matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/drops_lexs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/relocation/drops.ma".
  16
  17 (* GENERIC SLICING FOR LOCAL ENVIRONMENTS ***********************************)
  18
  19 (* Properties with entrywise extension of context-sensitive relations *******)
  20
  21 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_deliftable_dropable *)
  22 lemma lexs_deliftable_dropable: ∀RN,RP. d_deliftable2_sn RN → d_deliftable2_sn RP →
  23                                 dropable_sn (lexs RN RP).
  24 #RN #RP #HN #HP #b #f #L1 #K1 #H elim H -f -L1 -K1
  25 [ #f #Hf #X #f2 #H #f1 #Hf2 >(lexs_inv_atom1 … H) -X
  26   /4 width=3 by lexs_atom, drops_atom, ex2_intro/
  27 | #f #I #L1 #K1 #V1 #_ #IH #X #f2 #H #f1 #Hf2 elim (coafter_inv_nxx … Hf2) -Hf2 [2,3: // ]
  28   #g2 #Hg2 #H2 destruct elim (lexs_inv_push1 … H) -H
  29   #L2 #V2 #HL12 #HV12 #H destruct elim (IH … HL12 … Hg2) -g2
  30   /3 width=3 by drops_drop, ex2_intro/
  31 | #f #I #L1 #K1 #V1 #W1 #HLK #HWV #IH #X #f2 #H #f1 #Hf2 elim (coafter_inv_pxx … Hf2) -Hf2 [1,3:* |*: // ]
  32   #g1 #g2 #Hg2 #H1 #H2 destruct
  33   [ elim (lexs_inv_push1 … H) | elim (lexs_inv_next1 … H) ] -H
  34   #L2 #V2 #HL12 #HV12 #H destruct elim (IH … HL12 … Hg2) -g2
  35   [ elim (HP … HV12 … HLK … HWV) | elim (HN … HV12 … HLK … HWV) ] -V1
  36   /3 width=5 by lexs_next, lexs_push, drops_skip, ex2_intro/
  37 ]
  38 qed-.
  39
  40 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_liftable_dedropable *)
  41 lemma lexs_liftable_dedropable: ∀RN,RP. (∀L. reflexive ? (RN L)) → (∀L. reflexive ? (RP L)) →
  42                                 d_liftable2 RN → d_liftable2 RP → dedropable_sn (lexs RN RP).
  43 #RN #RP #H1RN #H1RP #H2RN #H2RP #b #f #L1 #K1 #H elim H -f -L1 -K1
  44 [ #f #Hf #X #f1 #H #f2 #Hf2 >(lexs_inv_atom1 … H) -X
  45   /4 width=4 by drops_atom, lexs_atom, ex3_intro/
  46 | #f #I #L1 #K1 #V1 #_ #IHLK1 #K2 #f1 #HK12 #f2 #Hf2
  47   elim (coafter_inv_nxx … Hf2) -Hf2 [2,3: // ] #g2 #Hg2 #H destruct
  48   elim (IHLK1 … HK12 … Hg2) -K1
  49   /3 width=6 by drops_drop, lexs_next, lexs_push, ex3_intro/
  50 | #f #I #L1 #K1 #V1 #W1 #HLK1 #HWV1 #IHLK1 #X #f1 #H #f2 #Hf2
  51   elim (coafter_inv_pxx … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ] #g1 #g2 #Hg2 #H1 #H2 destruct
  52   [ elim (lexs_inv_push1 … H) | elim (lexs_inv_next1 … H) ] -H #K2 #W2 #HK12 #HW12 #H destruct
  53   [ elim (H2RP … HW12 … HLK1 … HWV1) | elim (H2RN … HW12 … HLK1 … HWV1) ] -W1
  54   elim (IHLK1 … HK12 … Hg2) -K1
  55   /3 width=6 by drops_skip, lexs_next, lexs_push, ex3_intro/
  56 ]
  57 qed-.
  58
  59 fact lexs_dropable_aux: ∀RN,RP,b,f,L2,K2. ⬇*[b, f] L2 ≡ K2 → 𝐔⦃f⦄ →
  60                         ∀f2,L1. L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 → ∀f1. f ~⊚ f1 ≡ f2 →
  61                         ∃∃K1. ⬇*[b, f] L1 ≡ K1 & K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2.
