matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/cpy.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/extpsubst_6.ma".
  16 include "basic_2/grammar/genv.ma".
  17 include "basic_2/relocation/ldrop_append.ma".
  18 include "basic_2/relocation/lsuby.ma".
  19
  20 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED PARALLEL SUBSTITUTION FOR TERMS ***************)
  21
  22 (* activate genv *)
  23 inductive cpy: nat → nat → relation4 genv lenv term term ≝
  24 | cpy_atom : ∀I,G,L,d,e. cpy d e G L (⓪{I}) (⓪{I})
  25 | cpy_subst: ∀I,G,L,K,V,W,i,d,e. d ≤ i → i < d + e →
  26              ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → ⇧[0, i + 1] V ≡ W → cpy d e G L (#i) W
  27 | cpy_bind : ∀a,I,G,L,V1,V2,T1,T2,d,e.
  28              cpy d e G L V1 V2 → cpy (d + 1) e G (L.ⓑ{I} V2) T1 T2 →
  29              cpy d e G L (ⓑ{a,I} V1. T1) (ⓑ{a,I} V2. T2)
  30 | cpy_flat : ∀I,G,L,V1,V2,T1,T2,d,e.
  31              cpy d e G L V1 V2 → cpy d e G L T1 T2 →
  32              cpy d e G L (ⓕ{I}V1. T1) (ⓕ{I}V2. T2)
  33 .
  34
  35 interpretation "context-sensitive extended parallel substritution (term)"
  36    'ExtPSubst G L T1 d e T2 = (cpy d e G L T1 T2).
  37
  38 (* Basic properties *********************************************************)
  39
  40 lemma lsuby_cpy_trans: ∀G,d,e.lsub_trans … (cpy d e G) lsuby.
  41 #G #d #e #L1 #T1 #T2 #H elim H -G -L1 -T1 -T2 -d -e
  42 [ //
  43 | #I #G #L1 #K1 #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK1 #HVW #L2 #HL12
  44   elim (lsuby_fwd_ldrop2_bind … HL12 … HLK1) -HL12 -HLK1 /2 width=5 by cpy_subst/
  45 | /4 width=1 by lsuby_pair, cpy_bind/
  46 | /3 width=1 by cpy_flat/
  47 ]
  48 qed-.
  49
  50 lemma cpy_refl: ∀G,T,L,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶×[d, e] T.
  51 #G #T elim T -T // * /2 width=1 by cpy_bind, cpy_flat/
  52 qed.
  53
  54 lemma cpy_full: ∀I,G,K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ K.ⓑ{I}V →
  55                 ∃∃T2,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, 1] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
  56 #I #G #K #V #T1 elim T1 -T1
  57 [ * #i #L #d #HLK
  58   /2 width=4 by lift_sort, lift_gref, ex2_2_intro/
  59   elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid
  60   /3 width=4 by lift_lref_ge_minus, lift_lref_lt, ex2_2_intro/
  61   destruct
  62   elim (lift_total V 0 (i+1)) #W #HVW
  63   elim (lift_split … HVW i i)
  64   /3 width=5 by cpy_subst, le_n, ex2_2_intro/
  65 | * [ #a ] #J #W1 #U1 #IHW1 #IHU1 #L #d #HLK
  66   elim (IHW1 … HLK) -IHW1 #W2 #W #HW12 #HW2
  67   [ elim (IHU1 (L.ⓑ{J}W2) (d+1)) -IHU1
  68     /3 width=9 by cpy_bind, ldrop_ldrop, lift_bind, ex2_2_intro/
  69   | elim (IHU1 … HLK) -IHU1 -HLK
  70     /3 width=8 by cpy_flat, lift_flat, ex2_2_intro/
  71   ]
  72 ]
  73 qed-.
  74
  75 lemma cpy_weak: ∀G,L,T1,T2,d1,e1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d1, e1] T2 →
  76                 ∀d2,e2. d2 ≤ d1 → d1 + e1 ≤ d2 + e2 →
  77                 ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d2, e2] T2.
  78 #G #L #T1 #T2 #d1 #e1 #H elim H -G -L -T1 -T2 -d1 -e1
  79 [ //
  80 | /3 width=5 by cpy_subst, transitive_le/
  81 | /4 width=3 by cpy_bind, le_to_lt_to_lt, le_S_S/
  82 | /3 width=1 by cpy_flat/
  83 ]
  84 qed-.
  85
  86 lemma cpy_weak_top: ∀G,L,T1,T2,d,e.
  87                     ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, |L| - d] T2.
  88 #G #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -G -L -T1 -T2 -d -e
  89 [ //
  90 | #I #G #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #_ #HLK #HVW
  91   lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HLK)
  92   /3 width=5 by cpy_subst, lt_to_le_to_lt/
  93 | normalize /2 width=1 by cpy_bind/
  94 | /2 width=1 by cpy_flat/
  95 ]
  96 qed-.
  97
  98 lemma cpy_weak_full: ∀G,L,T1,T2,d,e.
  99                      ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[0, |L|] T2.
