matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/lexs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/relocation/rtmap_sle.ma".
  16 include "basic_2/notation/relations/relationstar_5.ma".
  17 include "basic_2/syntax/lenv.ma".
  18
  19 (* GENERIC ENTRYWISE EXTENSION OF CONTEXT-SENSITIVE REALTIONS FOR TERMS *****)
  20
  21 inductive lexs (RN,RP:relation3 lenv bind bind): rtmap → relation lenv ≝
  22 | lexs_atom: ∀f. lexs RN RP f (⋆) (⋆)
  23 | lexs_next: ∀f,I1,I2,L1,L2.
  24              lexs RN RP f L1 L2 → RN L1 I1 I2 →
  25              lexs RN RP (⫯f) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2})
  26 | lexs_push: ∀f,I1,I2,L1,L2.
  27              lexs RN RP f L1 L2 → RP L1 I1 I2 →
  28              lexs RN RP (↑f) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2})
  29 .
  30
  31 interpretation "generic entrywise extension (local environment)"
  32    'RelationStar RN RP f L1 L2 = (lexs RN RP f L1 L2).
  33
  34 definition R_pw_confluent2_lexs: relation3 lenv bind bind → relation3 lenv bind bind →
  35                                  relation3 lenv bind bind → relation3 lenv bind bind →
  36                                  relation3 lenv bind bind → relation3 lenv bind bind →
  37                                  relation3 rtmap lenv bind ≝
  38                                  λR1,R2,RN1,RP1,RN2,RP2,f,L0,T0.
  39                                  ∀T1. R1 L0 T0 T1 → ∀T2. R2 L0 T0 T2 →
  40                                  ∀L1. L0 ⪤*[RN1, RP1, f] L1 → ∀L2. L0 ⪤*[RN2, RP2, f] L2 →
  41                                  ∃∃T. R2 L1 T1 T & R1 L2 T2 T.
  42
  43 definition lexs_transitive: relation5 (relation3 lenv bind bind)
  44                                       (relation3 lenv bind bind) … ≝
  45                             λR1,R2,R3,RN,RP.
  46                             ∀f,L1,T1,T. R1 L1 T1 T → ∀L2. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 →
  47                             ∀T2. R2 L2 T T2 → R3 L1 T1 T2.
  48
  49 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  50
  51 fact lexs_inv_atom1_aux: ∀RN,RP,f,X,Y. X ⪤*[RN, RP, f] Y → X = ⋆ → Y = ⋆.
  52 #RN #RP #f #X #Y * -f -X -Y //
  53 #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #_ #H destruct
  54 qed-.
  55
  56 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_atom1 *)
  57 lemma lexs_inv_atom1: ∀RN,RP,f,Y. ⋆ ⪤*[RN, RP, f] Y → Y = ⋆.
  58 /2 width=6 by lexs_inv_atom1_aux/ qed-.
  59
  60 fact lexs_inv_next1_aux: ∀RN,RP,f,X,Y. X ⪤*[RN, RP, f] Y → ∀g,J1,K1. X = K1.ⓘ{J1} → f = ⫯g →
  61                          ∃∃J2,K2. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RN K1 J1 J2 & Y = K2.ⓘ{J2}.
  62 #RN #RP #f #X #Y * -f -X -Y
  63 [ #f #g #J1 #K1 #H destruct
  64 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #HL #HI #g #J1 #K1 #H1 #H2 <(injective_next … H2) -g destruct
  65   /2 width=5 by ex3_2_intro/
  66 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #_ #g #J1 #K1 #_ #H elim (discr_push_next … H)
  67 ]
  68 qed-.
  69
  70 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_pair1 *)
  71 lemma lexs_inv_next1: ∀RN,RP,g,J1,K1,Y. K1.ⓘ{J1} ⪤*[RN, RP, ⫯g] Y →
  72                       ∃∃J2,K2. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RN K1 J1 J2 & Y = K2.ⓘ{J2}.
  73 /2 width=7 by lexs_inv_next1_aux/ qed-.
  74
  75 fact lexs_inv_push1_aux: ∀RN,RP,f,X,Y. X ⪤*[RN, RP, f] Y → ∀g,J1,K1. X = K1.ⓘ{J1} → f = ↑g →
  76                          ∃∃J2,K2. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RP K1 J1 J2 & Y = K2.ⓘ{J2}.
  77 #RN #RP #f #X #Y * -f -X -Y
  78 [ #f #g #J1 #K1 #H destruct
  79 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #_ #g #J1 #K1 #_ #H elim (discr_next_push … H)
  80 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #HL #HI #g #J1 #K1 #H1 #H2 <(injective_push … H2) -g destruct
  81   /2 width=5 by ex3_2_intro/
  82 ]
  83 qed-.
