matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/ssta2/ssta.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/statictype_7.ma".
  16 include "basic_2/grammar/genv.ma".
  17 include "basic_2/relocation/ldrop.ma".
  18 include "basic_2/static/sd.ma".
  19
  20 (* STRATIFIED STATIC TYPE ASSIGNMENT ON TERMS *******************************)
  21
  22 (* activate genv *)
  23 inductive ssta (h:sh) (g:sd h): nat → relation4 genv lenv term term ≝
  24 | ssta_sort: ∀G,L,k,l. deg h g k l → ssta h g l G L (⋆k) (⋆(next h k))
  25 | ssta_ldef: ∀G,L,K,V,W,U,i,l. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV → ssta h g l G K V W →
  26              ⇧[0, i + 1] W ≡ U → ssta h g l G L (#i) U
  27 | ssta_ldec: ∀G,L,K,W,V,U,i,l. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓛW → ssta h g l G K W V →
  28              ⇧[0, i + 1] W ≡ U → ssta h g (l+1) G L (#i) U
  29 | ssta_bind: ∀a,I,G,L,V,T,U,l. ssta h g l G (L. ⓑ{I} V) T U →
  30              ssta h g l G L (ⓑ{a,I}V.T) (ⓑ{a,I}V.U)
  31 | ssta_appl: ∀G,L,V,T,U,l. ssta h g l G L T U →
  32              ssta h g l G L (ⓐV.T) (ⓐV.U)
  33 | ssta_cast: ∀G,L,W,T,U,l. ssta h g l G L T U → ssta h g l G L (ⓝW.T) U
  34 .
  35
  36 interpretation "stratified static type assignment (term)"
  37    'StaticType h g G L T U l = (ssta h g l G L T U).
  38
  39 definition ssta_step: ∀h. sd h → relation4 genv lenv term term ≝
  40                       λh,g,G,L,T,U. ∃l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄.
  41
  42 (* Basic inversion lemmas ************************************************)
  43
  44 fact ssta_inv_sort1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀k0. T = ⋆k0 →
  45                          deg h g k0 l ∧ U = ⋆(next h k0).
  46 #h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
  47 [ #G #L #k #l #Hkl #k0 #H destruct /2 width=1/
  48 | #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #k0 #H destruct
  49 | #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #k0 #H destruct
  50 | #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #k0 #H destruct
  51 | #G #L #V #T #U #l #_ #k0 #H destruct
  52 | #G #L #W #T #U #l #_ #k0 #H destruct
  53 qed-.
  54
  55 lemma ssta_inv_sort1: ∀h,g,G,L,U,k,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k •[h, g] ⦃l, U⦄ →
  56                       deg h g k l ∧ U = ⋆(next h k).
  57 /2 width=5 by ssta_inv_sort1_aux/ qed-.
  58
  59 fact ssta_inv_lref1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀j. T = #j →
  60                          (∃∃K,V,W. ⇩[0, j] L ≡ K. ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l, W⦄ &
  61                                    ⇧[0, j + 1] W ≡ U
  62                          ) ∨
  63                          (∃∃K,W,V,l0. ⇩[0, j] L ≡ K. ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •[h, g] ⦃l0, V⦄ &
  64                                       ⇧[0, j + 1] W ≡ U & l = l0 + 1
  65                          ).
  66 #h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
  67 [ #G #L #k #l #_ #j #H destruct
  68 | #G #L #K #V #W #U #i #l #HLK #HVW #HWU #j #H destruct /3 width=6/
  69 | #G #L #K #W #V #U #i #l #HLK #HWV #HWU #j #H destruct /3 width=8/
  70 | #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #j #H destruct
  71 | #G #L #V #T #U #l #_ #j #H destruct
  72 | #G #L #W #T #U #l #_ #j #H destruct
  73 ]
  74 qed-.
