matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc_new/cpy/cpy.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/psubst_6.ma".
  16 include "basic_2/grammar/genv.ma".
  17 include "basic_2/substitution/lsuby.ma".
  18
  19 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED ORDINARY SUBSTITUTION FOR TERMS ***************)
  20
  21 (* activate genv *)
  22 inductive cpy: ynat → ynat → relation4 genv lenv term term ≝
  23 | cpy_atom : ∀I,G,L,l,m. cpy l m G L (⓪{I}) (⓪{I})
  24 | cpy_subst: ∀I,G,L,K,V,W,i,l,m. l ≤ i → i < l+m →
  25              ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{I}V → ⬆[0, ⫯i] V ≡ W → cpy l m G L (#i) W
  26 | cpy_bind : ∀a,I,G,L,V1,V2,T1,T2,l,m.
  27              cpy l m G L V1 V2 → cpy (⫯l) m G (L.ⓑ{I}V1) T1 T2 →
  28              cpy l m G L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
  29 | cpy_flat : ∀I,G,L,V1,V2,T1,T2,l,m.
  30              cpy l m G L V1 V2 → cpy l m G L T1 T2 →
  31              cpy l m G L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
  32 .
  33
  34 interpretation "context-sensitive extended ordinary substritution (term)"
  35    'PSubst G L T1 l m T2 = (cpy l m G L T1 T2).
  36
  37 (* Basic properties *********************************************************)
  38
  39 lemma lsuby_cpy_trans: ∀G,l,m. lsub_trans … (cpy l m G) (lsuby l m).
  40 #G #l #m #L1 #T1 #T2 #H elim H -G -L1 -T1 -T2 -l -m
  41 [ //
  42 | #I #G #L1 #K1 #V #W #i #l #m #Hli #Hilm #HLK1 #HVW #L2 #HL12
  43   elim (ylt_inv_plus_dx … Hilm) #m0 #H0 #_
  44   elim (lsuby_drop_trans_be … HL12 … HLK1 … H0) -HL12 -HLK1 -H0 /2 width=5 by cpy_subst/
  45 | /4 width=1 by lsuby_succ, cpy_bind/
  46 | /3 width=1 by cpy_flat/
  47 ]
  48 qed-.
  49
  50 lemma cpy_refl: ∀G,T,L,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶[l, m] T.
  51 #G #T elim T -T // * /2 width=1 by cpy_bind, cpy_flat/
  52 qed.
  53
  54 (* Basic_1: was: subst1_ex *)
  55 lemma cpy_full: ∀I,G,K,V,T1,L,l. ⬇[l] L ≡ K.ⓑ{I}V →
  56                 ∃∃T2,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, 1] T2 & ⬆[l, 1] T ≡ T2.
  57 #I #G #K #V #T1 elim T1 -T1
  58 [ * #i #L #l #HLK
  59   /2 width=4 by lift_sort, lift_gref, ex2_2_intro/
  60   elim (ylt_split_eq i l) /3 width=4 by lift_lref_pred, lift_lref_lt, ex2_2_intro/
  61   #H destruct lapply (drop_fwd_Y2 … HLK) #Hi
  62   elim (lift_total (⫯i) … V 0) /2 width=1 by ylt_succ/
  63   #W #HVW elim (lift_split … HVW i i … 1)
  64   /4 width=6 by cpy_subst, monotonic_ylt_plus_sn, ex2_2_intro/
  65 | * [ #a ] #J #W1 #U1 #IHW1 #IHU1 #L #l #HLK
  66   elim (IHW1 … HLK) -IHW1 #W2 #W #HW12 #HW2
  67   [ elim (IHU1 (L.ⓑ{J}W1) (⫯l)) -IHU1
  68     /3 width=9 by cpy_bind, drop_drop, lift_bind, ex2_2_intro/
  69   | elim (IHU1 … HLK) -IHU1 -HLK
  70     /3 width=8 by cpy_flat, lift_flat, ex2_2_intro/
  71   ]
  72 ]
  73 qed-.
  74
  75 lemma cpy_weak: ∀G,L,T1,T2,l1,m1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l1, m1] T2 →
  76                 ∀l2,m2. l2 ≤ l1 → l1 + m1 ≤ l2 + m2 →
  77                 ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l2, m2] T2.
