matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/cny/cpye_alt.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/psubstevalalt_6.ma".
  16 include "basic_2/substitution/cpye_lift.ma".
  17
  18 (* EVALUATION FOR CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED SUBSTITUTION ON TERMS **********)
  19
  20 (* Note: alternative definition of cpye *)
  21 inductive cpyea: ynat → ynat → relation4 genv lenv term term ≝
  22 | cpyea_sort : ∀G,L,d,e,k. cpyea d e G L (⋆k) (⋆k)
  23 | cpyea_free : ∀G,L,d,e,i. |L| ≤ i → cpyea d e G L (#i) (#i)
  24 | cpyea_top  : ∀G,L,d,e,i. d + e ≤ yinj i → cpyea d e G L (#i) (#i)
  25 | cpyea_skip : ∀G,L,d,e,i. yinj i < d → cpyea d e G L (#i) (#i)
  26 | cpyea_subst: ∀I,G,L,K,V1,V2,W2,i,d,e. d ≤ yinj i → yinj i < d+e →
  27                ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V1 → cpyea (yinj 0) (⫰(d+e-yinj i)) G K V1 V2 →
  28                ⇧[0, i+1] V2 ≡ W2 → cpyea d e G L (#i) W2
  29 | cpyea_gref : ∀G,L,d,e,p. cpyea d e G L (§p) (§p)
  30 | cpyea_bind : ∀a,I,G,L,V1,V2,T1,T2,d,e.
  31                cpyea d e G L V1 V2 → cpyea (⫯d) e G (L.ⓑ{I}V1) T1 T2 →
  32                cpyea d e G L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
  33 | cpyea_flat : ∀I,G,L,V1,V2,T1,T2,d,e.
  34                cpyea d e G L V1 V2 → cpyea d e G L T1 T2 →
  35                cpyea d e G L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
  36 .
  37
  38 interpretation
  39    "evaluation for context-sensitive extended substitution (term) alternative"
  40    'PSubstEvalAlt G L T1 T2 d e = (cpyea d e G L T1 T2).
  41
  42 (* Main properties **********************************************************)
  43
  44 theorem cpye_cpyea: ∀G,L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[d, e] 𝐍⦃T2⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶▶*[d, e] 𝐍⦃T2⦄.
  45 #G #L #T1 @(fqup_wf_ind_eq … G L T1) -G -L -T1
  46 #Z #Y #X #IH #G #L * *
  47 [ #k #_ #_ #_ #T2 #d #e #H -X -Y -Z >(cpye_inv_sort1 … H) -H //
  48 | #i #HG #HL #HT #T2 #d #e #H destruct
  49   elim (cpye_inv_lref1 … H) -H *
  50   /4 width=7 by cpyea_subst, cpyea_free, cpyea_top, cpyea_skip, fqup_lref/
  51 | #p #_ #_ #_ #T2 #d #e #H -X -Y -Z >(cpye_inv_gref1 … H) -H //
  52 | #a #I #V1 #T1 #HG #HL #HT #T #d #e #H destruct
  53   elim (cpye_inv_bind1 … H) -H /3 width=1 by cpyea_bind/
  54 | #I #V1 #T1 #HG #HL #HT #T #d #e #H destruct
  55   elim (cpye_inv_flat1 … H) -H /3 width=1 by cpyea_flat/
  56 ]
  57 qed.
  58
  59 (* Main inversion properties ************************************************)
  60
  61 theorem cpyea_inv_cpye: ∀G,L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶▶*[d, e] 𝐍⦃T2⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[d, e] 𝐍⦃T2⦄.
  62 #G #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -G -L -T1 -T2 -d -e
  63 /2 width=7 by cpye_subst, cpye_flat, cpye_bind, cpye_skip, cpye_top, cpye_free/
  64 qed-.
  65
  66 (* Advanced eliminators *****************************************************)
  67
  68 lemma cpye_ind_alt: ∀R:ynat→ynat→relation4 genv lenv term term.
  69                     (∀G,L,d,e,k. R d e G L (⋆k) (⋆k)) →
  70                     (∀G,L,d,e,i. |L| ≤ i → R d e G L (#i) (#i)) →
  71                     (∀G,L,d,e,i. d + e ≤ yinj i → R d e G L (#i) (#i)) →
  72                     (∀G,L,d,e,i. yinj i < d → R d e G L (#i) (#i)) →
  73                     (∀I,G,L,K,V1,V2,W2,i,d,e. d ≤ yinj i → yinj i < d + e →
  74                      ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V1 → ⦃G, K⦄ ⊢ V1 ▶*[yinj O, ⫰(d+e-yinj i)] 𝐍⦃V2⦄ →
  75                      ⇧[O, i+1] V2 ≡ W2 → R (yinj O) (⫰(d+e-yinj i)) G K V1 V2 → R d e G L (#i) W2
  76                     ) →
  77                     (∀G,L,d,e,p. R d e G L (§p) (§p)) →
  78                     (∀a,I,G,L,V1,V2,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶*[d, e] 𝐍⦃V2⦄ →
  79                      ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ▶*[⫯d, e] 𝐍⦃T2⦄ → R d e G L V1 V2 →
  80                      R (⫯d) e G (L.ⓑ{I}V1) T1 T2 → R d e G L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
  81                     ) →
  82                     (∀I,G,L,V1,V2,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶*[d, e] 𝐍⦃V2⦄ →
  83                      ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[d, e] 𝐍⦃T2⦄ → R d e G L V1 V2 →
  84                      R d e G L T1 T2 → R d e G L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
  85                     ) →
  86                     ∀d,e,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[d, e] 𝐍⦃T2⦄ → R d e G L T1 T2.
  87 #R #H1 #H2 #H3 #H4 #H5 #H6 #H7 #H8 #d #e #G #L #T1 #T2 #H elim (cpye_cpyea … H) -G -L -T1 -T2 -d -e
  88 /3 width=8 by cpyea_inv_cpye/
  89 qed-.