matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/llpx/llpxs_cpxs.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/relocation/llpx_sn_tc.ma".
  16 include "basic_2/computation/cpxs_llpx.ma".
  17 include "basic_2/computation/llpxs.ma".
  18
  19 (* LAZY SN EXTENDED PARALLEL COMPUTATION ON LOCAL ENVIRONMENTS **************)
  20
  21 (* Advanced properties ******************************************************)
  22
  23 lemma llpxs_pair_dx: ∀h,g,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 →
  24                      ∀I,T. ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ ➡*[h, g, T, 0] L.ⓑ{I}V2.
  25 /2 width=1 by llpx_sn_TC_pair_dx/ qed.
  26
  27 (* Properties on context-sensitive extended parallel computation for terms **)
  28
  29 lemma llpxs_cpx_trans: ∀h,g,G. s_r_transitive … (cpx h g G) (llpxs h g G 0).
  30 /3 width=5 by s_r_trans_LTC2, llpx_cpxs_trans/ qed-.
  31
  32 lemma llpxs_cpxs_trans: ∀h,g,G. s_rs_transitive … (cpx h g G) (llpxs h g G 0).
  33 #h #g #G @s_r_to_s_rs_trans @s_r_trans_LTC2
  34 /3 width=5 by llpx_cpxs_trans, s_rs_trans_TC1/ (**) (* full auto too slow *)
  35 qed-.
  36
  37 (* Note: this is an instance of a general theorem *)
  38 lemma llpxs_cpxs_conf_dx: ∀h,g,G2,L2,T2,U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡*[h, g] U2 →
  39                           ∀L0. ⦃G2, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g, T2, O] L2 → ⦃G2, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g, U2, O] L2.
  40 #h #g #G2 #L2 #T2 #U2 #HTU2 #L0 #H @(llpxs_ind_dx … H) -L0 //
  41 #L0 #L #HL0 #HL2 #IHL2 @(llpxs_strap2 … IHL2) -IHL2
  42 lapply (llpxs_cpxs_trans … HTU2 … HL2) -L2 #HTU2
  43 /3 width=3 by llpx_cpxs_trans, cpxs_llpx_conf/
  44 qed-.
  45
  46 (* Note: this is an instance of a general theorem *)
  47 lemma llpxs_cpx_conf_dx: ∀h,g,G2,L2,T2,U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, g] U2 →
  48                          ∀L0. ⦃G2, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g, T2, O] L2 → ⦃G2, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g, U2, O] L2.
  49 #h #g #G2 #L2 #T2 #U2 #HTU2 #L0 #H @(llpxs_ind_dx … H) -L0 //
  50 #L0 #L #HL0 #HL2 #IHL2 @(llpxs_strap2 … IHL2) -IHL2
  51 lapply (llpxs_cpx_trans … HTU2 … HL2) -L2 #HTU2
  52 /3 width=3 by llpx_cpxs_trans, cpxs_llpx_conf/
  53 qed-.
  54
  55 lemma cpxs_bind2: ∀h,g,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 →
  56                   ∀I,T1,T2. ⦃G, L.ⓑ{I}V2⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 →
  57                   ∀a. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡*[h, g] ⓑ{a,I}V2.T2.
  58 /4 width=5 by llpxs_cpxs_trans, llpxs_pair_dx, cpxs_bind/ qed.
  59
  60 (* Advanced forward lemmas **************************************************)
  61
  62 (* Note: this might be moved *)
  63 lemma llpxs_fwd_lref_ge_sn: ∀h,g,G,L1,L2,d,i. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g, #i, d] L2 → d ≤ i →
  64                             ∀I,K1,V1. ⇩[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
  65                             ∃∃K2,V2. ⇩[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 &
  66                                      ⦃G, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g, V2, 0] K2 & ⦃G, K1⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2.