 100 #G #L #T1 #T2 #d #e #HT12
 101 lapply (cpy_weak … HT12 0 (d + e) ? ?) -HT12
 102 /2 width=2 by cpy_weak_top/
 103 qed-.
 104
 105 lemma cpy_split_up: ∀G,L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 → ∀i. d ≤ i → i ≤ d + e →
 106                     ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, i - d] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶×[i, d + e - i] T2.
 107 #G #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -G -L -T1 -T2 -d -e
 108 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 109 | #I #G #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVW #j #Hdj #Hjde
 110   elim (lt_or_ge i j) [ -Hide -Hjde | -Hdi -Hdj ]
 111   [ >(plus_minus_m_m j d) in ⊢ (%→?);
 112     /3 width=5 by cpy_subst, ex2_intro/
 113   | #Hij lapply (plus_minus_m_m … Hjde) -Hjde
 114     /3 width=9 by cpy_atom, cpy_subst, ex2_intro/
 115   ]
 116 | #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 117   elim (IHV12 i) -IHV12 // #V #HV1 #HV2
 118   elim (IHT12 (i + 1)) -IHT12 /2 width=1 by le_S_S/
 119   -Hdi -Hide >arith_c1x #T #HT1 #HT2
 120   lapply (lsuby_cpy_trans … HT1 (L.ⓑ{I} V) ?) -HT1 /3 width=5 by cpy_bind, ex2_intro/
 121 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 122   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // elim (IHT12 i ? ?) -IHT12 //
 123   -Hdi -Hide /3 width=5/
 124 ]
 125 qed.
 126
 127 lemma cpy_split_down: ∀L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 →
 128                       ∀i. d ≤ i → i ≤ d + e →
 129                       ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[i, d + e - i] T &
 130                            ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶×[d, i - d] T2.
 131 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
 132 [ /2 width=3/
 133 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVW #j #Hdj #Hjde
 134   elim (lt_or_ge i j)
 135   [ -Hide -Hjde >(plus_minus_m_m j d) in⦄ ⊢ (% → ?); // -Hdj /3 width=8/
 136   | -Hdi -Hdj
 137     >(plus_minus_m_m (d+e) j) in Hide; // -Hjde /3 width=4/
 138   ]
 139 | #L #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 140   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // #V #HV1 #HV2
 141   elim (IHT12 (i + 1) ? ?) -IHT12 /2 width=1/
 142   -Hdi -Hide >arith_c1x #T #HT1 #HT2
 143   lapply (cpy_lsubr_trans … HT1 (L. ⓑ{I} V) ?) -HT1 /3 width=5/
 144 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 145   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // elim (IHT12 i ? ?) -IHT12 //
 146   -Hdi -Hide /3 width=5/
 147 ]
 148 qed.
 149
 150 lemma cpy_append: ∀K,T1,T2,d,e. K⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 →
 151                   ∀L. L @@ K⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2.
 152 #K #T1 #T2 #d #e #H elim H -K -T1 -T2 -d -e // /2 width=1/
 153 #K #K0 #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HK0 #HVW #L
 154 lapply (ldrop_fwd_ldrop2_length … HK0) #H
 155 @(cpy_subst … (L@@K0) … HVW) // (**) (* /3/ does not work *)
 156 @(ldrop_O1_append_sn_le … HK0) /2 width=2/
 157 qed.
 158
 159 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 160
 161 fact cpy_inv_atom1_aux: ∀L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 → ∀I. T1 = ⓪{I} →
 162                         T2 = ⓪{I} ∨
 163                         ∃∃K,V,i. d ≤ i & i < d + e &
 164                                  ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 165                                  ⇧[O, i + 1] V ≡ T2 &
 166                                  I = LRef i.
 167 #L #T1 #T2 #d #e * -L -T1 -T2 -d -e
 168 [ #L #I #d #e #J #H destruct /2 width=1/
 169 | #L #K #V #T2 #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVT2 #I #H destruct /3 width=8/
 170 | #L #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #J #H destruct
 171 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #J #H destruct
 172 ]
 173 qed.
 174
 175 lemma cpy_inv_atom1: ∀L,T2,I,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓪{I} ▶×[d, e] T2 →
 176                      T2 = ⓪{I} ∨
 177                      ∃∃K,V,i. d ≤ i & i < d + e &
 178                               ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 179                               ⇧[O, i + 1] V ≡ T2 &
 180                               I = LRef i.
 181 /2 width=3/ qed-.
 182
 183
 184 (* Basic_1: was: subst1_gen_sort *)
 185 lemma cpy_inv_sort1: ∀L,T2,k,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ▶×[d, e] T2 → T2 = ⋆k.
 186 #L #T2 #k #d #e #H
 187 elim (cpy_inv_atom1 … H) -H //
 188 * #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
 189 qed-.
 190
 191 (* Basic_1: was: subst1_gen_lref *)
 192 lemma cpy_inv_lref1: ∀L,T2,i,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ▶×[d, e] T2 →
 193                      T2 = #i ∨
 194                      ∃∃K,V. d ≤ i & i < d + e &
 195                             ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 196                             ⇧[O, i + 1] V ≡ T2.