  62 #RN #RP #b #f #L2 #K2 #H elim H -f -L2 -K2
  63 [ #f #Hf #_ #f2 #X #H #f1 #Hf2 lapply (lexs_inv_atom2 … H) -H
  64   #H destruct /4 width=3 by lexs_atom, drops_atom, ex2_intro/
  65 | #f #I #L2 #K2 #V2 #_ #IH #Hf #f2 #X #HX #f1 #Hf2
  66   elim (coafter_inv_nxx … Hf2) -Hf2 [2,3: // ] #g2 #Hg2 #H destruct
  67   elim (lexs_inv_push2 … HX) -HX #L1 #V1 #HL12 #HV12 #H destruct
  68   elim (IH … HL12 … Hg2) -L2 -V2 -g2
  69   /3 width=3 by drops_drop, isuni_inv_next, ex2_intro/
  70 | #f #I #L2 #K2 #V2 #W2 #_ #HWV2 #IH #Hf #f2 #X #HX #f1 #Hf2
  71   elim (coafter_inv_pxx … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ] #g1 #g2 #Hg2 #H1 #H2 destruct
  72   [ elim (lexs_inv_push2 … HX) | elim (lexs_inv_next2 … HX) ] -HX #L1 #V1 #HL12 #HV12 #H destruct
  73   elim (IH … HL12 … Hg2) -L2 -g2 /2 width=3 by isuni_fwd_push/ #K1 #HLK1 #HK12
  74   lapply (isuni_inv_push … Hf ??) -Hf [3,6: |*: // ] #Hf
  75   lapply (lifts_fwd_isid … HWV2 … Hf) #H destruct -HWV2
  76   lapply (drops_fwd_isid … HLK1 … Hf) #H destruct -HLK1
  77   /4 width=5 by lexs_next, lexs_push, drops_refl, isid_push, ex2_intro/
  78 ]
  79 qed-.
  80
  81 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_dropable *)
  82 lemma lexs_dropable: ∀RN,RP. dropable_dx (lexs RN RP).
  83 /2 width=5 by lexs_dropable_aux/ qed-.
  84
  85 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_drop_conf *)
  86 lemma lexs_drops_conf_next: ∀RN,RP. d_deliftable2_sn RN → d_deliftable2_sn RP →
  87                             ∀f2,L1,L2. L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 →
  88                             ∀b,f,I,K1,V1. ⬇*[b,f] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
  89                             ∀f1. f ~⊚ ⫯f1 ≡ f2 →
  90                             ∃∃K2,V2. ⬇*[b,f] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 & K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2 & RN K1 V1 V2.
  91 #RN #RP #HRN #HRP #f2 #L1 #L2 #HL12 #b #f #I #K1 #V1 #HLK1 #f1 #Hf2
  92 elim (lexs_deliftable_dropable … HRN HRP … HLK1 … HL12 … Hf2) -L1 -f2 -HRN -HRP
  93 #X #HX #HLK2 elim (lexs_inv_next1 … HX) -HX
  94 #K2 #V2 #HK12 #HV12 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
  95 qed-.
  96
  97 lemma lexs_drops_conf_push: ∀RN,RP. d_deliftable2_sn RN → d_deliftable2_sn RP →
  98                             ∀f2,L1,L2. L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 →
  99                             ∀b,f,I,K1,V1. ⬇*[b,f] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
 100                             ∀f1. f ~⊚ ↑f1 ≡ f2 →
 101                             ∃∃K2,V2. ⬇*[b,f] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 & K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2 & RP K1 V1 V2.
 102 #RN #RP #HRN #HRP #f2 #L1 #L2 #HL12 #b #f #I #K1 #V1 #HLK1 #f1 #Hf2
 103 elim (lexs_deliftable_dropable … HRN HRP … HLK1 … HL12 … Hf2) -L1 -f2 -HRN -HRP
 104 #X #HX #HLK2 elim (lexs_inv_push1 … HX) -HX
 105 #K2 #V2 #HK12 #HV12 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 106 qed-.
 107
 108 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_drop_trans *)
 109 lemma lexs_drops_trans_next: ∀RN,RP,f2,L1,L2. L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 →
 110                              ∀b,f,I,K2,V2. ⬇*[b,f] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 → 𝐔⦃f⦄ →
 111                              ∀f1. f ~⊚ ⫯f1 ≡ f2 →
 112                              ∃∃K1,V1. ⬇*[b,f] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 & K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2 & RN K1 V1 V2.
