matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_computation/cpms_cpms.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/rt_computation/cpms_drops.ma".
  16 include "basic_2/rt_computation/cprs.ma".
  17
  18 (* T-BOUND CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL RT-COMPUTATION FOR TERMS **************)
  19
  20 (* Main properties **********************************************************)
  21
  22 (* Basic_2A1: uses: lstas_scpds_trans scpds_strap2 *)
  23 theorem cpms_trans (h) (G) (L):
  24                    ∀n1,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n1, h] T →
  25                    ∀n2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[n2, h] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n1+n2, h] T2.
  26 /2 width=3 by ltc_trans/ qed-.
  27
  28 (* Basic_2A1: uses: scpds_cprs_trans *)
  29 theorem cpms_cprs_trans (n) (h) (G) (L):
  30                         ∀T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T →
  31                         ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[h] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2.
  32 #n #h #G #L #T1 #T #HT1 #T2 #HT2 >(plus_n_O … n)
  33 /2 width=3 by cpms_trans/ qed-.
  34
  35 (* Basic_2A1: includes: cprs_bind *)
  36 theorem cpms_bind (n) (h) (G) (L):
  37                   ∀I,V1,T1,T2. ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
  38                   ∀V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h] V2 →
  39                   ∀p. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{p,I}V1.T1 ➡*[n, h] ⓑ{p,I}V2.T2.
  40 #n #h #G #L #I #V1 #T1 #T2 #HT12 #V2 #H @(cprs_ind_dx … H) -V2
  41 [ /2 width=1 by cpms_bind_dx/
  42 | #V #V2 #_ #HV2 #IH #p >(plus_n_O … n) -HT12
  43   /3 width=3 by cpr_pair_sn, cpms_step_dx/
  44 ]
  45 qed.
  46
  47 theorem cpms_appl (n) (h) (G) (L):
  48                   ∀T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
  49                   ∀V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h] V2 →
  50                   ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡*[n, h] ⓐV2.T2.
  51 #n #h #G #L #T1 #T2 #HT12 #V1 #V2 #H @(cprs_ind_dx … H) -V2
  52 [ /2 width=1 by cpms_appl_dx/
  53 | #V #V2 #_ #HV2 #IH >(plus_n_O … n) -HT12
  54   /3 width=3 by cpr_pair_sn, cpms_step_dx/
  55 ]
  56 qed.
  57
  58 lemma cpms_inv_plus (h) (G) (L): ∀n1,n2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n1+n2, h] T2 →
  59                                  ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n1, h] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡*[n2, h] T2.
  60 #h #G #L #n1 elim n1 -n1 /2 width=3 by ex2_intro/
  61 #n1 #IH #n2 #T1 #T2 <plus_S1 #H
  62 elim (cpms_inv_succ_sn … H) -H #T0 #HT10 #HT02
  63 elim (IH … HT02) -IH -HT02 #T #HT0 #HT2
  64 lapply (cpms_trans … HT10 … HT0) -T0 #HT1
  65 /2 width=3 by ex2_intro/
  66 qed-.
  67
  68 lemma cpms_cast (n) (h) (G) (L):
  69                 ∀T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
  70                 ∀U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡*[n, h] U2 →
  71                 ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝU1.T1 ➡*[n, h] ⓝU2.T2.
  72 #n #h #G #L #T1 #T2 #H @(cpms_ind_sn … H) -T1 -n
  73 [ /3 width=3 by cpms_cast_sn/
  74 | #n1 #n2 #T1 #T #HT1 #_ #IH #U1 #U2 #H
  75   elim (cpms_inv_plus … H) -H #U #HU1 #HU2
  76   /3 width=3 by cpms_trans, cpms_cast_sn/
  77 ]
  78 qed.
  79
  80 (* Basic_2A1: includes: cprs_beta_rc *)
  81 theorem cpms_beta_rc (n) (h) (G) (L):
  82                      ∀V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h] V2 →
  83                      ∀W1,T1,T2. ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
  84                      ∀W2. ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡*[h] W2 →
  85                      ∀p. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.ⓛ{p}W1.T1 ➡*[n, h] ⓓ{p}ⓝW2.V2.T2.
