matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/fpa/gcp_cr.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/ineint_5.ma".
  16 include "basic_2/grammar/aarity.ma".
  17 include "basic_2/substitution/lift_vector.ma".
  18 include "basic_2/computation/gcp.ma".
  19
  20 (* GENERIC COMPUTATION PROPERTIES *******************************************)
  21
  22 definition S0 ≝ λC:candidate. ∀G,L1,L2,T1,T2. ⦃L1, T1⦄ ⇳[Ⓕ] ⦃L2, T2⦄ →
  23                 C G L1 T1 → C G L2 T2.
  24
  25 definition S0s ≝ λC:candidate. ∀G,L1,L2,T1,T2. ⦃L1, T1⦄ ⇳*[Ⓕ] ⦃L2, T2⦄ →
  26                  C G L1 T1 → C G L2 T2.
  27
  28 (* Note: this is Girard's CR1 *)
  29 definition S1 ≝ λRP,C:candidate.
  30                 ∀G,L,T. C G L T → RP G L T.
  31
  32 (* Note: this is Tait's iii, or Girard's CR4 *)
  33 definition S2 ≝ λRR:relation4 genv lenv term term. λRS:relation term. λRP,C:candidate.
  34                 ∀G,L,Vs. all … (RP G L) Vs →
  35                 ∀T. 𝐒⦃T⦄ → NF … (RR G L) RS T → C G L (ⒶVs.T).
  36
  37 (* Note: this generalizes Tait's ii *)
  38 definition S3 ≝ λC:candidate.
  39                 ∀a,G,L,Vs,V,T,W.
  40                 C G L (ⒶVs.ⓓ{a}ⓝW.V.T) → C G L (ⒶVs.ⓐV.ⓛ{a}W.T).
  41
  42 definition S4 ≝ λRP,C:candidate.
  43                 ∀G,L,Vs. all … (RP G L) Vs → ∀k. C G L (ⒶVs.⋆k).
  44
  45 definition S5 ≝ λC:candidate. ∀I,G,L,K,Vs,V1,V2,i.
  46                 C G L (ⒶVs.V2) → ⇧[0, i+1] V1 ≡ V2 →
  47                 ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V1 → C G L (ⒶVs.#i).
  48
  49 definition S6 ≝ λRP,C:candidate.
  50                 ∀G,L,V1s,V2s. ⇧[0, 1] V1s ≡ V2s →
  51                 ∀a,V,T. C G (L.ⓓV) (ⒶV2s.T) → RP G L V → C G L (ⒶV1s.ⓓ{a}V.T).
  52
  53 definition S7 ≝ λC:candidate.
  54                 ∀G,L,Vs,T,W. C G L (ⒶVs.T) → C G L (ⒶVs.W) → C G L (ⒶVs.ⓝW.T).
  55
  56 (* requirements for the generic reducibility candidate *)
  57 record gcr (RR:relation4 genv lenv term term) (RS:relation term) (RP,C:candidate) : Prop ≝
  58 { s0: S0 C;
  59   s1: S1 RP C;
  60   s2: S2 RR RS RP C;
  61   s3: S3 C;
  62   s4: S4 RP C;
  63   s5: S5 C;
  64   s6: S6 RP C;
  65   s7: S7 C
  66 }.
  67
  68 (* the functional construction for candidates *)
  69 definition cfun: candidate → candidate → candidate ≝
  70                  λC1,C2,G,K,T. ∀L,V,U. ⦃K, T⦄ ⇳*[Ⓕ] ⦃L, U⦄ →
  71                  C1 G L V → C2 G L (ⓐV.U).
  72
  73 (* the reducibility candidate associated to an atomic arity *)
  74 let rec acr (RP:candidate) (A:aarity) on A: candidate ≝
  75 match A with
  76 [ AAtom     ⇒ RP
  77 | APair B A ⇒ cfun (acr RP B) (acr RP A)
  78 ].
  79
  80 interpretation
  81    "candidate of reducibility of an atomic arity (abstract)"
  82    'InEInt RP G L T A = (acr RP A G L T).
  83
  84 (* Basic properties *********************************************************)
  85
  86 (* Basic_1: was just: sc3_lift1 *)
  87 lemma gcr_fpas: ∀C. S0 C → S0s C.
