matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/lexs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/relocation/rtmap_sle.ma".
  16 include "basic_2/notation/relations/relationstar_5.ma".
  17 include "basic_2/grammar/lenv.ma".
  18
  19 (* GENERIC ENTRYWISE EXTENSION OF CONTEXT-SENSITIVE REALTIONS FOR TERMS *****)
  20
  21 definition relation5 : Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0]
  22 ≝ λA,B,C,D,E.A→B→C→D→E→Prop.
  23
  24 definition relation6 : Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0] → Type[0]
  25 ≝ λA,B,C,D,E,F.A→B→C→D→E→F→Prop.
  26
  27 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_atom lpx_sn_pair *)
  28 inductive lexs (RN,RP:relation3 lenv term term): rtmap → relation lenv ≝
  29 | lexs_atom: ∀f. lexs RN RP f (⋆) (⋆)
  30 | lexs_next: ∀I,L1,L2,V1,V2,f.
  31              lexs RN RP f L1 L2 → RN L1 V1 V2 →
  32              lexs RN RP (⫯f) (L1.ⓑ{I}V1) (L2.ⓑ{I}V2)
  33 | lexs_push: ∀I,L1,L2,V1,V2,f.
  34              lexs RN RP f L1 L2 → RP L1 V1 V2 →
  35              lexs RN RP (↑f) (L1.ⓑ{I}V1) (L2.ⓑ{I}V2)
  36 .
  37
  38 interpretation "general entrywise extension (local environment)"
  39    'RelationStar RN RP f L1 L2 = (lexs RN RP f L1 L2).
  40
  41 definition lpx_sn_confluent: relation6 (relation3 lenv term term)
  42                                        (relation3 lenv term term) … ≝
  43                              λR1,R2,RN1,RP1,RN2,RP2.
  44                              ∀f,L0,T0,T1. R1 L0 T0 T1 → ∀T2. R2 L0 T0 T2 →
  45                              ∀L1. L0 ⦻*[RN1, RP1, f] L1 → ∀L2. L0 ⦻*[RN2, RP2, f] L2 →
  46                              ∃∃T. R2 L1 T1 T & R1 L2 T2 T.
  47
  48 definition lexs_transitive: relation4 (relation3 lenv term term)
  49                                       (relation3 lenv term term) … ≝
  50                             λR1,R2,RN,RP.
  51                             ∀f,L1,T1,T. R1 L1 T1 T → ∀L2. L1 ⦻*[RN, RP, f] L2 →
  52                             ∀T2. R2 L2 T T2 → R1 L1 T1 T2.
  53
  54 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  55
  56 fact lexs_inv_atom1_aux: ∀RN,RP,X,Y,f. X ⦻*[RN, RP, f] Y → X = ⋆ → Y = ⋆.
  57 #RN #RP #X #Y #f * -X -Y -f //
  58 #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #_ #_ #H destruct
  59 qed-.
  60
  61 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_atom1 *)
  62 lemma lexs_inv_atom1: ∀RN,RP,Y,f. ⋆ ⦻*[RN, RP, f] Y → Y = ⋆.
  63 /2 width=6 by lexs_inv_atom1_aux/ qed-.
  64
  65 fact lexs_inv_next1_aux: ∀RN,RP,X,Y,f. X ⦻*[RN, RP, f] Y → ∀J,K1,W1,g. X = K1.ⓑ{J}W1 → f = ⫯g →
  66                          ∃∃K2,W2. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RN K1 W1 W2 & Y = K2.ⓑ{J}W2.
  67 #RN #RP #X #Y #f * -X -Y -f
  68 [ #f #J #K1 #W1 #g #H destruct
  69 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #HL #HV #J #K1 #W1 #g #H1 #H2 <(injective_next … H2) -g destruct
  70   /2 width=5 by ex3_2_intro/
  71 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #_ #_ #J #K1 #W1 #g #_ #H elim (discr_push_next … H)
  72 ]
  73 qed-.
  74
  75 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_pair1 *)
  76 lemma lexs_inv_next1: ∀RN,RP,J,K1,Y,W1,g. K1.ⓑ{J}W1 ⦻*[RN, RP, ⫯g] Y →
  77                       ∃∃K2,W2. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RN K1 W1 W2 & Y = K2.ⓑ{J}W2.
  78 /2 width=7 by lexs_inv_next1_aux/ qed-.
  79
  80
  81 fact lexs_inv_push1_aux: ∀RN,RP,X,Y,f. X ⦻*[RN, RP, f] Y → ∀J,K1,W1,g. X = K1.ⓑ{J}W1 → f = ↑g →
  82                          ∃∃K2,W2. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RP K1 W1 W2 & Y = K2.ⓑ{J}W2.
  83 #RN #RP #X #Y #f * -X -Y -f
  84 [ #f #J #K1 #W1 #g #H destruct
  85 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #_ #_ #J #K1 #W1 #g #_ #H elim (discr_next_push … H)
  86 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #HL #HV #J #K1 #W1 #g #H1 #H2 <(injective_push … H2) -g destruct
  87   /2 width=5 by ex3_2_intro/
  88 ]
  89 qed-.