  78 #G #L #T1 #T2 #l1 #m1 #H elim H -G -L -T1 -T2 -l1 -m1 //
  79 [ /3 width=5 by cpy_subst, ylt_yle_trans, yle_trans/
  80 | /4 width=3 by cpy_bind, ylt_yle_trans, yle_succ/
  81 | /3 width=1 by cpy_flat/
  82 ]
  83 qed-.
  84 (*
  85 lemma cpy_weak_top: ∀G,L,T1,T2,l,m.
  86                     ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, ∞] T2.
  87 /2 width=5 by cpy_weak/ qed-.
  88
  89 lemma cpy_weak_full: ∀G,L,T1,T2,l,m.
  90                      ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[0, ∞] T2.
  91 /2 width=5 by cpy_weak/ qed-.
  92 *)
  93 lemma cpy_split_up: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 →
  94                     ∀i,m2. i + m2 = l + m →
  95                     ∀m1. i ≤ l + m1 →
  96                     ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m1] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶[i, m2] T2.
  97 #G #L #T1 #T2 #l #m #H elim H -G -L -T1 -T2 -l -m
  98 [ /2 width=3 by ex2_intro/
  99 | #I #G #L #K #V #W #i #l #m #Hli #Hilm #HLK #HVW #j #m2 #H2 #m1 #H1
 100   elim (ylt_split i j) [ -Hilm -H2 | -Hli ]
 101   /4 width=9 by cpy_subst, ylt_yle_trans, ex2_intro/
 102 | #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #m2 #H2 #m1 #H1
 103   elim (IHV12 … H2 … H1) -IHV12 #V
 104   elim (IHT12 (⫯i) … m2 … m1) -IHT12 /2 width=1 by yle_succ/ -H2 -H1
 105   #T #HT1 #HT2 lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L.ⓑ{I}V) ?) -HT2
 106   /3 width=5 by lsuby_succ, ex2_intro, cpy_bind/
 107 | #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #m2 #H2 #m1 #H1
 108   elim (IHV12 … H2 … H1) -IHV12 elim (IHT12 … H2 … H1) -IHT12 -H2 -H1
 109   /3 width=5 by ex2_intro, cpy_flat/
 110 ]
 111 qed-.
 112
 113 lemma cpy_split_down: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 →
 114                       ∀m1,m2. m = m1 + m2 →
 115                       ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l+m2, m1] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶[l, m2] T2.
 116 #G #L #T1 #T2 #l #m #H elim H -G -L -T1 -T2 -l -m
 117 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 118 | #I #G #L #K #V #W #i #l #m #Hli #Hilm #HLK #HVW #m1 #m2 #H destruct
 119   elim (ylt_split i (l+m2)) [ -Hilm | -Hli ]
 120   /3 width=9 by cpy_subst, ex2_intro/
 121 | #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #IHV12 #IHT12 #m1 #m2 #H destruct
 122   elim (IHV12 m1 m2) -IHV12 // #V
 123   elim (IHT12 m1 m2) -IHT12 //
 124   >yplus_succ1 #T #HT1 #HT2
 125   lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L.ⓑ{I}V) ?) -HT2
 126   /3 width=5 by lsuby_succ, ex2_intro, cpy_bind/
 127 | #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #IHV12 #IHT12 #m1 #m2 #H destruct
 128   elim (IHV12 m1 m2) -IHV12 // elim (IHT12 m1 m2) -IHT12 //
 129   /3 width=5 by ex2_intro, cpy_flat/
 130 ]
 131 qed-.
 132
 133 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 134
 135 lemma cpy_fwd_up: ∀G,L,U1,U2,lt,mt. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶[lt, mt] U2 →
 136                   ∀T1,l,m. ⬆[l, m] T1 ≡ U1 →
 137                   l ≤ lt → l + m ≤ lt + mt →
 138                   ∃∃T2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶[l+m, lt+mt-(l+m)] U2 & ⬆[l, m] T2 ≡ U2.