  88 #C #HC #G #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fpas_ind … H) -L2 -T2 /3 width=5 by/
  89 qed.
  90 (*
  91 lemma rp_lifts: ∀RR,RS,RP. gcr RR RS RP RP →
  92                 ∀des,G,L0,L,V,V0. ⇩*[Ⓕ, des] L0 ≡ L → ⇧*[des] V ≡ V0 →
  93                 RP G L V → RP G L0 V0.
  94 #RR #RS #RP #HRP #des #G #L0 #L #V #V0 #HL0 #HV0 #HV
  95 @gcr_lifts /width=7 by/
  96 @(s0 … HRP)
  97 qed.
  98
  99 (* Basic_1: was only: sns3_lifts1 *)
 100 lemma rp_liftsv_all: ∀RR,RS,RP. gcr RR RS RP RP →
 101                      ∀des,G,L0,L,Vs,V0s. ⇩*[Ⓕ, des] L0 ≡ L → ⇧*[des] Vs ≡ V0s →
 102                      all … (RP G L) Vs → all … (RP G L0) V0s.
 103 #RR #RS #RP #HRP #des #G #L0 #L #Vs #V0s #HL0 #H elim H -Vs -V0s normalize //
 104 #T1s #T2s #T1 #T2 #HT12 #_ #IHT2s * /3 width=7 by rp_lifts, conj/
 105 qed.
 106 *)
 107 (* Basic_1: was:
 108    sc3_sn3 sc3_abst sc3_appl sc3_abbr sc3_bind sc3_cast sc3_lift
 109 *)
 110 lemma acr_gcr: ∀RR,RS,RP. gcp RR RS RP → gcr RR RS RP RP →
 111                ∀A. gcr RR RS RP (acr RP A).
 112 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #A elim A -A //
 113 #B #A #IHB #IHA @mk_gcr
 114 [ /3 width=4 by fpas_strap2/
 115 | #G #L #T #H
 116   elim (cp1 … H1RP G L) #k #HK
 117   lapply (H L (⋆k) T ? ?) -H //
 118   [ @(s2 … IHB … (◊)) //
 119   | #H @(cp2 … H1RP … k) @(s1 … IHA) //
 120   ]
 121 | #G #L #Vs #HVs #T #H1T #H2T #L0 #V0 #X #H #HB
 122   elim (lifts_inv_applv1 … H) -H #V0s #T0 #HV0s #HT0 #H destruct
 123   lapply (s1 … IHB … HB) #HV0
 124   @(s2 … IHA … (V0 @ V0s))
 125   /3 width=14 by rp_liftsv_all, gcp_lifts, cp0, lifts_simple_dx, conj/
 126 | #a #G #L #Vs #U #T #W #HA #L0 #V0 #X #des #HL0 #H #HB
 127   elim (lifts_inv_applv1 … H) -H #V0s #Y #HV0s #HY #H destruct
 128   elim (lifts_inv_flat1 … HY) -HY #U0 #X #HU0 #HX #H destruct
 129   elim (lifts_inv_bind1 … HX) -HX #W0 #T0 #HW0 #HT0 #H destruct
 130   @(s3 … IHA … (V0 @ V0s)) /5 width=6 by lifts_applv, lifts_flat, lifts_bind/
 131 | #G #L #Vs #HVs #k #L0 #V0 #X #des #HL0 #H #HB
 132   elim (lifts_inv_applv1 … H) -H #V0s #Y #HV0s #HY #H destruct
 133   >(lifts_inv_sort1 … HY) -Y
 134   lapply (s1 … IHB … HB) #HV0
 135   @(s4 … IHA … (V0 @ V0s)) /3 width=7 by rp_liftsv_all, conj/
 136 | #I #G #L #K #Vs #V1 #V2 #i #HA #HV12 #HLK #L0 #V0 #X #des #HL0 #H #HB
 137   elim (lifts_inv_applv1 … H) -H #V0s #Y #HV0s #HY #H destruct
 138   elim (lifts_inv_lref1 … HY) -HY #i0 #Hi0 #H destruct
