matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/delift/delift_lift.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/substitution/ldrop_lbotr.ma".
  16 include "basic_2/unfold/tpss_lift.ma".
  17 include "basic_2/unfold/delift.ma".
  18
  19 (* INVERSE BASIC TERM RELOCATION  *******************************************)
  20
  21 (* Advanced properties ******************************************************)
  22
  23 lemma delift_lref_be: ∀L,K,V1,V2,U2,i,d,e. d ≤ i → i < d + e →
  24                       ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV1 → K ⊢ ▼*[0, d + e - i - 1] V1 ≡ V2 →
  25                       ⇧[0, d] V2 ≡ U2 → L ⊢ ▼*[d, e] #i ≡ U2.
  26 #L #K #V1 #V2 #U2 #i #d #e #Hdi #Hide #HLK * #V #HV1 #HV2 #HVU2
  27 elim (lift_total V 0 (i+1)) #U #HVU
  28 lapply (lift_trans_be … HV2 … HVU ? ?) -HV2 // >minus_plus <plus_minus_m_m /2 width=1/ #HV2U
  29 lapply (lift_conf_be … HVU2 … HV2U ?) //
  30 >commutative_plus in ⊢ (??%??→?); <minus_plus_m_m /3 width=6/
  31 qed.
  32
  33 lemma lbotr_delift: ∀L,T1,d,e. d + e ≤ |L| → ⊒[d, e] L →
  34                     ∃T2. L ⊢ ▼*[d, e] T1 ≡ T2.
  35 #L #T1 @(f2_ind … fw … L T1) -L -T1
  36 #n #IH #L * * /2 width=2/
  37 [ #i #H #d #e #Hde #HL destruct
  38   elim (lt_or_ge i d) #Hdi [ /3 width=2/ ]
  39   elim (lt_or_ge i (d+e)) #Hide [2: /3 width=2/ ]
  40   lapply (lt_to_le_to_lt … Hide Hde) #Hi
  41   elim (ldrop_O1_lt … Hi) -Hi #I #K #V1 #HLK
  42   lapply (lbotr_inv_ldrop … HLK … HL ? ?) // #H destruct
  43   lapply (ldrop_pair2_fwd_fw … HLK (#i)) #HKL
  44   lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK) #HLK0
  45   lapply (ldrop_fwd_O1_length … HLK0) #H
  46   lapply (lbotr_ldrop_trans_be_up … HLK0 … HL ? ?) -HLK0 -HL
  47   [1,2: /2 width=1/ | <minus_n_O <minus_plus ] #HK
  48   elim (IH … HKL … HK) -IH -HKL -HK
  49   [2: >H -H /2 width=1/ ] -Hde -H #V2 #V12 (**) (* H erased two times *)
  50   elim (lift_total V2 0 d) /3 width=7/
  51 | #a #I #V1 #T1 #H #d #e #Hde #HL destruct
  52   elim (IH … V1 … Hde HL) // #V2 #HV12
  53   elim (IH (L.ⓑ{I}V1) T1 … (d+1) e ??) -IH // [2,3: /2 width=1/ ] -Hde -HL #T2 #HT12
  54   lapply (delift_lsubr_trans … HT12 (L.ⓑ{I}V2) ?) -HT12 /2 width=1/ /3 width=4/
  55 | #I #V1 #T1 #H #d #e #Hde #HL destruct
  56   elim (IH … V1 … Hde HL) // #V2 #HV12
  57   elim (IH … T1 … Hde HL) -IH -Hde -HL // /3 width=2/
  58 ]
  59 qed-.
  60
  61 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  62
  63 lemma delift_inv_lref1_lt: ∀L,U2,i,d,e. L ⊢ ▼*[d, e] #i ≡ U2 → i < d → U2 = #i.
  64 #L #U2 #i #d #e * #U #HU #HU2 #Hid
  65 elim (tpss_inv_lref1 … HU) -HU
  66 [ #H destruct >(lift_inv_lref2_lt … HU2) //
  67 | * #K #V1 #V2 #Hdi
  68   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid Hdi) -Hid -Hdi #Hi
  69   elim (lt_refl_false … Hi)
  70 ]
  71 qed-.
  72
  73 lemma delift_inv_lref1_be: ∀L,U2,d,e,i. L ⊢ ▼*[d, e] #i ≡ U2 →
  74                            d ≤ i → i < d + e →
  75                            ∃∃K,V1,V2. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV1 &
  76                                       K ⊢ ▼*[0, d + e - i - 1] V1 ≡ V2 &
  77                                       ⇧[0, d] V2 ≡ U2.
  78 #L #U2 #d #e #i * #U #HU #HU2 #Hdi #Hide
  79 elim (tpss_inv_lref1 … HU) -HU
  80 [ #H destruct elim (lift_inv_lref2_be … HU2 ? ?) //
  81 | * #K #V1 #V #_ #_ #HLK #HV1 #HVU
  82   elim (lift_div_be … HVU … HU2 ? ?) -U // /2 width=1/ /3 width=6/
  83 ]
  84 qed-.
  85
  86 lemma delift_inv_lref1_ge: ∀L,U2,i,d,e. L ⊢ ▼*[d, e] #i ≡ U2 →
  87                            d + e ≤ i → U2 = #(i - e).
  88 #L #U2 #i #d #e * #U #HU #HU2 #Hdei
  89 elim (tpss_inv_lref1 … HU) -HU
  90 [ #H destruct >(lift_inv_lref2_ge … HU2) //
  91 | * #K #V1 #V2 #_ #Hide
  92   lapply (lt_to_le_to_lt … Hide Hdei) -Hide -Hdei #Hi
  93   elim (lt_refl_false … Hi)
  94 ]
  95 qed-.