 113 #RN #RP #f2 #L1 #L2 #HL12 #b #f #I #K1 #V1 #HLK1 #Hf #f1 #Hf2
 114 elim (lexs_dropable … HL12 … HLK1 … Hf … Hf2) -L2 -f2 -Hf
 115 #X #HLK1 #HX elim (lexs_inv_next2 … HX) -HX
 116 #K1 #V1 #HK12 #HV12 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 117 qed-.
 118
 119 lemma lexs_drops_trans_push: ∀RN,RP,f2,L1,L2. L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 →
 120                              ∀b,f,I,K2,V2. ⬇*[b,f] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 → 𝐔⦃f⦄ →
 121                              ∀f1. f ~⊚ ↑f1 ≡ f2 →
 122                              ∃∃K1,V1. ⬇*[b,f] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 & K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2 & RP K1 V1 V2.
 123 #RN #RP #f2 #L1 #L2 #HL12 #b #f #I #K1 #V1 #HLK1 #Hf #f1 #Hf2
 124 elim (lexs_dropable … HL12 … HLK1 … Hf … Hf2) -L2 -f2 -Hf
 125 #X #HLK1 #HX elim (lexs_inv_push2 … HX) -HX
 126 #K1 #V1 #HK12 #HV12 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 127 qed-.
 128
 129 lemma drops_lexs_trans_next: ∀RN,RP. (∀L. reflexive ? (RN L)) → (∀L. reflexive ? (RP L)) →
 130                              d_liftable2 RN → d_liftable2 RP →
 131                              ∀f1,K1,K2. K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2 →
 132                              ∀b,f,I,L1,V1. ⬇*[b,f] L1.ⓑ{I}V1 ≡ K1 →
 133                              ∀f2. f ~⊚ f1 ≡ ⫯f2 →
 134                              ∃∃L2,V2. ⬇*[b,f] L2.ⓑ{I}V2 ≡ K2 & L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 & RN L1 V1 V2 & L1.ⓑ{I}V1≡[f]L2.ⓑ{I}V2.
 135 #RN #RP #H1RN #H1RP #H2RN #H2RP #f1 #K1 #K2 #HK12 #b #f #I #L1 #V1 #HLK1 #f2 #Hf2
 136 elim (lexs_liftable_dedropable … H1RN H1RP H2RN H2RP … HLK1 … HK12 … Hf2) -K1 -f1 -H1RN -H1RP -H2RN -H2RP
 137 #X #HX #HLK2 #H1L12 elim (lexs_inv_next1 … HX) -HX
 138 #L2 #V2 #H2L12 #HV12 #H destruct /2 width=6 by ex4_2_intro/
 139 qed-.
 140
 141 lemma drops_lexs_trans_push: ∀RN,RP. (∀L. reflexive ? (RN L)) → (∀L. reflexive ? (RP L)) →
 142                              d_liftable2 RN → d_liftable2 RP →
 143                              ∀f1,K1,K2. K1 ⦻*[RN, RP, f1] K2 →
 144                              ∀b,f,I,L1,V1. ⬇*[b,f] L1.ⓑ{I}V1 ≡ K1 →
 145                              ∀f2. f ~⊚ f1 ≡ ↑f2 →
 146                              ∃∃L2,V2. ⬇*[b,f] L2.ⓑ{I}V2 ≡ K2 & L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 & RP L1 V1 V2 & L1.ⓑ{I}V1≡[f]L2.ⓑ{I}V2.
 147 #RN #RP #H1RN #H1RP #H2RN #H2RP #f1 #K1 #K2 #HK12 #b #f #I #L1 #V1 #HLK1 #f2 #Hf2
 148 elim (lexs_liftable_dedropable … H1RN H1RP H2RN H2RP … HLK1 … HK12 … Hf2) -K1 -f1 -H1RN -H1RP -H2RN -H2RP
 149 #X #HX #HLK2 #H1L12 elim (lexs_inv_push1 … HX) -HX
 150 #L2 #V2 #H2L12 #HV12 #H destruct /2 width=6 by ex4_2_intro/
 151 qed-.