matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/lsubr/cpqs.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 notation "hvbox( L ⊢ break term 46 T1 ➤ * break term 46 T2 )"
  16    non associative with precedence 45
  17    for @{ 'PRestStar $L $T1 $T2 }.
  18
  19 include "basic_2/substitution/cpss.ma".
  20
  21 (* CONTEXT-SENSITIVE RESTRICTED PARALLEL COMPUTATION FOR TERMS **************)
  22
  23 inductive cpqs: lenv → relation term ≝
  24 | cpqs_atom : ∀I,L. cpqs L (⓪{I}) (⓪{I})
  25 | cpqs_delta: ∀L,K,V,V2,W2,i.
  26               ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV → cpqs K V V2 →
  27               ⇧[0, i + 1] V2 ≡ W2 → cpqs L (#i) W2
  28 | cpqs_bind : ∀a,I,L,V1,V2,T1,T2.
  29               cpqs L V1 V2 → cpqs (L. ⓑ{I} V1) T1 T2 →
  30               cpqs L (ⓑ{a,I} V1. T1) (ⓑ{a,I} V2. T2)
  31 | cpqs_flat : ∀I,L,V1,V2,T1,T2.
  32               cpqs L V1 V2 → cpqs L T1 T2 →
  33               cpqs L (ⓕ{I} V1. T1) (ⓕ{I} V2. T2)
  34 | cpqs_zeta : ∀L,V,T1,T,T2. cpqs (L.ⓓV) T1 T →
  35               ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpqs L (+ⓓV. T1) T2
  36 | cpqs_tau  : ∀L,V,T1,T2. cpqs L T1 T2 → cpqs L (ⓝV. T1) T2
  37 .
  38
  39 interpretation "context-sensitive restricted parallel computation (term)"
  40    'PRestStar L T1 T2 = (cpqs L T1 T2).
  41
  42 (* Basic properties *********************************************************)
  43
  44 lemma cpqs_lsubr_trans: lsub_trans … cpqs lsubr.
  45 #L1 #T1 #T2 #H elim H -L1 -T1 -T2
  46 [ //
  47 | #L1 #K1 #V1 #V2 #W2 #i #HLK1 #_ #HVW2 #IHV12 #L2 #HL12
  48   elim (lsubr_fwd_ldrop2_abbr … HL12 … HLK1) -HL12 -HLK1 /3 width=6/
  49 | /4 width=1/
  50 |4,6: /3 width=1/
  51 | /4 width=3/
  52 ]
  53 qed-.
  54
  55 lemma cpss_cpqs: ∀L,T1,T2. L ⊢ T1 ▶* T2 → L ⊢ T1 ➤* T2.
  56 #L #T1 #T2 #H elim H -L -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=6/
  57 qed.
  58
  59 lemma cpqs_refl: ∀T,L. L ⊢ T ➤* T.
  60 /2 width=1/ qed.
  61
  62 lemma cpqs_delift: ∀L,K,V,T1,d. ⇩[0, d] L ≡ (K. ⓓV) →
  63                    ∃∃T2,T. L ⊢ T1 ➤* T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
  64 #L #K #V #T1 #d #HLK
  65 elim (cpss_delift … T1 … HLK) -HLK /3 width=4/
  66 qed-.
  67
  68 lemma cpqs_append: l_appendable_sn … cpqs.
  69 #K #T1 #T2 #H elim H -K -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/
  70 #K #K0 #V1 #V2 #W2 #i #HK0 #_ #HVW2 #IHV12 #L
  71 lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HK0) #H
  72 @(cpqs_delta … (L@@K0) V1 … HVW2) //
  73 @(ldrop_O1_append_sn_le … HK0) /2 width=2/ (**) (* /3/ does not work *)
  74 qed.
