matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/gcp/gcp_cr.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/ineint_5.ma".
  16 include "basic_2/grammar/aarity.ma".
  17 include "basic_2/multiple/mr2_mr2.ma".
  18 include "basic_2/multiple/lifts_lift_vector.ma".
  19 include "basic_2/multiple/drops_drop.ma".
  20 include "basic_2/computation/gcp.ma".
  21
  22 (* GENERIC COMPUTATION PROPERTIES *******************************************)
  23
  24 definition S0 ≝ λC:candidate. ∀G,L2,L1,T1,d,e.
  25                 C G L1 T1 → ∀T2. ⇩[Ⓕ, d, e] L2 ≡ L1 → ⇧[d, e] T1 ≡ T2 → C G L2 T2.
  26
  27 definition S0s ≝ λC:candidate.
  28                  ∀G,L1,L2,des. ⇩*[Ⓕ, des] L2 ≡ L1 →
  29                  ∀T1,T2. ⇧*[des] T1 ≡ T2 → C G L1 T1 → C G L2 T2.
  30
  31 (* Note: this is Girard's CR1 *)
  32 definition S1 ≝ λRP,C:candidate.
  33                 ∀G,L,T. C G L T → RP G L T.
  34
  35 (* Note: this is Tait's iii, or Girard's CR4 *)
  36 definition S2 ≝ λRR:relation4 genv lenv term term. λRS:relation term. λRP,C:candidate.
  37                 ∀G,L,Vs. all … (RP G L) Vs →
  38                 ∀T. 𝐒⦃T⦄ → NF … (RR G L) RS T → C G L (ⒶVs.T).
  39
  40 (* Note: this generalizes Tait's ii *)
  41 definition S3 ≝ λC:candidate.
  42                 ∀a,G,L,Vs,V,T,W.
  43                 C G L (ⒶVs.ⓓ{a}ⓝW.V.T) → C G L (ⒶVs.ⓐV.ⓛ{a}W.T).
  44
  45 definition S4 ≝ λRP,C:candidate.
  46                 ∀G,L,Vs. all … (RP G L) Vs → ∀k. C G L (ⒶVs.⋆k).
  47
  48 definition S5 ≝ λC:candidate. ∀I,G,L,K,Vs,V1,V2,i.
  49                 ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V1 → ⇧[0, i+1] V1 ≡ V2 →
  50                 C G L (ⒶVs.V2) → C G L (ⒶVs.#i).
  51
  52 definition S6 ≝ λRP,C:candidate.
  53                 ∀G,L,V1s,V2s. ⇧[0, 1] V1s ≡ V2s →
  54                 ∀a,V,T. C G (L.ⓓV) (ⒶV2s.T) → RP G L V → C G L (ⒶV1s.ⓓ{a}V.T).
  55
  56 definition S7 ≝ λC:candidate.
  57                 ∀G,L,Vs,T,W. C G L (ⒶVs.T) → C G L (ⒶVs.W) → C G L (ⒶVs.ⓝW.T).
  58
  59 (* requirements for the generic reducibility candidate *)
  60 record gcr (RR:relation4 genv lenv term term) (RS:relation term) (RP,C:candidate) : Prop ≝
  61 { (* s0: S0 C; *)
  62   s1: S1 RP C;
  63   s2: S2 RR RS RP C;
  64   s3: S3 C;
  65   s4: S4 RP C;
  66   s5: S5 C;
  67   s6: S6 RP C;
  68   s7: S7 C
  69 }.
  70
  71 (* the functional construction for candidates *)
  72 definition cfun: candidate → candidate → candidate ≝
  73                  λC1,C2,G,K,T. ∀V. C1 G K V → C2 G K (ⓐV.T).
  74
  75 (* the reducibility candidate associated to an atomic arity *)
  76 let rec acr (RP:candidate) (A:aarity) on A: candidate ≝
  77 match A with
  78 [ AAtom     ⇒ RP
  79 | APair B A ⇒ cfun (acr RP B) (acr RP A)
  80 ].
  81
  82 interpretation
  83    "candidate of reducibility of an atomic arity (abstract)"
  84    'InEInt RP G L T A = (acr RP A G L T).
  85
  86 (* Basic properties *********************************************************)
  87 (*
  88 (* Basic_1: was: sc3_lift1 *)
  89 lemma gcr_lifts: ∀C. S0 C → S0s C.
  90 #C #HC #G #L1 #L2 #des #H elim H -L1 -L2 -des
  91 [ #L #T1 #T2 #H #HT1 <(lifts_inv_nil … H) -H //
  92 | #L1 #L #L2 #des #d #e #_ #HL2 #IHL #T2 #T1 #H #HLT2
  93   elim (lifts_inv_cons … H) -H /3 width=10 by/
  94 ]
  95 qed.
  96 *)
  97 axiom rp_lift: ∀RP. S0 RP.
  98
  99
 100 axiom rp_lifts: ∀RR,RS,RP. gcr RR RS RP RP →
 101                 ∀des,G,L0,L,V,V0. ⇩*[Ⓕ, des] L0 ≡ L → ⇧*[des] V ≡ V0 →
 102                 RP G L V → RP G L0 V0.
 103 (*
 104 #RR #RS #RP #HRP #des #G #L0 #L #V #V0 #HL0 #HV0 #HV
 105 @gcr_lifts /width=7 by/
 106 @(s0 … HRP)
 107 qed.
