]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/lsuby.ma
- advances on hereditarily free variables: now "frees" is primitive
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_2 / relocation / lsuby.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ground_2/ynat/ynat_plus.ma".
16 include "basic_2/notation/relations/lrsubeq_4.ma".
17 include "basic_2/relocation/ldrop.ma".
18
19 (* LOCAL ENVIRONMENT REFINEMENT FOR EXTENDED SUBSTITUTION *******************)
20
21 inductive lsuby: relation4 ynat ynat lenv lenv ≝
22 | lsuby_atom: ∀L,d,e. lsuby d e L (⋆)
23 | lsuby_zero: ∀I1,I2,L1,L2,V1,V2.
24               lsuby 0 0 L1 L2 → lsuby 0 0 (L1.ⓑ{I1}V1) (L2.ⓑ{I2}V2)
25 | lsuby_pair: ∀I1,I2,L1,L2,V,e. lsuby 0 e L1 L2 →
26               lsuby 0 (⫯e) (L1.ⓑ{I1}V) (L2.ⓑ{I2}V)
27 | lsuby_succ: ∀I1,I2,L1,L2,V1,V2,d,e.
28               lsuby d e L1 L2 → lsuby (⫯d) e (L1.ⓑ{I1}V1) (L2.ⓑ{I2}V2)
29 .
30
31 interpretation
32   "local environment refinement (extended substitution)"
33   'LRSubEq L1 d e L2 = (lsuby d e L1 L2).
34
35 (* Basic properties *********************************************************)
36
37 lemma lsuby_pair_lt: ∀I1,I2,L1,L2,V,e. L1 ⊆[0, ⫰e] L2 → 0 < e →
38                      L1.ⓑ{I1}V ⊆[0, e] L2.ⓑ{I2}V.
39 #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #HL12 #He <(ylt_inv_O1 … He) /2 width=1 by lsuby_pair/
40 qed.
41
42 lemma lsuby_succ_lt: ∀I1,I2,L1,L2,V1,V2,d,e. L1 ⊆[⫰d, e] L2 → 0 < d →
43                      L1.ⓑ{I1}V1 ⊆[d, e] L2. ⓑ{I2}V2.
44 #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #HL12 #Hd <(ylt_inv_O1 … Hd) /2 width=1 by lsuby_succ/
45 qed.
46
47 lemma lsuby_pair_O_Y: ∀L1,L2. L1 ⊆[0, ∞] L2 →
48                       ∀I1,I2,V. L1.ⓑ{I1}V ⊆[0,∞] L2.ⓑ{I2}V.
49 #L1 #L2 #HL12 #I1 #I2 #V lapply (lsuby_pair I1 I2 … V … HL12) -HL12 //
50 qed.
51
52 lemma lsuby_refl: ∀L,d,e. L ⊆[d, e] L.
53 #L elim L -L //
54 #L #I #V #IHL #d elim (ynat_cases … d) [| * #x ]
55 #Hd destruct /2 width=1 by lsuby_succ/
56 #e elim (ynat_cases … e) [| * #x ]
57 #He destruct /2 width=1 by lsuby_zero, lsuby_pair/
58 qed.
59
60 lemma lsuby_O2: ∀L2,L1,d. |L2| ≤ |L1| → L1 ⊆[d, yinj 0] L2.
61 #L2 elim L2 -L2 // #L2 #I2 #V2 #IHL2 * normalize
62 [ #d #H elim (le_plus_xSy_O_false … H)
63 | #L1 #I1 #V1 #d #H lapply (le_plus_to_le_r … H) -H #HL12
64  elim (ynat_cases d) /3 width=1 by lsuby_zero/
65  * /3 width=1 by lsuby_succ/
66 ]
67 qed.
68
69 lemma lsuby_sym: ∀d,e,L1,L2. L1 ⊆[d, e] L2 → |L1| = |L2| → L2 ⊆[d, e] L1.
70 #d #e #L1 #L2 #H elim H -d -e -L1 -L2
71 [ #L1 #d #e #H >(length_inv_zero_dx … H) -L1 //
72 | /2 width=1 by lsuby_O2/
73 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #_ #IHL12 #H lapply (injective_plus_l … H)
74   /3 width=1 by lsuby_pair/
75 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #IHL12 #H lapply (injective_plus_l … H)
76   /3 width=1 by lsuby_succ/
77 ]
78 qed-.
79
80 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
81
82 fact lsuby_inv_atom1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
83 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e //
84 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #_ #H destruct
85 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #_ #H destruct
86 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #H destruct
87 ]
88 qed-.
89
90 lemma lsuby_inv_atom1: ∀L2,d,e. ⋆ ⊆[d, e] L2 → L2 = ⋆.