  67 #h #g #G #L1 #L2 #d #i #H #Hdi #I #K1 #V1 #HLK1 @(llpxs_ind … H) -L2 /2 width=5 by ex3_2_intro/ -HLK1
  68 #L #L2 #_ #HL2 * #K #V #HLK #HK1 #HV1 elim (llpx_inv_lref_ge_sn … HL2 … HLK) // -HL2 -HLK -Hdi
  69 #K2 #V2 #HLK2 #HK2 #HV2
  70 @(ex3_2_intro … HLK2) -HLK2
  71 [ /3 width=5 by llpxs_cpx_conf_dx, llpxs_strap1, llpx_cpx_conf/
  72 | /3 width=5 by llpxs_cpx_trans, cpxs_trans/
  73 ]
  74 qed-.
  75
  76 (* Inversion lemmas on context-sensitive ext parallel computation for terms *)
  77
  78 lemma cpxs_inv_abst1: ∀h,g,a,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 ➡*[h, g] U2 →
  79                       ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓛV1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 &
  80                                U2 = ⓛ{a}V2.T2.
  81 #h #g #a #G #L #V1 #T1 #U2 #H @(cpxs_ind … H) -U2 /2 width=5 by ex3_2_intro/
  82 #U0 #U2 #_ #HU02 * #V0 #T0 #HV10 #HT10 #H destruct
  83 elim (cpx_inv_abst1 … HU02) -HU02 #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  84 lapply (llpxs_cpx_trans … HT02 (L.ⓛV1) ?)
  85 /3 width=5 by llpxs_pair_dx, cpxs_trans, cpxs_strap1, ex3_2_intro/
  86 qed-.
  87
  88 lemma cpxs_inv_abbr1: ∀h,g,a,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡*[h, g] U2 → (
  89                       ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 &
  90                                U2 = ⓓ{a}V2.T2
  91                       ) ∨
  92                       ∃∃T2. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T2 & ⇧[0, 1] U2 ≡ T2 & a = true.
  93 #h #g #a #G #L #V1 #T1 #U2 #H @(cpxs_ind … H) -U2 /3 width=5 by ex3_2_intro, or_introl/
  94 #U0 #U2 #_ #HU02 * *
  95 [ #V0 #T0 #HV10 #HT10 #H destruct
  96   elim (cpx_inv_abbr1 … HU02) -HU02 *
  97   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  98     lapply (llpxs_cpx_trans … HT02 (L.ⓓV1) ?)
  99     /4 width=5 by llpxs_pair_dx, cpxs_trans, cpxs_strap1, ex3_2_intro, or_introl/
 100   | #T2 #HT02 #HUT2
 101     lapply (llpxs_cpx_trans … HT02 (L.ⓓV1) ?) -HT02
 102     /4 width=3 by llpxs_pair_dx, cpxs_trans, ex3_intro, or_intror/
 103   ]
 104 | #U1 #HTU1 #HU01
 105   elim (lift_total U2 0 1) #U #HU2
 106   /6 width=12 by cpxs_strap1, cpx_lift, ldrop_drop, ex3_intro, or_intror/
 107 ]
 108 qed-.
 109
 110 (* Properties on supclosure *************************************************)
 111
 112 lemma llpx_fqup_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊃+ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 113                        ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡[h, g, T1, 0] L1 →
 114                        ∃∃K2,T. ⦃G1, K1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T & ⦃G1, K1, T⦄ ⊃+ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡[h, g, T2, 0] L2.
 115 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fqup_ind … H) -G2 -L2 -T2
 116 [ #G2 #L2 #T2 #H12 #K1 #HKL1 elim (llpx_fqu_trans … H12 … HKL1) -L1
 117   /3 width=5 by cpx_cpxs, fqu_fqup, ex3_2_intro/
 118 | #G #G2 #L #L2 #T #T2 #_ #H2 #IH1 #K1 #HLK1 elim (IH1 … HLK1) -L1
 119   #L0 #T0 #HT10 #HT0 #HL0 elim (llpx_fqu_trans … H2 … HL0) -L
 120   #L #T3 #HT3 #HT32 #HL2 elim (fqup_cpx_trans … HT0 … HT3) -T
 121   /3 width=7 by cpxs_strap1, fqup_strap1, ex3_2_intro/
 122 ]
 123 qed-.