  90
  91 lemma lexs_inv_push1: ∀RN,RP,J,K1,Y,W1,g. K1.ⓑ{J}W1 ⦻*[RN, RP, ↑g] Y →
  92                       ∃∃K2,W2. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RP K1 W1 W2 & Y = K2.ⓑ{J}W2.
  93 /2 width=7 by lexs_inv_push1_aux/ qed-.
  94
  95 fact lexs_inv_atom2_aux: ∀RN,RP,X,Y,f. X ⦻*[RN, RP, f] Y → Y = ⋆ → X = ⋆.
  96 #RN #RP #X #Y #f * -X -Y -f //
  97 #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #_ #_ #H destruct
  98 qed-.
  99
 100 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_atom2 *)
 101 lemma lexs_inv_atom2: ∀RN,RP,X,f. X ⦻*[RN, RP, f] ⋆ → X = ⋆.
 102 /2 width=6 by lexs_inv_atom2_aux/ qed-.
 103
 104 fact lexs_inv_next2_aux: ∀RN,RP,X,Y,f. X ⦻*[RN, RP, f] Y → ∀J,K2,W2,g. Y = K2.ⓑ{J}W2 → f = ⫯g →
 105                          ∃∃K1,W1. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RN K1 W1 W2 & X = K1.ⓑ{J}W1.
 106 #RN #RP #X #Y #f * -X -Y -f
 107 [ #f #J #K2 #W2 #g #H destruct
 108 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #HL #HV #J #K2 #W2 #g #H1 #H2 <(injective_next … H2) -g destruct
 109   /2 width=5 by ex3_2_intro/
 110 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #_ #_ #J #K2 #W2 #g #_ #H elim (discr_push_next … H)
 111 ]
 112 qed-.
 113
 114 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_pair2 *)
 115 lemma lexs_inv_next2: ∀RN,RP,J,X,K2,W2,g. X ⦻*[RN, RP, ⫯g] K2.ⓑ{J}W2 →
 116                       ∃∃K1,W1. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RN K1 W1 W2 & X = K1.ⓑ{J}W1.
 117 /2 width=7 by lexs_inv_next2_aux/ qed-.
 118
 119 fact lexs_inv_push2_aux: ∀RN,RP,X,Y,f. X ⦻*[RN, RP, f] Y → ∀J,K2,W2,g. Y = K2.ⓑ{J}W2 → f = ↑g →
 120                          ∃∃K1,W1. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RP K1 W1 W2 & X = K1.ⓑ{J}W1.
 121 #RN #RP #X #Y #f * -X -Y -f
 122 [ #f #J #K2 #W2 #g #H destruct
 123 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #_ #_ #J #K2 #W2 #g #_ #H elim (discr_next_push … H)
 124 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f #HL #HV #J #K2 #W2 #g #H1 #H2 <(injective_push … H2) -g destruct
 125   /2 width=5 by ex3_2_intro/
 126 ]
 127 qed-.
 128
 129 lemma lexs_inv_push2: ∀RN,RP,J,X,K2,W2,g. X ⦻*[RN, RP, ↑g] K2.ⓑ{J}W2 →
 130                       ∃∃K1,W1. K1 ⦻*[RN, RP, g] K2 & RP K1 W1 W2 & X = K1.ⓑ{J}W1.
 131 /2 width=7 by lexs_inv_push2_aux/ qed-.
 132
 133 (* Basic_2A1: includes lpx_sn_inv_pair *)
 134 lemma lexs_inv_next: ∀RN,RP,I1,I2,L1,L2,V1,V2,f.
 135                      L1.ⓑ{I1}V1 ⦻*[RN, RP, ⫯f] (L2.ⓑ{I2}V2) →
 136                      ∧∧ L1 ⦻*[RN, RP, f] L2 & RN L1 V1 V2 & I1 = I2.
 137 #RN #RP #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #f #H elim (lexs_inv_next1 … H) -H
 138 #L0 #V0 #HL10 #HV10 #H destruct /2 width=1 by and3_intro/
 139 qed-.
 140
 141 lemma lexs_inv_push: ∀RN,RP,I1,I2,L1,L2,V1,V2,f.
 142                      L1.ⓑ{I1}V1 ⦻*[RN, RP, ↑f] (L2.ⓑ{I2}V2) →
 143                      ∧∧ L1 ⦻*[RN, RP, f] L2 & RP L1 V1 V2 & I1 = I2.
 144 #RN #RP #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #f #H elim (lexs_inv_push1 … H) -H
 145 #L0 #V0 #HL10 #HV10 #H destruct /2 width=1 by and3_intro/
 146 qed-.
 147
 148 lemma lexs_inv_tl: ∀RN,RP,I,L1,L2,V1,V2,f. L1 ⦻*[RN, RP, ⫱f] L2 →
 149                    RN L1 V1 V2 → RP L1 V1 V2 →
 150                    L1.ⓑ{I}V1 ⦻*[RN, RP, f] L2.ⓑ{I}V2.
 151 #RN #RP #I #L2 #L2 #V1 #V2 #f elim (pn_split f) *
 152 /2 width=1 by lexs_next, lexs_push/
 153 qed-.