 139 #G #L #U1 #U2 #lt #mt #H elim H -G -L -U1 -U2 -lt -mt
 140 [ * #i #G #L #lt #mt #T1 #l #m #H #_
 141   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 142   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hil #H destruct /3 width=3 by lift_lref_ge_minus, lift_lref_lt, ex2_intro/
 143   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 144   ]
 145 | #I #G #L #K #V #W #i #lt #mt #Hlti #Hilmt #HLK #HVW #T1 #l #m #H #Hllt #Hlmlmt
 146   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hil #H destruct [ -V -Hilmt -Hlmlmt | -Hlti -Hllt ]
 147   [ elim (ylt_yle_false … Hllt) -Hllt /3 width=3 by yle_ylt_trans, ylt_inj/
 148   | elim (yle_inv_plus_inj2 … Hil) #Hlim #Hmi
 149     elim (lift_split … HVW l (⫯(i-m)) ? ? ?) [2,3,4: /2 width=1 by yle_succ_dx, le_S_S/ ] -Hlim
 150     #T2 #_ >plus_minus /2 width=1 by yle_inv_inj/ <minus_minus /3 width=1 by le_S, yle_inv_inj/ <minus_n_n <plus_n_O #H -Hmi
 151     @(ex2_intro … H) -H @(cpy_subst … HLK HVW) /2 width=1 by yle_inj/ >ymax_pre_sn_comm // (**) (* explicit constructor *)
 152   ]
 153 | #a #I #G #L #W1 #W2 #U1 #U2 #lt #mt #_ #_ #IHW12 #IHU12 #X #l #m #H #Hllt #Hlmlmt
 154   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #V1 #T1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 155   elim (IHW12 … HVW1) -V1 -IHW12 //
 156   elim (IHU12 … HTU1) -T1 -IHU12 /2 width=1 by yle_succ/
 157   <yplus_inj >yplus_SO2 >yplus_succ1 >yplus_succ1
 158   /3 width=2 by cpy_bind, lift_bind, ex2_intro/
 159 | #I #G #L #W1 #W2 #U1 #U2 #lt #mt #_ #_ #IHW12 #IHU12 #X #l #m #H #Hllt #Hlmlmt
 160   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #V1 #T1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 161   elim (IHW12 … HVW1) -V1 -IHW12 // elim (IHU12 … HTU1) -T1 -IHU12
 162   /3 width=2 by cpy_flat, lift_flat, ex2_intro/
 163 ]
 164 qed-.
 165
 166 lemma cpy_fwd_tw: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 → ♯{T1} ≤ ♯{T2}.
 167 #G #L #T1 #T2 #l #m #H elim H -G -L -T1 -T2 -l -m normalize
 168 /3 width=1 by monotonic_le_plus_l, le_plus/
 169 qed-.
 170
 171 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 172
 173 fact cpy_inv_atom1_aux: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 → ∀J. T1 = ⓪{J} →
 174                         T2 = ⓪{J} ∨
 175                         ∃∃I,K,V,i. l ≤ yinj i & i < l + m &
 176                                    ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{I}V &
 177                                    ⬆[O, ⫯i] V ≡ T2 &
 178                                    J = LRef i.
 179 #G #L #T1 #T2 #l #m * -G -L -T1 -T2 -l -m
 180 [ #I #G #L #l #m #J #H destruct /2 width=1 by or_introl/
 181 | #I #G #L #K #V #T2 #i #l #m #Hli #Hilm #HLK #HVT2 #J #H destruct /3 width=9 by ex5_4_intro, or_intror/
 182 | #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #J #H destruct
 183 | #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #J #H destruct
 184 ]
 185 qed-.
 186
 187 lemma cpy_inv_atom1: ∀I,G,L,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓪{I} ▶[l, m] T2 →
 188                      T2 = ⓪{I} ∨
 189                      ∃∃J,K,V,i. l ≤ yinj i & i < l + m &
 190                                 ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{J}V &
 191                                 ⬆[O, ⫯i] V ≡ T2 &
 192                                 I = LRef i.
 193 /2 width=4 by cpy_inv_atom1_aux/ qed-.
 194
 195 (* Basic_1: was: subst1_gen_sort *)
 196 lemma cpy_inv_sort1: ∀G,L,T2,k,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ▶[l, m] T2 → T2 = ⋆k.
 197 #G #L #T2 #k #l #m #H
 198 elim (cpy_inv_atom1 … H) -H //
 199 * #I #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
 200 qed-.
 201
 202 (* Basic_1: was: subst1_gen_lref *)
 203 lemma cpy_inv_lref1: ∀G,L,T2,i,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ▶[l, m] T2 →
 204                      T2 = #i ∨
 205                      ∃∃I,K,V. l ≤ i & i < l + m &
 206                               ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{I}V &
 207                               ⬆[O, ⫯i] V ≡ T2.
 208 #G #L #T2 #i #l #m #H
 209 elim (cpy_inv_atom1 … H) -H /2 width=1 by or_introl/
 210 * #I #K #V #j #Hlj #Hjlm #HLK #HVT2 #H destruct /3 width=5 by ex4_3_intro, or_intror/
 211 qed-.