  75
  76 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  77
  78 fact cpqs_inv_atom1_aux: ∀L,T1,T2. L ⊢ T1 ➤* T2 → ∀I. T1 = ⓪{I} →
  79                          T2 = ⓪{I} ∨
  80                          ∃∃K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
  81                                      K ⊢ V ➤* V2 &
  82                                      ⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2 &
  83                                      I = LRef i.
  84 #L #T1 #T2 * -L -T1 -T2
  85 [ #I #L #J #H destruct /2 width=1/
  86 | #L #K #V #V2 #T2 #i #HLK #HV2 #HVT2 #J #H destruct /3 width=8/
  87 | #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
  88 | #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
  89 | #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #H destruct
  90 | #L #V #T1 #T2 #_ #J #H destruct
  91 ]
  92 qed-.
  93
  94 lemma cpqs_inv_atom1: ∀I,L,T2. L ⊢ ⓪{I} ➤* T2 →
  95                       T2 = ⓪{I} ∨
  96                       ∃∃K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
  97                                   K ⊢ V ➤* V2 &
  98                                   ⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2 &
  99                                   I = LRef i.
 100 /2 width=3 by cpqs_inv_atom1_aux/ qed-.
 101
 102 lemma cpqs_inv_sort1: ∀L,T2,k. L ⊢ ⋆k ➤* T2 → T2 = ⋆k.
 103 #L #T2 #k #H
 104 elim (cpqs_inv_atom1 … H) -H //
 105 * #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
 106 qed-.
 107
 108 lemma cpqs_inv_lref1: ∀L,T2,i. L ⊢ #i ➤* T2 →
 109                       T2 = #i ∨
 110                       ∃∃K,V,V2. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 111                                 K ⊢ V ➤* V2 &
 112                                 ⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2.
 113 #L #T2 #i #H
 114 elim (cpqs_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/
 115 * #K #V #V2 #j #HLK #HV2 #HVT2 #H destruct /3 width=6/
 116 qed-.
 117
 118 lemma cpqs_inv_gref1: ∀L,T2,p. L ⊢ §p ➤* T2 → T2 = §p.
 119 #L #T2 #p #H
 120 elim (cpqs_inv_atom1 … H) -H //
 121 * #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
 122 qed-.
 123
 124 fact cpqs_inv_bind1_aux: ∀L,U1,U2. L ⊢ U1 ➤* U2 →
 125                          ∀a,I,V1,T1. U1 = ⓑ{a,I} V1. T1 → (
 126                          ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 &
 127                                   L. ⓑ{I} V1 ⊢ T1 ➤* T2 &
 128                                   U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
 129                          ) ∨
 130                          ∃∃T. L.ⓓV1 ⊢ T1 ➤* T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true & I = Abbr.
 131 #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
 132 [ #I #L #b #J #W1 #U1 #H destruct
 133 | #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
 134 | #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=5/
 135 | #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
 136 | #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=3/
 137 | #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
 138 ]
 139 qed-.
 140
 141 lemma cpqs_inv_bind1: ∀a,I,L,V1,T1,U2. L ⊢ ⓑ{a,I} V1. T1 ➤* U2 → (
 142                       ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 &
 143                                L. ⓑ{I} V1 ⊢ T1 ➤* T2 &
 144                                U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
 145                       ) ∨
 146                       ∃∃T. L.ⓓV1 ⊢ T1 ➤* T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true & I = Abbr.
 147 /2 width=3 by cpqs_inv_bind1_aux/ qed-.
 148
 149 lemma cpqs_inv_abbr1: ∀a,L,V1,T1,U2. L ⊢ ⓓ{a} V1. T1 ➤* U2 → (
 150                       ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 &
 151                                L. ⓓ V1 ⊢ T1 ➤* T2 &
 152                                U2 = ⓓ{a} V2. T2
 153                       ) ∨
 154                       ∃∃T. L.ⓓV1 ⊢ T1 ➤* T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
 155 #a #L #V1 #T1 #U2 #H
 156 elim (cpqs_inv_bind1 … H) -H * /3 width=3/ /3 width=5/
 157 qed-.