91 /2 width=5 by lsuby_inv_atom1_aux/ qed-.
92
93 fact lsuby_inv_zero1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
94                           ∀J1,K1,W1. L1 = K1.ⓑ{J1}W1 → d = 0 → e = 0 →
95                           L2 = ⋆ ∨
96                           ∃∃J2,K2,W2. K1 ⊆[0, 0] K2 & L2 = K2.ⓑ{J2}W2.
97 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e /2 width=1 by or_introl/
98 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #HL12 #J1 #K1 #W1 #H #_ #_ destruct
99   /3 width=5 by ex2_3_intro, or_intror/
100 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #_ #J1 #K1 #W1 #_ #_ #H
101   elim (ysucc_inv_O_dx … H)
102 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #J1 #K1 #W1 #_ #H
103   elim (ysucc_inv_O_dx … H)
104 ]
105 qed-.
106
107 lemma lsuby_inv_zero1: ∀I1,K1,L2,V1. K1.ⓑ{I1}V1 ⊆[0, 0] L2 →
108                        L2 = ⋆ ∨
109                        ∃∃I2,K2,V2. K1 ⊆[0, 0] K2 & L2 = K2.ⓑ{I2}V2.
110 /2 width=9 by lsuby_inv_zero1_aux/ qed-.
111
112 fact lsuby_inv_pair1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
113                           ∀J1,K1,W. L1 = K1.ⓑ{J1}W → d = 0 → 0 < e →
114                           L2 = ⋆ ∨
115                           ∃∃J2,K2. K1 ⊆[0, ⫰e] K2 & L2 = K2.ⓑ{J2}W.
116 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e /2 width=1 by or_introl/
117 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #_ #J1 #K1 #W #_ #_ #H
118   elim (ylt_yle_false … H) //
119 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #HL12 #J1 #K1 #W #H #_ #_ destruct
120   /3 width=4 by ex2_2_intro, or_intror/
121 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #J1 #K1 #W #_ #H
122   elim (ysucc_inv_O_dx … H)
123 ]
124 qed-.
125
126 lemma lsuby_inv_pair1: ∀I1,K1,L2,V,e. K1.ⓑ{I1}V ⊆[0, e] L2 → 0 < e →
127                        L2 = ⋆ ∨
128                        ∃∃I2,K2. K1 ⊆[0, ⫰e] K2 & L2 = K2.ⓑ{I2}V.
129 /2 width=6 by lsuby_inv_pair1_aux/ qed-.
130
131 fact lsuby_inv_succ1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
132                           ∀J1,K1,W1. L1 = K1.ⓑ{J1}W1 → 0 < d →
133                           L2 = ⋆ ∨
134                           ∃∃J2,K2,W2. K1 ⊆[⫰d, e] K2 & L2 = K2.ⓑ{J2}W2.
135 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e /2 width=1 by or_introl/
136 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #_ #J1 #K1 #W1 #_ #H
137   elim (ylt_yle_false … H) //
138 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #_ #J1 #K1 #W1 #_ #H
139   elim (ylt_yle_false … H) //
140 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #HL12 #J1 #K1 #W1 #H #_ destruct
141   /3 width=5 by ex2_3_intro, or_intror/
142 ]
143 qed-.
144
145 lemma lsuby_inv_succ1: ∀I1,K1,L2,V1,d,e. K1.ⓑ{I1}V1 ⊆[d, e] L2 → 0 < d →
146                        L2 = ⋆ ∨
147                        ∃∃I2,K2,V2. K1 ⊆[⫰d, e] K2 & L2 = K2.ⓑ{I2}V2.
148 /2 width=5 by lsuby_inv_succ1_aux/ qed-.
149
150 fact lsuby_inv_zero2_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
151                           ∀J2,K2,W2. L2 = K2.ⓑ{J2}W2 → d = 0 → e = 0 →
152                           ∃∃J1,K1,W1. K1 ⊆[0, 0] K2 & L1 = K1.ⓑ{J1}W1.
153 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e
154 [ #L1 #d #e #J2 #K2 #W1 #H destruct
155 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #HL12 #J2 #K2 #W2 #H #_ #_ destruct
156   /2 width=5 by ex2_3_intro/
157 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #_ #J2 #K2 #W2 #_ #_ #H
158   elim (ysucc_inv_O_dx … H)
159 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #J2 #K2 #W2 #_ #H
160   elim (ysucc_inv_O_dx … H)
161 ]
162 qed-.
163
164 lemma lsuby_inv_zero2: ∀I2,K2,L1,V2. L1 ⊆[0, 0] K2.ⓑ{I2}V2 →
165                        ∃∃I1,K1,V1. K1 ⊆[0, 0] K2 & L1 = K1.ⓑ{I1}V1.