 108 *)
 109 (* Basic_1: was only: sns3_lifts1 *)
 110 axiom rp_liftsv_all: ∀RR,RS,RP. gcr RR RS RP RP →
 111                      ∀des,G,L0,L,Vs,V0s. ⇩*[Ⓕ, des] L0 ≡ L → ⇧*[des] Vs ≡ V0s →
 112                      all … (RP G L) Vs → all … (RP G L0) V0s.
 113 (*
 114 #RR #RS #RP #HRP #des #G #L0 #L #Vs #V0s #HL0 #H elim H -Vs -V0s normalize //
 115 #T1s #T2s #T1 #T2 #HT12 #_ #IHT2s * /3 width=7 by rp_lifts, conj/
 116 qed.
 117 *)
 118
 119 lemma gcr_lift: ∀RR,RS,RP. gcp RR RS RP → gcr RR RS RP RP →
 120                 ∀A. S0 (acr RP A).
 121 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #A elim A -A /2 width=7 by rp_lift/
 122 #B #A #IHB #IHA #G #L2 #L1 #T1 #d #e #IH #T2 #HL21 #HT12 #V #HB
 123 @(IHA … HL21) [3: @(lift_flat … HT12) |1: skip |
 124
 125 (* Basic_1: was:
 126    sc3_sn3 sc3_abst sc3_appl sc3_abbr sc3_bind sc3_cast sc3_lift
 127 *)
 128 lemma acr_gcr: ∀RR,RS,RP. gcp RR RS RP → gcr RR RS RP RP →
 129                ∀A. gcr RR RS RP (acr RP A).
 130 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #A elim A -A //
 131 #B #A #IHB #IHA @mk_gcr
 132 [ #G #L #T #H
 133   elim (cp1 … H1RP G L) #k #HK
 134   lapply (H (⋆k) ?) -H
 135   [ lapply (s2 … IHB G L (◊) … HK) //
 136   | #H @(cp2 … H1RP … k) @(s1 … IHA) //
 137   ]
 138 | #G #L #Vs #HVs #T #H1T #H2T #V #HB
 139   lapply (s1 … IHB … HB) #HV
 140   @(s2 … IHA … (V @ Vs))
 141   /3 width=14 by rp_liftsv_all, gcp_lifts, cp0, lifts_simple_dx, conj/
 142 | #a #G #L #Vs #U #T #W #HA #V #HB
 143   @(s3 … IHA … (V @ Vs)) /2 width=1 by/
 144 | #G #L #Vs #HVs #k #V #HB
 145   lapply (s1 … IHB … HB) #HV
 146   @(s4 … IHA … (V @ Vs)) /3 width=7 by rp_liftsv_all, conj/
 147 | #I #G #L #K #Vs #V1 #V2 #i #HLK #HV12 #HA #V #HB
 148   @(s5 … IHA … (V @ Vs) … HLK HV12) /2 width=1 by/
 149 | #G #L #V1s #V2s #HV12s #a #W #T #HA #HW #V1 #HB
 150   elim (lift_total V1 0 1) #V2 #HV12
 151   @(s6 … IHA … (V1 @ V1s) (V2 @ V2s)) /2 width=1 by liftv_cons/
 152   @HA @(gcr_lift … H1RP H2RP … HB … HV12) /2 width=2 by drop_drop/
 153 | #G #L #Vs #T #W #HA #HW #V #HB
 154   @(s7 … IHA … (V @ Vs)) /2 width=1 by/
 155 ]
 156 qed.
 157
 158 lemma acr_abst: ∀RR,RS,RP. gcp RR RS RP → gcr RR RS RP RP →
 159                 ∀a,G,L,W,T,B,A. ⦃G, L, W⦄ ϵ[RP] 〚B〛 → (
 160                    ∀V. ⦃G, L, V⦄ ϵ[RP] 〚B〛 → ⦃G, L.ⓓⓝW.V, T⦄ ϵ[RP] 〚A〛
 161                 ) →
 162                 ⦃G, L, ⓛ{a}W.T⦄ ϵ[RP] 〚②B.A〛.
 163 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #a #G #L #W #T #B #A #HW #HA #L0 #V0 #X #des #HL0 #H #HB
 164 lapply (acr_gcr … H1RP H2RP A) #HCA
 165 lapply (acr_gcr … H1RP H2RP B) #HCB
 166 elim (lifts_inv_bind1 … H) -H #W0 #T0 #HW0 #HT0 #H destruct
 167 lapply (gcr_lifts … HL0 … HW0 HW) -HW [ @(s0 … HCB) ] #HW0
 168 lapply (s3 … HCA … a G L0 (◊)) #H @H -H
 169 lapply (s6 … HCA G L0 (◊) (◊) ?) // #H @H -H
 170 [ @(HA … HL0) //
 171 | lapply (s1 … HCB) -HCB #HCB
 172   lapply (s7 … H2RP G L0 (◊)) /3 width=1 by/
 173 ]
 174 qed.
 175
 176 (* Basic_1: removed theorems 2: sc3_arity_gen sc3_repl *)
 177 (* Basic_1: removed local theorems 1: sc3_sn3_abst *)