 197 #L #T2 #i #d #e #H
 198 elim (cpy_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/
 199 * #K #V #j #Hdj #Hjde #HLK #HVT2 #H destruct /3 width=4/
 200 qed-.
 201
 202 lemma cpy_inv_gref1: ∀L,T2,p,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ▶×[d, e] T2 → T2 = §p.
 203 #L #T2 #p #d #e #H
 204 elim (cpy_inv_atom1 … H) -H //
 205 * #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
 206 qed-.
 207
 208 fact cpy_inv_bind1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶×[d, e] U2 →
 209                         ∀a,I,V1,T1. U1 = ⓑ{a,I} V1. T1 →
 210                         ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶×[d, e] V2 &
 211                                  L. ⓑ{I} V2⦄ ⊢ T1 ▶×[d + 1, e] T2 &
 212                                  U2 = ⓑ{a,I} V2. T2.
 213 #d #e #L #U1 #U2 * -d -e -L -U1 -U2
 214 [ #L #k #d #e #a #I #V1 #T1 #H destruct
 215 | #L #K #V #W #i #d #e #_ #_ #_ #_ #a #I #V1 #T1 #H destruct
 216 | #L #b #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #a #I #V #T #H destruct /2 width=5/
 217 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
 218 ]
 219 qed.
 220
 221 lemma cpy_inv_bind1: ∀d,e,L,a,I,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I} V1. T1 ▶×[d, e] U2 →
 222                      ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶×[d, e] V2 &
 223                               L. ⓑ{I} V2⦄ ⊢ T1 ▶×[d + 1, e] T2 &
 224                               U2 = ⓑ{a,I} V2. T2.
 225 /2 width=3/ qed-.
 226
 227 fact cpy_inv_flat1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶×[d, e] U2 →
 228                         ∀I,V1,T1. U1 = ⓕ{I} V1. T1 →
 229                         ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶×[d, e] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 &
 230                                  U2 =  ⓕ{I} V2. T2.
 231 #d #e #L #U1 #U2 * -d -e -L -U1 -U2
 232 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
 233 | #L #K #V #W #i #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
 234 | #L #a #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #I #V #T #H destruct
 235 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #I #V #T #H destruct /2 width=5/
 236 ]
 237 qed.
 238
 239 lemma cpy_inv_flat1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I} V1. T1 ▶×[d, e] U2 →
 240                      ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶×[d, e] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 &
 241                               U2 =  ⓕ{I} V2. T2.
 242 /2 width=3/ qed-.
 243
 244 fact cpy_inv_refl_O2_aux: ∀L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 → e = 0 → T1 = T2.
 245 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
 246 [ //
 247 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #H destruct
 248   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … Hide) -Hdi -Hide <plus_n_O #Hdd
 249   elim (lt_refl_false … Hdd)
 250 | /3 width=1/
 251 | /3 width=1/
 252 ]
 253 qed.
 254
 255 lemma cpy_inv_refl_O2: ∀L,T1,T2,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, 0] T2 → T1 = T2.
 256 /2 width=6/ qed-.
 257
 258 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 259
 260 lemma cpy_fwd_tw: ∀L,T1,T2,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2 → ♯{T1} ≤ ♯{T2}.
 261 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e normalize
 262 /3 by monotonic_le_plus_l, le_plus/ (**) (* just /3 width=1/ is too slow *)
 263 qed-.
 264
 265 lemma cpy_fwd_shift1: ∀L1,L,T1,T,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ L1 @@ T1 ▶[d, e] T →
 266                       ∃∃L2,T2. |L1| = |L2| & T = L2 @@ T2.
 267 #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
 268 [ #L #T1 #T #d #e #HT1
 269   @(ex2_2_intro … (⋆)) // (**) (* explicit constructor *)
 270 | #I #L1 #V1 #IH #L #T1 #X #d #e
 271   >shift_append_assoc normalize #H
 272   elim (cpy_inv_bind1 … H) -H
 273   #V0 #T0 #_ #HT10 #H destruct
 274   elim (IH … HT10) -IH -HT10 #L2 #T2 #HL12 #H destruct
 275   >append_length >HL12 -HL12
 276   @(ex2_2_intro … (⋆.ⓑ{I}V0@@L2) T2) [ >append_length ] // /2 width=3/ (**) (* explicit constructor *)
 277 ]
 278 qed-.
 279
 280 (* Basic_1: removed theorems 25:
 281             subst0_gen_sort subst0_gen_lref subst0_gen_head subst0_gen_lift_lt
 282             subst0_gen_lift_false subst0_gen_lift_ge subst0_refl subst0_trans
 283             subst0_lift_lt subst0_lift_ge subst0_lift_ge_S subst0_lift_ge_s
 284             subst0_subst0 subst0_subst0_back subst0_weight_le subst0_weight_lt
 285             subst0_confluence_neq subst0_confluence_eq subst0_tlt_head
 286             subst0_confluence_lift subst0_tlt
 287             subst1_head subst1_gen_head subst1_lift_S subst1_confluence_lift
 288 *)