 124
 125 lemma llpx_fqus_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊃* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 126                        ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡[h, g, T1, 0] L1 →
 127                        ∃∃K2,T. ⦃G1, K1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T & ⦃G1, K1, T⦄ ⊃* ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡[h, g, T2, 0] L2.
 128 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fqus_ind … H) -G2 -L2 -T2 /2 width=5 by ex3_2_intro/
 129 #G #G2 #L #L2 #T #T2 #_ #H2 #IH1 #K1 #HLK1 elim (IH1 … HLK1) -L1
 130 #L0 #T0 #HT10 #HT0 #HL0 elim (llpx_fquq_trans … H2 … HL0) -L
 131 #L #T3 #HT3 #HT32 #HL2 elim (fqus_cpx_trans … HT0 … HT3) -T
 132 /3 width=7 by cpxs_strap1, fqus_strap1, ex3_2_intro/
 133 qed-.
 134
 135 lemma llpxs_fquq_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊃⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 136                         ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g, T1, 0] L1 →
 137                         ∃∃K2,T. ⦃G1, K1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T & ⦃G1, K1, T⦄ ⊃⸮ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g, T2, 0] L2.
 138 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #HT12 #K1 #H @(llpxs_ind_dx … H) -K1
 139 [ /2 width=5 by ex3_2_intro/
 140 | #K1 #K #HK1 #_ * #L #T #HT1 #HT2 #HL2 -HT12
 141   lapply (llpx_cpxs_trans … HT1 … HK1) -HT1 #HT1
 142   lapply (cpxs_llpx_conf … HT1 … HK1) -HK1 #HK1
 143   elim (llpx_fquq_trans … HT2 … HK1) -K
 144   /3 width=7 by llpxs_strap2, cpxs_strap1, ex3_2_intro/
 145 ]
 146 qed-.
 147
 148 lemma llpxs_fqup_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊃+ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 149                         ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g, T1, 0] L1 →
 150                         ∃∃K2,T. ⦃G1, K1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T & ⦃G1, K1, T⦄ ⊃+ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g, T2, 0] L2.
 151 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #HT12 #K1 #H @(llpxs_ind_dx … H) -K1
 152 [ /2 width=5 by ex3_2_intro/
 153 | #K1 #K #HK1 #_ * #L #T #HT1 #HT2 #HL2 -HT12
 154   lapply (llpx_cpxs_trans … HT1 … HK1) -HT1 #HT1
 155   lapply (cpxs_llpx_conf … HT1 … HK1) -HK1 #HK1
 156   elim (llpx_fqup_trans … HT2 … HK1) -K
 157   /3 width=7 by llpxs_strap2, cpxs_trans, ex3_2_intro/
 158 ]
 159 qed-.
 160
 161 lemma llpxs_fqus_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊃* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 162                         ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g, T1, 0] L1 →
 163                         ∃∃K2,T. ⦃G1, K1⦄ ⊢ T1 ➡*[h, g] T & ⦃G1, K1, T⦄ ⊃* ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g, T2, 0] L2.
 164 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #HT12 #K1 #H @(llpxs_ind_dx … H) -K1
 165 [ /2 width=5 by ex3_2_intro/
 166 | #K1 #K #HK1 #_ * #L #T #HT1 #HT2 #HL2 -HT12
 167   lapply (llpx_cpxs_trans … HT1 … HK1) -HT1 #HT1
 168   lapply (cpxs_llpx_conf … HT1 … HK1) -HK1 #HK1
 169   elim (llpx_fqus_trans … HT2 … HK1) -K
 170   /3 width=7 by llpxs_strap2, cpxs_trans, ex3_2_intro/
 171 ]
 172 qed-.