matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_2A1/nta/nta_alt.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/equivalence/cpcs_cpcs.ma".
  16 include "basic_2/dynamic/nta.ma".
  17
  18 (* NATIVE TYPE ASSIGNMENT ON TERMS ******************************************)
  19
  20 (* alternative definition of nta *)
  21 inductive ntaa (h:sh): lenv → relation term ≝
  22 | ntaa_sort: ∀L,k. ntaa h L (⋆k) (⋆(next h k))
  23 | ntaa_ldef: ∀L,K,V,W,U,i. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV → ntaa h K V W →
  24              ⇧[0, i + 1] W ≡ U → ntaa h L (#i) U
  25 | ntaa_ldec: ∀L,K,W,V,U,i. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓛW → ntaa h K W V →
  26              ⇧[0, i + 1] W ≡ U → ntaa h L (#i) U
  27 | ntaa_bind: ∀I,L,V,W,T,U. ntaa h L V W → ntaa h (L. ⓑ{I} V) T U →
  28              ntaa h L (ⓑ{I}V.T) (ⓑ{I}V.U)
  29 | ntaa_appl: ∀L,V,W,T,U. ntaa h L V W → ntaa h L (ⓛW.T) (ⓛW.U) →
  30              ntaa h L (ⓐV.ⓛW.T) (ⓐV.ⓛW.U)
  31 | ntaa_pure: ∀L,V,W,T,U. ntaa h L T U → ntaa h L (ⓐV.U) W →
  32              ntaa h L (ⓐV.T) (ⓐV.U)
  33 | ntaa_cast: ∀L,T,U,W. ntaa h L T U → ntaa h L U W → ntaa h L (ⓝU. T) U
  34 | ntaa_conv: ∀L,T,U1,U2,V2. ntaa h L T U1 → L ⊢ U1 ⬌* U2 → ntaa h L U2 V2 →
  35              ntaa h L T U2
  36 .
  37
  38 interpretation "native type assignment (term) alternative"
  39    'NativeTypeAlt h L T U = (ntaa h L T U).
  40
  41 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  42
  43 fact ntaa_inv_bind1_aux: ∀h,L,T,U. ⦃h, L⦄ ⊢ T :: U → ∀J,X,Y. T = ⓑ{J}Y.X →
  44                          ∃∃Z1,Z2. ⦃h, L⦄ ⊢ Y :: Z1 & ⦃h, L.ⓑ{J}Y⦄ ⊢ X :: Z2 &
  45                                   L ⊢ ⓑ{J}Y.Z2 ⬌* U.
  46 #h #L #T #U #H elim H -L -T -U
  47 [ #L #k #J #X #Y #H destruct
  48 | #L #K #V #W #U #i #_ #_ #_ #_ #J #X #Y #H destruct
  49 | #L #K #W #V #U #i #_ #_ #_ #_ #J #X #Y #H destruct
  50 | #I #L #V #W #T #U #HVW #HTU #_ #_ #J #X #Y #H destruct /2 width=3/
  51 | #L #V #W #T #U #_ #_ #_ #_ #J #X #Y #H destruct
  52 | #L #V #W #T #U #_ #_ #_ #_ #J #X #Y #H destruct
  53 | #L #T #U #W #_ #_ #_ #_ #J #X #Y #H destruct
  54 | #L #T #U1 #U2 #V2 #_ #HU12 #_ #IHTU1 #_ #J #X #Y #H destruct
  55   elim (IHTU1 ????) -IHTU1 [5: // |2,3,4: skip ] #Z1 #Z2 #HZ1 #HZ2 #HU1
  56   lapply (cpcs_trans … HU1 … HU12) -U1 /2 width=3/
  57 ]
  58 qed.
  59
  60 lemma ntaa_inv_bind1: ∀h,J,L,Y,X,U. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓑ{J}Y.X :: U →
  61                       ∃∃Z1,Z2. ⦃h, L⦄ ⊢ Y :: Z1 & ⦃h, L.ⓑ{J}Y⦄ ⊢ X :: Z2 &
  62                                L ⊢ ⓑ{J}Y.Z2 ⬌* U.
  63 /2 width=3/ qed-.
  64
  65 lemma ntaa_nta: ∀h,L,T,U. ⦃h, L⦄ ⊢ T :: U → ⦃h, L⦄ ⊢ T : U.
  66 #h #L #T #U #H elim H -L -T -U
  67 // /2 width=1/ /2 width=2/ /2 width=3/ /2 width=6/
  68 qed-.