  86 #n #h #G #L #V1 #V2 #HV12 #W1 #T1 #T2 #HT12 #W2 #H @(cprs_ind_dx … H) -W2
  87 [ /2 width=1 by cpms_beta_dx/
  88 | #W #W2 #_ #HW2 #IH #p >(plus_n_O … n) -HT12
  89   /4 width=3 by cpr_pair_sn, cpms_step_dx/
  90 ]
  91 qed.
  92
  93 (* Basic_2A1: includes: cprs_beta *)
  94 theorem cpms_beta (n) (h) (G) (L):
  95                   ∀W1,T1,T2. ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
  96                   ∀W2. ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡*[h] W2 →
  97                   ∀V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h] V2 →
  98                   ∀p. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.ⓛ{p}W1.T1 ➡*[n, h] ⓓ{p}ⓝW2.V2.T2.
  99 #n #h #G #L #W1 #T1 #T2 #HT12 #W2 #HW12 #V1 #V2 #H @(cprs_ind_dx … H) -V2
 100 [ /2 width=1 by cpms_beta_rc/
 101 | #V #V2 #_ #HV2 #IH #p >(plus_n_O … n) -HT12
 102   /4 width=5 by cpms_step_dx, cpr_pair_sn, cpm_cast/
 103 ]
 104 qed.
 105
 106 (* Basic_2A1: includes: cprs_theta_rc *)
 107 theorem cpms_theta_rc (n) (h) (G) (L):
 108                       ∀V1,V. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h] V → ∀V2. ⬆*[1] V ≘ V2 →
 109                       ∀W1,T1,T2. ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
 110                       ∀W2. ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡*[h] W2 →
 111                       ∀p. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.ⓓ{p}W1.T1 ➡*[n, h] ⓓ{p}W2.ⓐV2.T2.
 112 #n #h #G #L #V1 #V #HV1 #V2 #HV2 #W1 #T1 #T2 #HT12 #W2 #H @(cprs_ind_dx … H) -W2
 113 [ /2 width=3 by cpms_theta_dx/
 114 | #W #W2 #_ #HW2 #IH #p >(plus_n_O … n) -HT12
 115   /3 width=3 by cpr_pair_sn, cpms_step_dx/
 116 ]
 117 qed.
 118
 119 (* Basic_2A1: includes: cprs_theta *)
 120 theorem cpms_theta (n) (h) (G) (L):
 121                    ∀V,V2. ⬆*[1] V ≘ V2 → ∀W1,W2. ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡*[h] W2 →
 122                    ∀T1,T2. ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡*[n, h] T2 →
 123                    ∀V1. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡*[h] V →
 124                    ∀p. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.ⓓ{p}W1.T1 ➡*[n, h] ⓓ{p}W2.ⓐV2.T2.
 125 #n #h #G #L #V #V2 #HV2 #W1 #W2 #HW12 #T1 #T2 #HT12 #V1 #H @(cprs_ind_sn … H) -V1
 126 [ /2 width=3 by cpms_theta_rc/
 127 | #V1 #V0 #HV10 #_ #IH #p >(plus_O_n … n) -HT12
 128   /3 width=3 by cpr_pair_sn, cpms_step_sn/
 129 ]
 130 qed.
 131 (*
 132 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
 133
 134 (* Basic_1: was pr3_gen_appl *)
 135 lemma cprs_inv_appl1: ∀G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡* U2 →
 136                       ∨∨ ∃∃V2,T2.       ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡* V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡* T2 &
 137                                         U2 = ⓐV2. T2
 138                        | ∃∃a,W,T.       ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡* ⓛ{a}W.T &
 139                                         ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}ⓝW.V1.T ➡* U2
 140                        | ∃∃a,V0,V2,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡* V0 & ⬆[0,1] V0 ≘ V2 &
 141                                         ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡* ⓓ{a}V.T &
 142                                         ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V.ⓐV2.T ➡* U2.