  84
  85 lemma lexs_inv_push1: ∀RN,RP,g,J1,K1,Y. K1.ⓘ{J1} ⪤*[RN, RP, ↑g] Y →
  86                       ∃∃J2,K2. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RP K1 J1 J2 & Y = K2.ⓘ{J2}.
  87 /2 width=7 by lexs_inv_push1_aux/ qed-.
  88
  89 fact lexs_inv_atom2_aux: ∀RN,RP,f,X,Y. X ⪤*[RN, RP, f] Y → Y = ⋆ → X = ⋆.
  90 #RN #RP #f #X #Y * -f -X -Y //
  91 #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #_ #H destruct
  92 qed-.
  93
  94 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_atom2 *)
  95 lemma lexs_inv_atom2: ∀RN,RP,f,X. X ⪤*[RN, RP, f] ⋆ → X = ⋆.
  96 /2 width=6 by lexs_inv_atom2_aux/ qed-.
  97
  98 fact lexs_inv_next2_aux: ∀RN,RP,f,X,Y. X ⪤*[RN, RP, f] Y → ∀g,J2,K2. Y = K2.ⓘ{J2} → f = ⫯g →
  99                          ∃∃J1,K1. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RN K1 J1 J2 & X = K1.ⓘ{J1}.
 100 #RN #RP #f #X #Y * -f -X -Y
 101 [ #f #g #J2 #K2 #H destruct
 102 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #HL #HI #g #J2 #K2 #H1 #H2 <(injective_next … H2) -g destruct
 103   /2 width=5 by ex3_2_intro/
 104 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #_ #g #J2 #K2 #_ #H elim (discr_push_next … H)
 105 ]
 106 qed-.
 107
 108 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_pair2 *)
 109 lemma lexs_inv_next2: ∀RN,RP,g,J2,X,K2. X ⪤*[RN, RP, ⫯g] K2.ⓘ{J2} →
 110                       ∃∃J1,K1. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RN K1 J1 J2 & X = K1.ⓘ{J1}.
 111 /2 width=7 by lexs_inv_next2_aux/ qed-.
 112
 113 fact lexs_inv_push2_aux: ∀RN,RP,f,X,Y. X ⪤*[RN, RP, f] Y → ∀g,J2,K2. Y = K2.ⓘ{J2} → f = ↑g →
 114                          ∃∃J1,K1. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RP K1 J1 J2 & X = K1.ⓘ{J1}.
 115 #RN #RP #f #X #Y * -f -X -Y
 116 [ #f #J2 #K2 #g #H destruct
 117 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #_ #g #J2 #K2 #_ #H elim (discr_next_push … H)
 118 | #f #I1 #I2 #L1 #L2 #HL #HI #g #J2 #K2 #H1 #H2 <(injective_push … H2) -g destruct
 119   /2 width=5 by ex3_2_intro/
 120 ]
 121 qed-.
 122
 123 lemma lexs_inv_push2: ∀RN,RP,g,J2,X,K2. X ⪤*[RN, RP, ↑g] K2.ⓘ{J2} →
 124                       ∃∃J1,K1. K1 ⪤*[RN, RP, g] K2 & RP K1 J1 J2 & X = K1.ⓘ{J1}.
 125 /2 width=7 by lexs_inv_push2_aux/ qed-.
 126
 127 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_pair *)
 128 lemma lexs_inv_next: ∀RN,RP,f,I1,I2,L1,L2.
 129                      L1.ⓘ{I1} ⪤*[RN, RP, ⫯f] L2.ⓘ{I2} →
 130                      L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 ∧ RN L1 I1 I2.
 131 #RN #RP #f #I1 #I2 #L1 #L2 #H elim (lexs_inv_next1 … H) -H
 132 #I0 #L0 #HL10 #HI10 #H destruct /2 width=1 by conj/
 133 qed-.
 134
 135 lemma lexs_inv_push: ∀RN,RP,f,I1,I2,L1,L2.
 136                      L1.ⓘ{I1} ⪤*[RN, RP, ↑f] L2.ⓘ{I2} →
 137                      L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 ∧ RP L1 I1 I2.
 138 #RN #RP #f #I1 #I2 #L1 #L2 #H elim (lexs_inv_push1 … H) -H
 139 #I0 #L0 #HL10 #HI10 #H destruct /2 width=1 by conj/
 140 qed-.