 154
 155 (* Basic properties *********************************************************)
 156
 157 lemma lexs_eq_repl_back: ∀RN,RP,L1,L2. eq_repl_back … (λf. L1 ⦻*[RN, RP, f] L2).
 158 #RN #RP #L1 #L2 #f1 #H elim H -L1 -L2 -f1 //
 159 #I #L1 #L2 #V1 #v2 #f1 #_ #HV #IH #f2 #H
 160 [ elim (eq_inv_nx … H) -H /3 width=3 by lexs_next/
 161 | elim (eq_inv_px … H) -H /3 width=3 by lexs_push/
 162 ]
 163 qed-.
 164
 165 lemma lexs_eq_repl_fwd: ∀RN,RP,L1,L2. eq_repl_fwd … (λf. L1 ⦻*[RN, RP, f] L2).
 166 #RN #RP #L1 #L2 @eq_repl_sym /2 width=3 by lexs_eq_repl_back/ (**) (* full auto fails *)
 167 qed-.
 168
 169 (* Note: fexs_sym and fexs_trans hold, but lexs_sym and lexs_trans do not  *)
 170 (* Basic_2A1: includes: lpx_sn_refl *)
 171 lemma lexs_refl: ∀RN,RP,f.
 172                  (∀L. reflexive … (RN L)) →
 173                  (∀L. reflexive … (RP L)) →
 174                  reflexive … (lexs RN RP f).
 175 #RN #RP #f #HRN #HRP #L generalize in match f; -f elim L -L //
 176 #L #I #V #IH * * /2 width=1 by lexs_next, lexs_push/
 177 qed.
 178
 179 lemma sle_lexs_trans: ∀RN,RP. (∀L,T1,T2. RN L T1 T2 → RP L T1 T2) →
 180                       ∀L1,L2,f2. L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2 →
 181                       ∀f1. f1 ⊆ f2 → L1 ⦻*[RN, RP, f1] L2.
 182 #RN #RP #HR #L1 #L2 #f2 #H elim H -L1 -L2 -f2 //
 183 #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f2 #_ #HV12 #IH
 184 [ * * [2: #n1 ] ] #f1 #H
 185 [ /4 width=5 by lexs_next, sle_inv_nn/
 186 | /4 width=5 by lexs_push, sle_inv_pn/
 187 | elim (sle_inv_xp … H) -H [2,3: // ]
 188   #g1 #H #H1 destruct /3 width=5 by lexs_push/
 189 ]
 190 qed-.
 191
 192 lemma sle_lexs_conf: ∀RN,RP. (∀L,T1,T2. RP L T1 T2 → RN L T1 T2) →
 193                      ∀L1,L2,f1. L1 ⦻*[RN, RP, f1] L2 →
 194                      ∀f2. f1 ⊆ f2 → L1 ⦻*[RN, RP, f2] L2.
 195 #RN #RP #HR #L1 #L2 #f2 #H elim H -L1 -L2 -f2 //
 196 #I #L1 #L2 #V1 #V2 #f1 #_ #HV12 #IH
 197 [2: * * [2: #n2 ] ] #f2 #H
 198 [ /4 width=5 by lexs_next, sle_inv_pn/
 199 | /4 width=5 by lexs_push, sle_inv_pp/
 200 | elim (sle_inv_nx … H) -H [2,3: // ]
 201   #g2 #H #H2 destruct /3 width=5 by lexs_next/
 202 ]
 203 qed-.
 204
 205 lemma lexs_co: ∀RN1,RP1,RN2,RP2.
 206                (∀L1,T1,T2. RN1 L1 T1 T2 → RN2 L1 T1 T2) →
 207                (∀L1,T1,T2. RP1 L1 T1 T2 → RP2 L1 T1 T2) →
 208                ∀L1,L2,f. L1 ⦻*[RN1, RP1, f] L2 → L1 ⦻*[RN2, RP2, f] L2.
 209 #RN1 #RP1 #RN2 #RP2 #HRN #HRP #L1 #L2 #f #H elim H -L1 -L2 -f
 210 /3 width=1 by lexs_atom, lexs_next, lexs_push/
 211 qed-.
 212
 213 (* Basic_2A1: removed theorems 17:
 214               llpx_sn_inv_bind llpx_sn_inv_flat
 215               llpx_sn_fwd_lref llpx_sn_fwd_pair_sn llpx_sn_fwd_length
 216               llpx_sn_fwd_bind_sn llpx_sn_fwd_bind_dx llpx_sn_fwd_flat_sn llpx_sn_fwd_flat_dx
 217               llpx_sn_refl llpx_sn_Y llpx_sn_bind_O llpx_sn_ge_up llpx_sn_ge llpx_sn_co
 218               llpx_sn_fwd_drop_sn llpx_sn_fwd_drop_dx
 219 *)