 158
 159 lemma cpqs_inv_abst1: ∀a,L,V1,T1,U2. L ⊢ ⓛ{a} V1. T1 ➤* U2 →
 160                       ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 &
 161                                L. ⓛ V1 ⊢ T1 ➤* T2 &
 162                                U2 = ⓛ{a} V2. T2.
 163 #a #L #V1 #T1 #U2 #H
 164 elim (cpqs_inv_bind1 … H) -H *
 165 [ /3 width=5/
 166 | #T #_ #_ #_ #H destruct
 167 ]
 168 qed-.
 169
 170 fact cpqs_inv_flat1_aux: ∀L,U1,U2. L ⊢ U1 ➤* U2 →
 171                          ∀I,V1,T1. U1 = ⓕ{I} V1. T1 → (
 172                          ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 & L ⊢ T1 ➤* T2 &
 173                                   U2 = ⓕ{I} V2. T2
 174                          ) ∨
 175                          (L ⊢ T1 ➤* U2 ∧ I = Cast).
 176 #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
 177 [ #I #L #J #W1 #U1 #H destruct
 178 | #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
 179 | #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
 180 | #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=5/
 181 | #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
 182 | #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=1/
 183 ]
 184 qed-.
 185
 186 lemma cpqs_inv_flat1: ∀I,L,V1,T1,U2. L ⊢ ⓕ{I} V1. T1 ➤* U2 → (
 187                       ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 & L ⊢ T1 ➤* T2 &
 188                                U2 = ⓕ{I} V2. T2
 189                       ) ∨
 190                       (L ⊢ T1 ➤* U2 ∧ I = Cast).
 191 /2 width=3 by cpqs_inv_flat1_aux/ qed-.
 192
 193 lemma cpqs_inv_appl1: ∀L,V1,T1,U2. L ⊢ ⓐ V1. T1 ➤* U2 →
 194                       ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 & L ⊢ T1 ➤* T2 &
 195                                U2 = ⓐ V2. T2.
 196 #L #V1 #T1 #U2 #H elim (cpqs_inv_flat1 … H) -H *
 197 [ /3 width=5/
 198 | #_ #H destruct
 199 ]
 200 qed-.
 201
 202 lemma cpqs_inv_cast1: ∀L,V1,T1,U2. L ⊢ ⓝ V1. T1 ➤* U2 → (
 203                       ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ➤* V2 & L ⊢ T1 ➤* T2 &
 204                                U2 = ⓝ V2. T2
 205                       ) ∨
 206                       L ⊢ T1 ➤* U2.
 207 #L #V1 #T1 #U2 #H elim (cpqs_inv_flat1 … H) -H * /2 width=1/ /3 width=5/
 208 qed-.
 209
 210 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 211
 212 lemma cpqs_fwd_shift1: ∀L1,L,T1,T. L ⊢ L1 @@ T1 ➤* T →
 213                        ∃∃L2,T2. |L1| = |L2| & T = L2 @@ T2.
 214 #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
 215 [ #L #T1 #T #HT1
 216   @(ex2_2_intro … (⋆)) // (**) (* explicit constructor *)
 217 | #I #L1 #V1 #IH #L #T1 #X
 218   >shift_append_assoc normalize #H
 219   elim (cpqs_inv_bind1 … H) -H *
 220   [ #V0 #T0 #_ #HT10 #H destruct
 221     elim (IH … HT10) -IH -HT10 #L2 #T2 #HL12 #H destruct
 222     >append_length >HL12 -HL12
 223     @(ex2_2_intro … (⋆.ⓑ{I}V0@@L2) T2) [ >append_length ] // /2 width=3/ (**) (* explicit constructor *)
 224   | #T #_ #_ #H destruct
 225   ]
 226 ]
 227 qed-.