 141
 142 lemma lexs_inv_tl: ∀RN,RP,f,I1,I2,L1,L2. L1 ⪤*[RN, RP, ⫱f] L2 →
 143                    RN L1 I1 I2 → RP L1 I1 I2 →
 144                    L1.ⓘ{I1} ⪤*[RN, RP, f] L2.ⓘ{I2}.
 145 #RN #RP #f #I1 #I2 #L2 #L2 elim (pn_split f) *
 146 /2 width=1 by lexs_next, lexs_push/
 147 qed-.
 148
 149 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 150
 151 lemma lexs_fwd_bind: ∀RN,RP,f,I1,I2,L1,L2.
 152                      L1.ⓘ{I1} ⪤*[RN, RP, f] L2.ⓘ{I2} →
 153                      L1 ⪤*[RN, RP, ⫱f] L2.
 154 #RN #RP #f #I1 #I2 #L1 #L2 #Hf
 155 elim (pn_split f) * #g #H destruct
 156 [ elim (lexs_inv_push … Hf) | elim (lexs_inv_next … Hf) ] -Hf //
 157 qed-.
 158
 159 (* Basic properties *********************************************************)
 160
 161 lemma lexs_eq_repl_back: ∀RN,RP,L1,L2. eq_repl_back … (λf. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2).
 162 #RN #RP #L1 #L2 #f1 #H elim H -f1 -L1 -L2 //
 163 #f1 #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #HI #IH #f2 #H
 164 [ elim (eq_inv_nx … H) -H /3 width=3 by lexs_next/
 165 | elim (eq_inv_px … H) -H /3 width=3 by lexs_push/
 166 ]
 167 qed-.
 168
 169 lemma lexs_eq_repl_fwd: ∀RN,RP,L1,L2. eq_repl_fwd … (λf. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2).
 170 #RN #RP #L1 #L2 @eq_repl_sym /2 width=3 by lexs_eq_repl_back/ (**) (* full auto fails *)
 171 qed-.
 172
 173 (* Basic_2A1: uses: lpx_sn_refl *)
 174 lemma lexs_refl: ∀RN,RP.
 175                  (∀L. reflexive … (RN L)) →
 176                  (∀L. reflexive … (RP L)) →
 177                  ∀f.reflexive … (lexs RN RP f).
 178 #RN #RP #HRN #HRP #f #L generalize in match f; -f elim L -L //
 179 #L #I #IH #f elim (pn_split f) *
 180 #g #H destruct /2 width=1 by lexs_next, lexs_push/
 181 qed.
 182
 183 lemma lexs_sym: ∀RN,RP.
 184                 (∀L1,L2,I1,I2. RN L1 I1 I2 → RN L2 I2 I1) →
 185                 (∀L1,L2,I1,I2. RP L1 I1 I2 → RP L2 I2 I1) →
 186                 ∀f. symmetric … (lexs RN RP f).
 187 #RN #RP #HRN #HRP #f #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 -f
 188 /3 width=2 by lexs_next, lexs_push/
 189 qed-.
 190
 191 lemma lexs_pair_repl: ∀RN,RP,f,I1,I2,L1,L2.
 192                       L1.ⓘ{I1} ⪤*[RN, RP, f] L2.ⓘ{I2} →
 193                       ∀J1,J2. RN L1 J1 J2 → RP L1 J1 J2 →
 194                       L1.ⓘ{J1} ⪤*[RN, RP, f] L2.ⓘ{J2}.
 195 /3 width=3 by lexs_inv_tl, lexs_fwd_bind/ qed-.
 196
 197 lemma lexs_co: ∀RN1,RP1,RN2,RP2.
 198                (∀L1,I1,I2. RN1 L1 I1 I2 → RN2 L1 I1 I2) →
 199                (∀L1,I1,I2. RP1 L1 I1 I2 → RP2 L1 I1 I2) →
 200                ∀f,L1,L2. L1 ⪤*[RN1, RP1, f] L2 → L1 ⪤*[RN2, RP2, f] L2.
 201 #RN1 #RP1 #RN2 #RP2 #HRN #HRP #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2
 202 /3 width=1 by lexs_atom, lexs_next, lexs_push/
 203 qed-.
 204
 205 lemma lexs_co_isid: ∀RN1,RP1,RN2,RP2.
 206                     (∀L1,I1,I2. RP1 L1 I1 I2 → RP2 L1 I1 I2) →
 207                     ∀f,L1,L2. L1 ⪤*[RN1, RP1, f] L2 → 𝐈⦃f⦄ →
 208                     L1 ⪤*[RN2, RP2, f] L2.
 209 #RN1 #RP1 #RN2 #RP2 #HR #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2 //
 210 #f #I1 #I2 #K1 #K2 #_ #HI12 #IH #H
 211 [ elim (isid_inv_next … H) -H //
 212 | /4 width=3 by lexs_push, isid_inv_push/
 213 ]
 214 qed-.