 212
 213 lemma cpy_inv_gref1: ∀G,L,T2,p,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ▶[l, m] T2 → T2 = §p.
 214 #G #L #T2 #p #l #m #H
 215 elim (cpy_inv_atom1 … H) -H //
 216 * #I #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
 217 qed-.
 218
 219 fact cpy_inv_bind1_aux: ∀G,L,U1,U2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶[l, m] U2 →
 220                         ∀a,I,V1,T1. U1 = ⓑ{a,I}V1.T1 →
 221                         ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶[l, m] V2 &
 222                                  ⦃G, L. ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ▶[⫯l, m] T2 &
 223                                  U2 = ⓑ{a,I}V2.T2.
 224 #G #L #U1 #U2 #l #m * -G -L -U1 -U2 -l -m
 225 [ #I #G #L #l #m #b #J #W1 #U1 #H destruct
 226 | #I #G #L #K #V #W #i #l #m #_ #_ #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
 227 | #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #HV12 #HT12 #b #J #W1 #U1 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 228 | #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
 229 ]
 230 qed-.
 231
 232 lemma cpy_inv_bind1: ∀a,I,G,L,V1,T1,U2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I} V1. T1 ▶[l, m] U2 →
 233                      ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶[l, m] V2 &
 234                               ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ▶[⫯l, m] T2 &
 235                               U2 = ⓑ{a,I}V2.T2.
 236 /2 width=3 by cpy_inv_bind1_aux/ qed-.
 237
 238 fact cpy_inv_flat1_aux: ∀G,L,U1,U2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶[l, m] U2 →
 239                         ∀I,V1,T1. U1 = ⓕ{I}V1.T1 →
 240                         ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶[l, m] V2 &
 241                                  ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 &
 242                                  U2 = ⓕ{I}V2.T2.
 243 #G #L #U1 #U2 #l #m * -G -L -U1 -U2 -l -m
 244 [ #I #G #L #l #m #J #W1 #U1 #H destruct
 245 | #I #G #L #K #V #W #i #l #m #_ #_ #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
 246 | #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
 247 | #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #l #m #HV12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 248 ]
 249 qed-.
 250
 251 lemma cpy_inv_flat1: ∀I,G,L,V1,T1,U2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I} V1. T1 ▶[l, m] U2 →
 252                      ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶[l, m] V2 &
 253                               ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 &
 254                               U2 = ⓕ{I}V2.T2.
 255 /2 width=3 by cpy_inv_flat1_aux/ qed-.
 256
 257
 258 fact cpy_inv_refl_O2_aux: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 → m = 0 → T1 = T2.
 259 #G #L #T1 #T2 #l #m #H elim H -G -L -T1 -T2 -l -m
 260 [ //
 261 | #I #G #L #K #V #W #i #l #m #Hli #Hilm #_ #_ #H destruct
 262   elim (ylt_yle_false … Hli) -Hli //
 263 | /3 width=1 by eq_f2/
 264 | /3 width=1 by eq_f2/
 265 ]
 266 qed-.
 267
 268 lemma cpy_inv_refl_O2: ∀G,L,T1,T2,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, 0] T2 → T1 = T2.
 269 /2 width=6 by cpy_inv_refl_O2_aux/ qed-.
 270
 271 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_eq *)
 272 lemma cpy_inv_lift1_eq: ∀G,T1,U1,l,m. ⬆[l, m] T1 ≡ U1 →
 273                         ∀L,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶[l, m] U2 → U1 = U2.
 274 #G #T1 #U1 #l #m #HTU1 #L #U2 #HU12 elim (cpy_fwd_up … HU12 … HTU1) -HU12 -HTU1
 275 /2 width=4 by cpy_inv_refl_O2/
 276 qed-.
 277
 278 (* Basic_1: removed theorems 25:
 279             subst0_gen_sort subst0_gen_lref subst0_gen_head subst0_gen_lift_lt
 280             subst0_gen_lift_false subst0_gen_lift_ge subst0_refl subst0_trans
 281             subst0_lift_lt subst0_lift_ge subst0_lift_ge_S subst0_lift_ge_s
 282             subst0_subst0 subst0_subst0_back subst0_weight_le subst0_weight_lt
 283             subst0_confluence_neq subst0_confluence_eq subst0_tlt_head
 284             subst0_confluence_lift subst0_tlt
 285             subst1_head subst1_gen_head subst1_lift_S subst1_confluence_lift
 286 *)