166 /2 width=9 by lsuby_inv_zero2_aux/ qed-.
167
168 fact lsuby_inv_pair2_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
169                           ∀J2,K2,W. L2 = K2.ⓑ{J2}W → d = 0 → 0 < e →
170                           ∃∃J1,K1. K1 ⊆[0, ⫰e] K2 & L1 = K1.ⓑ{J1}W.
171 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e
172 [ #L1 #d #e #J2 #K2 #W #H destruct
173 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #_ #J2 #K2 #W #_ #_ #H
174   elim (ylt_yle_false … H) //
175 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #HL12 #J2 #K2 #W #H #_ #_ destruct
176   /2 width=4 by ex2_2_intro/
177 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #J2 #K2 #W #_ #H
178   elim (ysucc_inv_O_dx … H)
179 ]
180 qed-.
181
182 lemma lsuby_inv_pair2: ∀I2,K2,L1,V,e. L1 ⊆[0, e] K2.ⓑ{I2}V → 0 < e →
183                        ∃∃I1,K1. K1 ⊆[0, ⫰e] K2 & L1 = K1.ⓑ{I1}V.
184 /2 width=6 by lsuby_inv_pair2_aux/ qed-.
185
186 fact lsuby_inv_succ2_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
187                           ∀J2,K2,W2. L2 = K2.ⓑ{J2}W2 → 0 < d →
188                           ∃∃J1,K1,W1. K1 ⊆[⫰d, e] K2 & L1 = K1.ⓑ{J1}W1.
189 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e
190 [ #L1 #d #e #J2 #K2 #W2 #H destruct
191 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #_ #J2 #K2 #W2 #_ #H
192   elim (ylt_yle_false … H) //
193 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #_ #J2 #K1 #W2 #_ #H
194   elim (ylt_yle_false … H) //
195 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #HL12 #J2 #K2 #W2 #H #_ destruct
196   /2 width=5 by ex2_3_intro/
197 ]
198 qed-.
199
200 lemma lsuby_inv_succ2: ∀I2,K2,L1,V2,d,e. L1 ⊆[d, e] K2.ⓑ{I2}V2 → 0 < d →
201                        ∃∃I1,K1,V1. K1 ⊆[⫰d, e] K2 & L1 = K1.ⓑ{I1}V1.
202 /2 width=5 by lsuby_inv_succ2_aux/ qed-.
203
204 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
205
206 lemma lsuby_fwd_length: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 → |L2| ≤ |L1|.
207 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e normalize /2 width=1 by le_S_S/
208 qed-.
209
210 (* Properties on basic slicing **********************************************)
211
212 lemma lsuby_ldrop_trans_be: ∀L1,L2,d,e. L1 ⊆[d, e] L2 →
213                             ∀I2,K2,W,s,i. ⇩[s, 0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}W →
214                             d ≤ i → i < d + e →
215                             ∃∃I1,K1. K1 ⊆[0, ⫰(d+e-i)] K2 & ⇩[s, 0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}W.
216 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e
217 [ #L1 #d #e #J2 #K2 #W #s #i #H
218   elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H #H destruct
219 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #_ #_ #J2 #K2 #W #s #i #_ #_ #H
220   elim (ylt_yle_false … H) //
221 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V #e #HL12 #IHL12 #J2 #K2 #W #s #i #H #_ >yplus_O1
222   elim (ldrop_inv_O1_pair1 … H) -H * #Hi #HLK1 [ -IHL12 | -HL12 ]
223   [ #_ destruct -I2 >ypred_succ
224     /2 width=4 by ldrop_pair, ex2_2_intro/
225   | lapply (ylt_inv_O1 i ?) /2 width=1 by ylt_inj/
226     #H <H -H #H lapply (ylt_inv_succ … H) -H
227     #Hie elim (IHL12 … HLK1) -IHL12 -HLK1 // -Hie
228     >yminus_succ <yminus_inj /3 width=4 by ldrop_drop_lt, ex2_2_intro/
229   ]
230 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #IHL12 #J2 #K2 #W #s #i #HLK2 #Hdi
231   elim (yle_inv_succ1 … Hdi) -Hdi
232   #Hdi #Hi <Hi >yplus_succ1 #H lapply (ylt_inv_succ … H) -H
233   #Hide lapply (ldrop_inv_drop1_lt … HLK2 ?) -HLK2 /2 width=1 by ylt_O/
234   #HLK1 elim (IHL12 … HLK1) -IHL12 -HLK1 <yminus_inj >yminus_SO2
235   /4 width=4 by ylt_O, ldrop_drop_lt, ex2_2_intro/
236 ]
237 qed-.