  69
  70 (* Properties on relocation *************************************************)
  71
  72 lemma ntaa_lift: ∀h,L1,T1,U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 :: U1 → ∀L2,d,e. ⇩[d, e] L2 ≡ L1 →
  73                  ∀T2. ⇧[d, e] T1 ≡ T2 → ∀U2. ⇧[d, e] U1 ≡ U2 → ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 :: U2.
  74 #h #L1 #T1 #U1 #H elim H -L1 -T1 -U1
  75 [ #L1 #k #L2 #d #e #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
  76   >(lift_inv_sort1 … H1) -X1
  77   >(lift_inv_sort1 … H2) -X2 //
  78 | #L1 #K1 #V1 #W1 #W #i #HLK1 #_ #HW1 #IHVW1 #L2 #d #e #HL21 #X #H #U2 #HWU2
  79   elim (lift_inv_lref1 … H) * #Hid #H destruct
  80   [ elim (lift_trans_ge … HW1 … HWU2 ?) -W // #W2 #HW12 #HWU2
  81     elim (ldrop_trans_le … HL21 … HLK1 ?) -L1 /2 width=2/ #X #HLK2 #H
  82     elim (ldrop_inv_skip2 … H ?) -H /2 width=1/ -Hid #K2 #V2 #HK21 #HV12 #H destruct
  83     /3 width=8/
  84   | lapply (lift_trans_be … HW1 … HWU2 ? ?) -W // /2 width=1/ #HW1U2
  85     lapply (ldrop_trans_ge … HL21 … HLK1 ?) -L1 // -Hid /3 width=8/
  86   ]
  87 | #L1 #K1 #W1 #V1 #W #i #HLK1 #_ #HW1 #IHWV1 #L2 #d #e #HL21 #X #H #U2 #HWU2
  88   elim (lift_inv_lref1 … H) * #Hid #H destruct
  89   [ elim (lift_trans_ge … HW1 … HWU2 ?) -W // <minus_plus #W #HW1 #HWU2
  90     elim (ldrop_trans_le … HL21 … HLK1 ?) -L1 /2 width=2/ #X #HLK2 #H
  91     elim (ldrop_inv_skip2 … H ?) -H /2 width=1/ -Hid #K2 #W2 #HK21 #HW12 #H destruct
  92     lapply (lift_mono … HW1 … HW12) -HW1 #H destruct
  93     elim (lift_total V1 (d-i-1) e) /3 width=8/
  94   | lapply (lift_trans_be … HW1 … HWU2 ? ?) -W // /2 width=1/ #HW1U2
  95     lapply (ldrop_trans_ge … HL21 … HLK1 ?) -L1 // -Hid /3 width=8/
  96   ]
  97 | #I #L1 #V1 #W1 #T1 #U1 #_ #_ #IHVW1 #IHTU1 #L2 #d #e #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
  98   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H destruct
  99   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #X #U2 #H1 #HU12 #H2 destruct
 100   lapply (lift_mono … H1 … HV12) -H1 #H destruct
 101   elim (lift_total W1 d e) /4 width=6/
 102 | #L1 #V1 #W1 #T1 #U1 #_ #_ #IHVW1 #IHTU1 #L2 #d #e #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
 103   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #V2 #X #HV12 #H1 #H destruct
 104   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #W2 #T2 #HW12 #HT12 #H destruct
 105   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #Y2 #X #HY #H2 #H destruct
 106   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #X2 #U2 #HX #HU12 #H destruct
 107   lapply (lift_mono … HY … HV12) -HY #H destruct
 108   lapply (lift_mono … HX … HW12) -HX #H destruct /4 width=6/
 109 | #L1 #V1 #W1 #T1 #U1 #_ #_ #IHTU1 #IHUW1 #L2 #d #e #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
 110   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H destruct
 111   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #X #U2 #H1 #HU12 #H2 destruct
 112   lapply (lift_mono … H1 … HV12) -H1 #H destruct
 113   elim (lift_total W1 d e) /4 width=6/
 114 | #L1 #T1 #U1 #W1 #_ #_ #IHTU1 #IHUW1 #L2 #d #e #HL21 #X #H #U2 #HU12
 115   elim (lift_inv_flat1 … H) -H #X2 #T2 #HUX2 #HT12 #H destruct
 116   lapply (lift_mono … HUX2 … HU12) -HUX2 #H destruct
 117   elim (lift_total W1 d e) /3 width=6/
 118 | #L1 #T1 #U11 #U12 #V12 #_ #HU112 #_ #IHTU11 #IHUV12 #L2 #d #e #HL21 #U1 #HTU1 #U2 #HU12
 119   elim (lift_total U11 d e) #U #HU11
 120   elim (lift_total V12 d e) #V22 #HV122
 121   lapply (cpcs_lift … HL21 … HU11 … HU12 HU112) -HU112 /3 width=6/
 122 ]
 123 qed.
