,g] 𝐒⦃L⦄ →
  36      ∀f,I,K. g = ⫯f → L = K.ⓘ{I} → G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄.
  37 #h #G #g #L * -g -L
  38 [ #f #g #J #L #_ #H destruct
  39 | #f #I #K #HK #g #J #L #H1 #H2 destruct //
  40 | #f #I #K #_ #g #J #L #H #_
  41   elim (discr_next_push … H)
  42 | #f #I #K #V #_ #_ #g #J #L #H #_
  43   elim (discr_next_push … H)
  44 ]
  45 qed-.
  46
  47 lemma sdsx_inv_push (h) (G):
  48       ∀f,I,K. G ⊢ ⬈*[h,⫯f] 𝐒⦃K.ⓘ{I}⦄ → G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄.
  49 /2 width=6 by sdsx_inv_push_aux/ qed-.
  50
  51 fact sdsx_inv_unit_aux (h) (G):
  52      ∀g,L. G ⊢ ⬈*[h,g] 𝐒⦃L⦄ →
  53      ∀f,I,K. g = ↑f → L = K.ⓤ{I} → G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄.
  54 #h #G #g #L * -g -L
  55 [ #f #g #J #L #_ #H destruct
  56 | #f #I #K #_ #g #J #L #H #_
  57   elim (discr_push_next … H)
  58 | #f #I #K #HK #g #J #L #H1 #H2 destruct //
  59 | #f #I #K #V #_ #_ #g #J #L #_ #H destruct
  60 ]
  61 qed-.
  62
  63 lemma sdsx_inv_unit (h) (G):
  64       ∀f,I,K. G ⊢ ⬈*[h,↑f] 𝐒⦃K.ⓤ{I}⦄ → G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄.
  65 /2 width=6 by sdsx_inv_unit_aux/ qed-.
  66
  67 fact sdsx_inv_pair_aux (h) (G):
  68      ∀g,L. G ⊢ ⬈*[h,g] 𝐒⦃L⦄ →
  69      ∀f,I,K,V. g = ↑f → L = K.ⓑ{I}V →
  70      ∧∧ G ⊢ ⬈*[h,V] 𝐒⦃K⦄ & G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄.
  71 #h #G #g #L * -g -L
  72 [ #f #g #J #L #W #_ #H destruct
  73 | #f #I #K #_ #g #J #L #W #H #_
  74   elim (discr_push_next … H)
  75 | #f #I #K #_ #g #J #L #W #_ #H destruct
  76 | #f #I #K #V #HV #HK #g #J #L #W #H1 #H2 destruct
  77   /2 width=1 by conj/
  78 ]
  79 qed-.
  80
  81 (* Basic_2A1: uses: lcosx_inv_pair *)
  82 lemma sdsx_inv_pair (h) (G):
  83       ∀f,I,K,V. G ⊢ ⬈*[h,↑f] 𝐒⦃K.ⓑ{I}V⦄ →
  84       ∧∧ G ⊢ ⬈*[h,V] 𝐒⦃K⦄ & G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄.
  85 /2 width=6 by sdsx_inv_pair_aux/ qed-.
  86
  87 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  88
  89 lemma sdsx_inv_pair_gen (h) (G):
  90       ∀g,I,K,V. G ⊢ ⬈*[h,g] 𝐒⦃K.ⓑ{I}V⦄ →
  91       ∨∨ ∃∃f. G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄ & g = ⫯f
  92        | ∃∃f. G ⊢ ⬈*[h,V] 𝐒⦃K⦄ & G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃K⦄ & g = ↑f.
  93 #h #G #g #I #K #V #H
  94 elim (pn_split g) * #f #Hf destruct
  95 [ lapply (sdsx_inv_push … H) -H /3 width=3 by ex2_intro, or_introl/
  96 | elim (sdsx_inv_pair … H) -H /3 width=3 by ex3_intro, or_intror/
  97 ]
  98 qed-.
  99
 100 (* Advanced forward lemmas **************************************************)
 101
 102 lemma sdsx_fwd_bind (h) (G):
 103       ∀g,I,K. G ⊢ ⬈*[h,g] 𝐒⦃K.ⓘ{I}⦄ → G ⊢ ⬈*[h,⫱g] 𝐒⦃K⦄.
 104 #h #G #g #I #K
 105 elim (pn_split g) * #f #Hf destruct
 106 [ #H lapply (sdsx_inv_push … H) -H //
 107 | cases I -I #I
 108   [ #H lapply (sdsx_inv_unit … H) -H //
 109   | #V #H elim (sdsx_inv_pair … H) -H //
 110   ]
 111 ]
 112 qed-.
 113
 114 (* Basic properties *********************************************************)
 115
 116 lemma sdsx_eq_repl_back (h) (G):
 117       ∀L. eq_repl_back … (λf. G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃L⦄).
 118 #h #G #L #f1 #H elim H -L -f1
 119 [ //
 120 | #f1 #I #L #_ #IH #x2 #H
 121   elim (eq_inv_px … H) -H /3 width=3 by sdsx_push/
 122 | #f1 #I #L #_ #IH #x2 #H
 123   elim (eq_inv_nx … H) -H /3 width=3 by sdsx_unit/
 124 | #f1 #I #L #V #HV #_ #IH #x2 #H
 125   elim (eq_inv_nx … H) -H /3 width=3 by sdsx_pair/
 126 ]
 127 qed-.
 128
 129 lemma sdsx_eq_repl_fwd (h) (G):
 130       ∀L. eq_repl_fwd … (λf. G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃L⦄).
 131 #h #G #L @eq_repl_sym /2 width=3 by sdsx_eq_repl_back/
 132 qed-.
 133
 134 (* Advanced properties ******************************************************)
 135
 136 (* Basic_2A1: uses: lcosx_O *)
 137 lemma sdsx_isid (h) (G):
 138       ∀f. 𝐈⦃f⦄ → ∀L. G ⊢ ⬈*[h,f] 𝐒⦃L⦄.
 139 #h #G #f #Hf #L elim L -L
 140 /3 width=3 by sdsx_eq_repl_back, sdsx_push, eq_push_inv_isid/
 141 qed.
 142
 143 (* Basic_2A1: removed theorems 2:
 144               lcosx_drop_trans_lt lcosx_inv_succ
 145 *)