matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/lexs_tc.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/lib/star.ma".
  16 include "basic_2/relocation/lexs.ma".
  17
  18 (* GENERIC ENTRYWISE EXTENSION OF CONTEXT-SENSITIVE REALTIONS FOR TERMS *****)
  19
  20 (* Properties with transitive closure ***************************************)
  21
  22 lemma lexs_tc_refl: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
  23                     ∀f. reflexive … (TC … (lexs RN RP f)).
  24 /3 width=1 by lexs_refl, TC_reflexive/ qed.
  25
  26 lemma lexs_tc_next_sn: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) →
  27                        ∀f,I2,L1,L2. TC … (lexs RN RP f) L1 L2 → ∀I1. RN L1 I1 I2 →
  28                        TC … (lexs RN RP (⫯f)) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2}).
  29 #RN #RP #HRN #f #I2 #L1 #L2 #H @(TC_ind_dx ??????? H) -L1
  30 /3 width=3 by lexs_next, TC_strap, inj/
  31 qed.
  32
  33 lemma lexs_tc_next_dx: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
  34                        ∀f,I1,I2,L1. (LTC … RN) L1 I1 I2 → ∀L2. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 →
  35                        TC … (lexs RN RP (⫯f)) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2}).
  36 #RN #RP #HRN #HRP #f #I1 #I2 #L1 #H elim H -I2
  37 /4 width=5 by lexs_refl, lexs_next, step, inj/
  38 qed.
  39
  40 lemma lexs_tc_push_sn: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RP L)) →
  41                        ∀f,I2,L1,L2. TC … (lexs RN RP f) L1 L2 → ∀I1. RP L1 I1 I2 →
  42                        TC … (lexs RN RP (↑f)) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2}).
  43 #RN #RP #HRP #f #I2 #L1 #L2 #H @(TC_ind_dx ??????? H) -L1
  44 /3 width=3 by lexs_push, TC_strap, inj/
  45 qed.
  46
  47 lemma lexs_tc_push_dx: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
  48                        ∀f,I1,I2,L1. (LTC … RP) L1 I1 I2 → ∀L2. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 →
  49                        TC … (lexs RN RP (↑f)) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2}).
  50 #RN #RP #HRN #HRP #f #I1 #I2 #L1 #H elim H -I2
  51 /4 width=5 by lexs_refl, lexs_push, step, inj/
  52 qed.
  53
  54 lemma lexs_tc_inj_sn: ∀RN,RP,f,L1,L2. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 → L1 ⪤*[LTC … RN, RP, f] L2.
  55 #RN #RP #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2
  56 /3 width=1 by lexs_push, lexs_next, inj/
  57 qed.
  58
  59 lemma lexs_tc_inj_dx: ∀RN,RP,f,L1,L2. L1 ⪤*[RN, RP, f] L2 → L1 ⪤*[RN, LTC … RP, f] L2.
  60 #RN #RP #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2
  61 /3 width=1 by lexs_push, lexs_next, inj/
  62 qed.
  63
  64 (* Main properties with transitive closure **********************************)
  65
  66 theorem lexs_tc_next: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
  67                       ∀f,I1,I2,L1. (LTC … RN) L1 I1 I2 → ∀L2. TC … (lexs RN RP f) L1 L2 →
  68                       TC … (lexs RN RP (⫯f)) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2}).
  69 #RN #RP #HRN #HRP #f #I1 #I2 #L1 #H elim H -I2
  70 /4 width=5 by lexs_tc_next_sn, lexs_tc_refl, trans_TC/
  71 qed.
  72
  73 theorem lexs_tc_push: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
  74                       ∀f,I1,I2,L1. (LTC … RP) L1 I1 I2 → ∀L2. TC … (lexs RN RP f) L1 L2 →
  75                       TC … (lexs RN RP (↑f)) (L1.ⓘ{I1}) (L2.ⓘ{I2}).
  76 #RN #RP #HRN #HRP #f #I1 #I2 #L1 #H elim H -I2
  77 /4 width=5 by lexs_tc_push_sn, lexs_tc_refl, trans_TC/
  78 qed.
  79
  80 (* Basic_2A1: uses: TC_lpx_sn_ind *)
  81 theorem lexs_tc_step_dx: ∀RN,RP. (∀f. 𝐈⦃f⦄ → s_rs_transitive … RP (λ_.lexs RN RP f)) →
  82                          ∀f,L1,L. L1 ⪤*[RN, RP, f] L → 𝐈⦃f⦄ →
  83                          ∀L2. L ⪤*[RN, LTC … RP, f] L2 → L1⪤* [RN, LTC … RP, f] L2.
  84 #RN #RP #HRP #f #L1 #L #H elim H -f -L1 -L
  85 [ #f #_ #Y #H -HRP >(lexs_inv_atom1 … H) -Y // ]
  86 #f #I1 #I #L1 #L #HL1 #HI1 #IH #Hf #Y #H
  87 [ elim (isid_inv_next … Hf) -Hf //
  88 | lapply (isid_inv_push … Hf ??) -Hf [3: |*: // ] #Hf
  89   elim (lexs_inv_push1 … H) -H #I2 #L2 #HL2 #HI2 #H destruct
  90   @lexs_push [ /2 width=1 by/ ] -L2 -IH
  91   @(TC_strap … HI1) -HI1
  92   @(HRP … HL1) // (**) (* auto fails *)
  93 ]
  94 qed-.
  95
  96 (* Advanced properties ******************************************************)
  97
  98 (* Basic_2A1: uses: TC_lpx_sn_inv_lpx_sn_LTC *)
  99 lemma lexs_tc_dx: ∀RN,RP. (∀f. 𝐈⦃f⦄ → s_rs_transitive … RP (λ_.lexs RN RP f)) →
 100                   ∀f. 𝐈⦃f⦄ → ∀L1,L2. TC … (lexs RN RP f) L1 L2 → L1 ⪤*[RN, LTC … RP, f] L2.
 101 #RN #RP #HRP #f #Hf #L1 #L2 #H @(TC_ind_dx ??????? H) -L1
 102 /3 width=3 by lexs_tc_step_dx, lexs_tc_inj_dx/
 103 qed.
 104
 105 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
 106
 107 lemma lexs_inv_tc_sn: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
 108                       ∀f,L1,L2. L1 ⪤*[LTC … RN, RP, f] L2 → TC … (lexs RN RP f) L1 L2.
 109 #RN #RP #HRN #HRP #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2
 110 /2 width=1 by lexs_tc_next, lexs_tc_push_sn, lexs_atom, inj/
 111 qed-.
 112
 113 (* Basic_2A1: uses: lpx_sn_LTC_TC_lpx_sn *)
 114 lemma lexs_inv_tc_dx: ∀RN,RP. (∀L. reflexive … (RN L)) → (∀L. reflexive … (RP L)) →
 115                       ∀f,L1,L2. L1 ⪤*[RN, LTC … RP, f] L2 → TC … (lexs RN RP f) L1 L2.
 116 #RN #RP #HRN #HRP #f #L1 #L2 #H elim H -f -L1 -L2
 117 /2 width=1 by lexs_tc_push, lexs_tc_next_sn, lexs_atom, inj/
 118 qed-.