 215
 216 lemma sle_lexs_trans: ∀RN,RP. (∀L,I1,I2. RN L I1 I2 → RP L I1 I2) →
 217                       ∀f2,L1,L2. L1 ⪤*[RN, RP, f2] L2 →
 218                       ∀f1. f1 ⊆ f2 → L1 ⪤*[RN, RP, f1] L2.
 219 #RN #RP #HR #f2 #L1 #L2 #H elim H -f2 -L1 -L2 //
 220 #f2 #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #HI12 #IH #f1 #H12
 221 [ elim (pn_split f1) * ]
 222 [ /4 width=5 by lexs_push, sle_inv_pn/
 223 | /4 width=5 by lexs_next, sle_inv_nn/
 224 | elim (sle_inv_xp … H12) -H12 [2,3: // ]
 225   #g1 #H #H1 destruct /3 width=5 by lexs_push/
 226 ]
 227 qed-.
 228
 229 lemma sle_lexs_conf: ∀RN,RP. (∀L,I1,I2. RP L I1 I2 → RN L I1 I2) →
 230                      ∀f1,L1,L2. L1 ⪤*[RN, RP, f1] L2 →
 231                      ∀f2. f1 ⊆ f2 → L1 ⪤*[RN, RP, f2] L2.
 232 #RN #RP #HR #f1 #L1 #L2 #H elim H -f1 -L1 -L2 //
 233 #f1 #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #HI12 #IH #f2 #H12
 234 [2: elim (pn_split f2) * ]
 235 [ /4 width=5 by lexs_push, sle_inv_pp/
 236 | /4 width=5 by lexs_next, sle_inv_pn/
 237 | elim (sle_inv_nx … H12) -H12 [2,3: // ]
 238   #g2 #H #H2 destruct /3 width=5 by lexs_next/
 239 ]
 240 qed-.
 241
 242 lemma lexs_sle_split: ∀R1,R2,RP. (∀L. reflexive … (R1 L)) → (∀L. reflexive … (R2 L)) →
 243                       ∀f,L1,L2. L1 ⪤*[R1, RP, f] L2 → ∀g. f ⊆ g →
 244                       ∃∃L. L1 ⪤*[R1, RP, g] L & L ⪤*[R2, cfull, f] L2.
 245 #R1 #R2 #RP #HR1 #HR2 #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2
 246 [ /2 width=3 by lexs_atom, ex2_intro/ ]
 247 #f #I1 #I2 #L1 #L2 #_ #HI12 #IH #y #H
 248 [ elim (sle_inv_nx … H ??) -H [ |*: // ] #g #Hfg #H destruct
 249   elim (IH … Hfg) -IH -Hfg /3 width=5 by lexs_next, ex2_intro/
 250 | elim (sle_inv_px … H ??) -H [1,3: * |*: // ] #g #Hfg #H destruct
 251   elim (IH … Hfg) -IH -Hfg /3 width=5 by lexs_next, lexs_push, ex2_intro/
 252 ]
 253 qed-.
 254
 255 lemma lexs_dec: ∀RN,RP.
 256                 (∀L,I1,I2. Decidable (RN L I1 I2)) →
 257                 (∀L,I1,I2. Decidable (RP L I1 I2)) →
 258                 ∀L1,L2,f. Decidable (L1 ⪤*[RN, RP, f] L2).
 259 #RN #RP #HRN #HRP #L1 elim L1 -L1 [ * | #L1 #I1 #IH * ]
 260 [ /2 width=1 by lexs_atom, or_introl/
 261 | #L2 #I2 #f @or_intror #H
 262   lapply (lexs_inv_atom1 … H) -H #H destruct
 263 | #f @or_intror #H
 264   lapply (lexs_inv_atom2 … H) -H #H destruct
 265 | #L2 #I2 #f elim (IH L2 (⫱f)) -IH #HL12
 266   [2: /4 width=3 by lexs_fwd_bind, or_intror/ ]
 267   elim (pn_split f) * #g #H destruct
 268   [ elim (HRP L1 I1 I2) | elim (HRN L1 I1 I2) ] -HRP -HRN #HV12
 269   [1,3: /3 width=1 by lexs_push, lexs_next, or_introl/ ]
 270   @or_intror #H
 271   [ elim (lexs_inv_push … H) | elim (lexs_inv_next … H) ] -H
 272   /2 width=1 by/
 273 ]
 274 qed-.