 124
 125 (* Advanced forvard lemmas **************************************************)
 126
 127 lemma ntaa_fwd_correct: ∀h,L,T,U. ⦃h, L⦄ ⊢ T :: U → ∃T0. ⦃h, L⦄ ⊢ U :: T0.
 128 #h #L #T #U #H elim H -L -T -U
 129 [ /2 width=2/
 130 | #L #K #V #W #W0 #i #HLK #_ #HW0 * #V0 #HWV0
 131   lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK) -HLK #HLK
 132   elim (lift_total V0 0 (i+1)) /3 width=10/
 133 | #L #K #W #V #V0 #i #HLK #HWV #HWV0 #_
 134   lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK) -HLK #HLK
 135   elim (lift_total V 0 (i+1)) /3 width=10/
 136 | #I #L #V #W #T #U #HVW #_ #_ * /3 width=2/
 137 | #L #V #W #T #U #HVW #_ #_ * #X #H
 138   elim (ntaa_inv_bind1 … H) -H /4 width=2/
 139 | #L #V #W #T #U #_ #HUW * #T0 #HUT0 /3 width=2/
 140 | /2 width=2/
 141 | /2 width=2/
 142 ]
 143 qed-.
 144
 145 (* Advanced properties ******************************************************)
 146
 147 lemma nta_ntaa: ∀h,L,T,U. ⦃h, L⦄ ⊢ T : U → ⦃h, L⦄ ⊢ T :: U.
 148 #h #L #T #U #H elim H -L -T -U
 149 // /2 width=1/ /2 width=2/ /2 width=3/ /2 width=6/
 150 #L #T #U #_ #HTU
 151 elim (ntaa_fwd_correct … HTU) /2 width=2/
 152 qed.
 153
 154 (* Advanced eliminators *****************************************************)
 155
 156 lemma nta_ind_alt: ∀h. ∀R:lenv→relation term.
 157    (∀L,k. R L ⋆k ⋆(next h k)) →
 158    (∀L,K,V,W,U,i.
 159       ⇩[O, i] L ≡ K.ⓓV → ⦃h, K⦄ ⊢ V : W → ⇧[O, i + 1] W ≡ U →
 160       R K V W → R L (#i) U
 161    ) →
 162    (∀L,K,W,V,U,i.
 163       ⇩[O, i] L ≡ K.ⓛW → ⦃h, K⦄ ⊢ W : V → ⇧[O, i + 1] W ≡ U →
 164       R K W V → R L (#i) U
 165    ) →
 166    (∀I,L,V,W,T,U.
 167       ⦃h, L⦄ ⊢ V : W → ⦃h, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T : U →
 168       R L V W → R (L.ⓑ{I}V) T U → R L (ⓑ{I}V.T) (ⓑ{I}V.U)
 169    ) →
 170    (∀L,V,W,T,U.
 171       ⦃h, L⦄ ⊢ V : W → ⦃h, L⦄ ⊢ (ⓛW.T):(ⓛW.U) →
 172       R L V W →R L (ⓛW.T) (ⓛW.U) →R L (ⓐV.ⓛW.T) (ⓐV.ⓛW.U)
 173    ) →
 174    (∀L,V,W,T,U.
 175       ⦃h, L⦄ ⊢ T : U → ⦃h, L⦄ ⊢ (ⓐV.U) : W →
 176       R L T U → R L (ⓐV.U) W → R L (ⓐV.T) (ⓐV.U)
 177    ) →
 178    (∀L,T,U,W.
 179       ⦃h, L⦄ ⊢ T : U → ⦃h, L⦄ ⊢ U : W →
 180       R L T U → R L U W → R L (ⓝU.T) U
 181    ) →
 182    (∀L,T,U1,U2,V2.
 183       ⦃h, L⦄ ⊢ T : U1 → L ⊢ U1 ⬌* U2 → ⦃h, L⦄ ⊢ U2 : V2 →
 184       R L T U1 →R L U2 V2 →R L T U2
 185    ) →
 186    ∀L,T,U. ⦃h, L⦄ ⊢ T : U → R L T U.
 187 #h #R #H1 #H2 #H3 #H4 #H5 #H6 #H7 #H8 #L #T #U #H elim (nta_ntaa … H) -L -T -U
 188 // /3 width=1 by ntaa_nta/ /3 width=3 by ntaa_nta/ /3 width=4 by ntaa_nta/
 189 /3 width=7 by ntaa_nta/
 190 qed-.