  96
  97 lemma delift_inv_lref1: ∀L,U2,i,d,e. L ⊢ ▼*[d, e] #i ≡ U2 →
  98                         ∨∨ (i < d ∧ U2 = #i)
  99                         |  (∃∃K,V1,V2. d ≤ i & i < d + e &
 100                                        ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV1 &
 101                                        K ⊢ ▼*[0, d + e - i - 1] V1 ≡ V2 &
 102                                        ⇧[0, d] V2 ≡ U2
 103                            )
 104                         |  (d + e ≤ i ∧ U2 = #(i - e)).
 105 #L #U2 #i #d #e #H
 106 elim (lt_or_ge i d) #Hdi
 107 [ elim (delift_inv_lref1_lt … H Hdi) -H /3 width=1/
 108 | elim (lt_or_ge i (d+e)) #Hide
 109   [ elim (delift_inv_lref1_be … H Hdi Hide) -H /3 width=6/
 110   | elim (delift_inv_lref1_ge … H Hide) -H /3 width=1/
 111   ]
 112 ]
 113 qed-.
 114
 115 (* Properties on basic term relocation **************************************)
 116
 117 lemma delift_lift_le: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ ▼*[dt, et] T1 ≡ T2 →
 118                       ∀L,U1,d,e. dt + et ≤ d → ⇩[d, e] L ≡ K →
 119                       ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → ∀U2. ⇧[d - et, e] T2 ≡ U2 →
 120                       L ⊢ ▼*[dt, et] U1 ≡ U2.
 121 #K #T1 #T2 #dt #et * #T #HT1 #HT2 #L #U1 #d #e #Hdetd #HLK #HTU1 #U2 #HTU2
 122 elim (lift_total T d e) #U #HTU
 123 lapply (tpss_lift_le … HT1 … HLK HTU1 … HTU) -T1 -HLK // #HU1
 124 elim (lift_trans_ge … HT2 … HTU ?) -T // -Hdetd #T #HT2 #HTU
 125 >(lift_mono … HTU2 … HT2) -T2 /2 width=3/
 126 qed.
 127
 128 lemma delift_lift_be: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ ▼*[dt, et] T1 ≡ T2 →
 129                       ∀L,U1,d,e. dt ≤ d → d ≤ dt + et →
 130                       ⇩[d, e] L ≡ K → ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 131                       L ⊢ ▼*[dt, et + e] U1 ≡ T2.
 132 #K #T1 #T2 #dt #et * #T #HT1 #HT2 #L #U1 #d #e #Hdtd #Hddet #HLK #HTU1
 133 elim (lift_total T d e) #U #HTU
 134 lapply (tpss_lift_be … HT1 … HLK HTU1 … HTU) -T1 -HLK // #HU1
 135 lapply (lift_trans_be … HT2 … HTU ? ?) -T // -Hdtd -Hddet /2 width=3/
 136 qed.
 137
 138 lemma delift_lift_ge: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ ▼*[dt, et] T1 ≡ T2 →
 139                       ∀L,U1,d,e. d ≤ dt → ⇩[d, e] L ≡ K →
 140                       ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → ∀U2. ⇧[d, e] T2 ≡ U2 →
 141                       L ⊢ ▼*[dt + e, et] U1 ≡ U2.
 142 #K #T1 #T2 #dt #et * #T #HT1 #HT2 #L #U1 #d #e #Hddt #HLK #HTU1 #U2 #HTU2
 143 elim (lift_total T d e) #U #HTU
 144 lapply (tpss_lift_ge … HT1 … HLK HTU1 … HTU) -T1 -HLK // #HU1
 145 elim (lift_trans_le … HT2 … HTU ?) -T // -Hddt #T #HT2 #HTU
 146 >(lift_mono … HTU2 … HT2) -T2 /2 width=3/
 147 qed.
 148
 149 lemma delift_inv_lift1_eq: ∀L,U1,T2,d,e. L ⊢ ▼*[d, e] U1 ≡ T2 →
 150                            ∀K. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → T1 = T2.
 151 #L #U1 #T2 #d #e * #U2 #HU12 #HTU2 #K #HLK #T1 #HTU1
 152 lapply (tpss_inv_lift1_eq … HU12 … HTU1) -L -K #H destruct
 153 lapply (lift_inj … HTU1 … HTU2) -U2 //
 154 qed-.
 155
 156 lemma delift_lift_div_be: ∀L,T1,T,d,e,i. L ⊢ ▼*[i, d + e - i] T1 ≡ T →
 157                           ∀T2. ⇧[d, i - d] T2 ≡ T → d ≤ i → i ≤ d + e →
 158                           L ⊢ ▼*[d, e] T1 ≡ T2.
 159 #L #T1 #T #d #e #i * #T0 #HT10 #HT0 #T2 #HT2 #Hdi #Hide
 160 lapply (tpss_weak … HT10 d e ? ?) -HT10 // [ >commutative_plus /2 width=1/ ] #HT10
 161 lapply (lift_trans_be … HT2 … HT0 ? ?) -T //
 162 >commutative_plus >commutative_plus in ⊢ (? ? (? % ?) ? ? → ?);
 163 <minus_le_minus_minus_comm // <plus_minus_m_m [ /2 width=3/ | /2 width=1/ ]
 164 qed.