  75
  76 lemma ssta_inv_lref1: ∀h,g,G,L,U,i,l. ⦃G, L⦄ ⊢ #i •[h, g] ⦃l, U⦄ →
  77                       (∃∃K,V,W. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l, W⦄ &
  78                                 ⇧[0, i + 1] W ≡ U
  79                       ) ∨
  80                       (∃∃K,W,V,l0. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •[h, g] ⦃l0, V⦄ &
  81                                    ⇧[0, i + 1] W ≡ U & l = l0 + 1
  82                       ).
  83 /2 width=3 by ssta_inv_lref1_aux/ qed-.
  84
  85 fact ssta_inv_gref1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀p0. T = §p0 → ⊥.
  86 #h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
  87 [ #G #L #k #l #_ #p0 #H destruct
  88 | #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #p0 #H destruct
  89 | #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #p0 #H destruct
  90 | #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #p0 #H destruct
  91 | #G #L #V #T #U #l #_ #p0 #H destruct
  92 | #G #L #W #T #U #l #_ #p0 #H destruct
  93 qed-.
  94
  95 lemma ssta_inv_gref1: ∀h,g,G,L,U,p,l. ⦃G, L⦄ ⊢ §p •[h, g] ⦃l, U⦄ → ⊥.
  96 /2 width=10 by ssta_inv_gref1_aux/ qed-.
  97
  98 fact ssta_inv_bind1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ →
  99                          ∀a,I,X,Y. T = ⓑ{a,I}Y.X →
 100                          ∃∃Z. ⦃G, L.ⓑ{I}Y⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓑ{a,I}Y.Z.
 101 #h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
 102 [ #G #L #k #l #_ #a #I #X #Y #H destruct
 103 | #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #a #I #X #Y #H destruct
 104 | #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #a #I #X #Y #H destruct
 105 | #b #J #G #L #V #T #U #l #HTU #a #I #X #Y #H destruct /2 width=3/
 106 | #G #L #V #T #U #l #_ #a #I #X #Y #H destruct
 107 | #G #L #W #T #U #l #_ #a #I #X #Y #H destruct
 108 ]
 109 qed-.
 110
 111 lemma ssta_inv_bind1: ∀h,g,a,I,G,L,Y,X,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}Y.X •[h, g] ⦃l, U⦄ →
 112                       ∃∃Z. ⦃G, L.ⓑ{I}Y⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓑ{a,I}Y.Z.
 113 /2 width=3 by ssta_inv_bind1_aux/ qed-.
 114
 115 fact ssta_inv_appl1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀X,Y. T = ⓐY.X →
 116                          ∃∃Z. ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓐY.Z.
 117 #h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
 118 [ #G #L #k #l #_ #X #Y #H destruct
 119 | #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 120 | #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 121 | #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
 122 | #G #L #V #T #U #l #HTU #X #Y #H destruct /2 width=3/
 123 | #G #L #W #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
 124 ]
 125 qed-.
 126
 127 lemma ssta_inv_appl1: ∀h,g,G,L,Y,X,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐY.X •[h, g] ⦃l, U⦄ →
 128                       ∃∃Z. ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓐY.Z.
 129 /2 width=3 by ssta_inv_appl1_aux/ qed-.
 130
 131 fact ssta_inv_cast1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ →
 132                          ∀X,Y. T = ⓝY.X → ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, U⦄.
 133 #h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
 134 [ #G #L #k #l #_ #X #Y #H destruct
 135 | #G #L #K #V #W #U #l #i #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 136 | #G #L #K #W #V #U #l #i #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 137 | #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
 138 | #G #L #V #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
 139 | #G #L #W #T #U #l #HTU #X #Y #H destruct //
 140 ]
 141 qed-.
 142
 143 lemma ssta_inv_cast1: ∀h,g,G,L,X,Y,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝY.X •[h, g] ⦃l, U⦄ →
 144                       ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, U⦄.
 145 /2 width=4 by ssta_inv_cast1_aux/ qed-.