 139   elim (drops_drop_trans … HL0 … HLK) #X #des0 #i1 #HL02 #H #Hi1 #Hdes0
 140   >(at_mono … Hi1 … Hi0) in HL02; -i1 #HL02
 141   elim (drops_inv_skip2 … Hdes0 … H) -H -des0 #L2 #W1 #des0 #Hdes0 #HLK #HVW1 #H destruct
 142   elim (lift_total W1 0 (i0 + 1)) #W2 #HW12
 143   elim (lifts_lift_trans  … Hdes0 … HVW1 … HW12) // -Hdes0 -Hi0 #V3 #HV13 #HVW2
 144   >(lift_mono … HV13 … HV12) in HVW2; -V3 #HVW2
 145   @(s5 … IHA … (V0 @ V0s) … HW12 HL02) /3 width=5 by lifts_applv/
 146 | #G #L #V1s #V2s #HV12s #a #V #T #HA #HV #L0 #V10 #X #des #HL0 #H #HB
 147   elim (lifts_inv_applv1 … H) -H #V10s #Y #HV10s #HY #H destruct
 148   elim (lifts_inv_bind1 … HY) -HY #V0 #T0 #HV0 #HT0 #H destruct
 149   elim (lift_total V10 0 1) #V20 #HV120
 150   elim (liftv_total 0 1 V10s) #V20s #HV120s
 151   @(s6 … IHA … (V10 @ V10s) (V20 @ V20s)) /3 width=7 by rp_lifts, liftv_cons/
 152   @(HA … (des + 1)) /2 width=2 by drops_skip/
 153   [ @lifts_applv //
 154     elim (liftsv_liftv_trans_le … HV10s … HV120s) -V10s #V10s #HV10s #HV120s
 155     >(liftv_mono … HV12s … HV10s) -V1s //
 156   | @(s0 … IHB … HB … HV120) /2 width=2 by drop_drop/
 157   ]
 158 | #G #L #Vs #T #W #HA #HW #L0 #V0 #X #des #HL0 #H #HB
 159   elim (lifts_inv_applv1 … H) -H #V0s #Y #HV0s #HY #H destruct
 160   elim (lifts_inv_flat1 … HY) -HY #W0 #T0 #HW0 #HT0 #H destruct
 161   @(s7 … IHA … (V0 @ V0s)) /3 width=5 by lifts_applv/
 162 ]
 163 qed.
 164
 165 lemma acr_abst: ∀RR,RS,RP. gcp RR RS RP → gcr RR RS RP RP →
 166                 ∀a,G,L,W,T,A,B. ⦃G, L, W⦄ ϵ[RP] 〚B〛 → (
 167                    ∀L0,V0,W0,T0,des. ⇩*[Ⓕ, des] L0 ≡ L → ⇧*[des] W ≡ W0 → ⇧*[des + 1] T ≡ T0 →
 168                                    ⦃G, L0, V0⦄ ϵ[RP] 〚B〛 → ⦃G, L0, W0⦄ ϵ[RP] 〚B〛 → ⦃G, L0.ⓓⓝW0.V0, T0⦄ ϵ[RP] 〚A〛
 169                 ) →
 170                 ⦃G, L, ⓛ{a}W.T⦄ ϵ[RP] 〚②B.A〛.
 171 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #a #G #L #W #T #A #B #HW #HA #L0 #V0 #X #des #HL0 #H #HB
 172 lapply (acr_gcr … H1RP H2RP A) #HCA
 173 lapply (acr_gcr … H1RP H2RP B) #HCB
 174 elim (lifts_inv_bind1 … H) -H #W0 #T0 #HW0 #HT0 #H destruct
 175 lapply (gcr_lifts … HL0 … HW0 HW) -HW [ @(s0 … HCB) ] #HW0
 176 @(s3 … HCA … (◊))
 177 @(s6 … HCA … (◊) (◊)) //
 178 [ @(HA … HL0) //
 179 | lapply (s1 … HCB) -HCB #HCB
 180   @(s7 … H2RP … (◊)) /2 width=1 by/
 181 ]
 182 qed.
 183
 184 (* Basic_1: removed theorems 2: sc3_arity_gen sc3_repl *)
 185 (* Basic_1: removed local theorems 1: sc3_sn3_abst *)