 143 #G #L #V1 #T1 #U2 #H @(cprs_ind … H) -U2 /3 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro/
 144 #U #U2 #_ #HU2 * *
 145 [ #V0 #T0 #HV10 #HT10 #H destruct
 146   elim (cpr_inv_appl1 … HU2) -HU2 *
 147   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct /4 width=5 by cprs_strap1, or3_intro0, ex3_2_intro/
 148   | #a #V2 #W #W2 #T #T2 #HV02 #HW2 #HT2 #H1 #H2 destruct
 149     lapply (cprs_strap1 … HV10 … HV02) -V0 #HV12
 150     lapply (lsubr_cpr_trans … HT2 (L.ⓓⓝW.V1) ?) -HT2
 151     /5 width=5 by cprs_bind, cprs_flat_dx, cpr_cprs, lsubr_beta, ex2_3_intro, or3_intro1/
 152   | #a #V #V2 #W0 #W2 #T #T2 #HV0 #HV2 #HW02 #HT2 #H1 #H2 destruct
 153     /5 width=10 by cprs_flat_sn, cprs_bind_dx, cprs_strap1, ex4_5_intro, or3_intro2/
 154   ]
 155 | /4 width=9 by cprs_strap1, or3_intro1, ex2_3_intro/
 156 | /4 width=11 by cprs_strap1, or3_intro2, ex4_5_intro/
 157 ]
 158 qed-.
 159
 160 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
 161
 162 lemma scpds_inv_abst1: ∀h,o,a,G,L,V1,T1,U2,d. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 •*➡*[h, o, d] U2 →
 163                        ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡* V2 & ⦃G, L.ⓛV1⦄ ⊢ T1 •*➡*[h, o, d] T2 &
 164                                 U2 = ⓛ{a}V2.T2.
 165 #h #o #a #G #L #V1 #T1 #U2 #d2 * #X #d1 #Hd21 #Hd1 #H1 #H2
 166 lapply (da_inv_bind … Hd1) -Hd1 #Hd1
 167 elim (lstas_inv_bind1 … H1) -H1 #U #HTU1 #H destruct
 168 elim (cprs_inv_abst1 … H2) -H2 #V2 #T2 #HV12 #HUT2 #H destruct
 169 /3 width=6 by ex4_2_intro, ex3_2_intro/
 170 qed-.
 171
 172 lemma scpds_inv_abbr_abst: ∀h,o,a1,a2,G,L,V1,W2,T1,T2,d. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a1}V1.T1 •*➡*[h, o, d] ⓛ{a2}W2.T2 →
 173                            ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 •*➡*[h, o, d] T & ⬆[0, 1] ⓛ{a2}W2.T2 ≘ T & a1 = true.
 174 #h #o #a1 #a2 #G #L #V1 #W2 #T1 #T2 #d2 * #X #d1 #Hd21 #Hd1 #H1 #H2
 175 lapply (da_inv_bind … Hd1) -Hd1 #Hd1
 176 elim (lstas_inv_bind1 … H1) -H1 #U1 #HTU1 #H destruct
 177 elim (cprs_inv_abbr1 … H2) -H2 *
 178 [ #V2 #U2 #HV12 #HU12 #H destruct
 179 | /3 width=6 by ex4_2_intro, ex3_intro/
 180 ]
 181 qed-.
 182
 183 lemma scpds_inv_lstas_eq: ∀h,o,G,L,T1,T2,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*➡*[h, o, d] T2 →
 184                           ∀T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, d] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡* T2.
 185 #h #o #G #L #T1 #T2 #d2 *
 186 #T0 #d1 #_ #_ #HT10 #HT02 #T #HT1
 187 lapply (lstas_mono … HT10 … HT1) #H destruct //
 188 qed-.
 189
 190 (* Main properties **********************************************************)
 191
 192 theorem scpds_conf_eq: ∀h,o,G,L,T0,T1,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 •*➡*[h, o, d] T1 →
 193                        ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 •*➡*[h, o, d] T2 →
 194                        ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡* T & ⦃G, L⦄ ⊢ T2 ➡* T.
 195 #h #o #G #L #T0 #T1 #d0 * #U1 #d1 #_ #_ #H1 #HUT1 #T2 * #U2 #d2 #_ #_ #H2 #HUT2 -d1 -d2
 196 lapply (lstas_mono … H1 … H2) #H destruct -h -d0 /2 width=3 by cprs_conf/
 197 qed-.
 198 *)