matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_computation/cpts_drops.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "static_2/relocation/drops_ltc.ma".
  16 include "basic_2/rt_transition/cpt_drops.ma".
  17 include "basic_2/rt_computation/cpts.ma".
  18
  19 (* T-BOUND CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL T-COMPUTATION FOR TERMS ***************)
  20
  21 (* Properties with generic slicing for local environments *******************)
  22
  23 lemma cpts_lifts_sn (h) (n) (G):
  24       d_liftable2_sn … lifts (λL. cpts h G L n).
  25 /3 width=6 by d2_liftable_sn_ltc, cpt_lifts_sn/ qed-.
  26
  27 lemma cpts_lifts_bi (h) (n) (G):
  28       d_liftable2_bi … lifts (λL. cpts h G L n).
  29 #h #n #G @d_liftable2_sn_bi
  30 /2 width=6 by cpts_lifts_sn, lifts_mono/
  31 qed-.
  32
  33 (* Inversion lemmas with generic slicing for local environments *************)
  34
  35 lemma cpts_inv_lifts_sn (h) (n) (G):
  36       d_deliftable2_sn … lifts (λL. cpts h G L n).
  37 /3 width=6 by d2_deliftable_sn_ltc, cpt_inv_lifts_sn/ qed-.
  38
  39 lemma cpts_inv_lifts_bi (h) (n) (G):
  40       d_deliftable2_bi … lifts (λL. cpts h G L n).
  41 #h #n #G @d_deliftable2_sn_bi
  42 /2 width=6 by cpts_inv_lifts_sn, lifts_inj/
  43 qed-.
  44
  45 (* Advanced properties ******************************************************)
  46
  47 lemma cpts_delta (h) (n) (G):
  48       ∀K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ⬆*[h,n] V2 →
  49       ∀W2. ⇧*[1] V2 ≘ W2 → ❪G,K.ⓓV1❫ ⊢ #0 ⬆*[h,n] W2.
  50 #h #n #G #K #V1 #V2 #H @(cpts_ind_dx … H) -V2
  51 [ /3 width=3 by cpt_cpts, cpt_delta/
  52 | #n1 #n2 #V #V2 #_ #IH #HV2 #W2 #HVW2
  53   elim (lifts_total V (𝐔❨1❩)) #W #HVW
  54   /5 width=11 by cpts_step_dx, cpt_lifts_bi, drops_refl, drops_drop/
  55 ]
  56 qed.
  57
  58 lemma cpts_ell (h) (n) (G):
  59       ∀K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ⬆*[h,n] V2 →
  60       ∀W2. ⇧*[1] V2 ≘ W2 → ❪G,K.ⓛV1❫ ⊢ #0 ⬆*[h,↑n] W2.
  61 #h #n #G #K #V1 #V2 #H @(cpts_ind_dx … H) -V2
  62 [ /3 width=3 by cpt_cpts, cpt_ell/
  63 | #n1 #n2 #V #V2 #_ #IH #HV2 #W2 #HVW2
  64   elim (lifts_total V (𝐔❨1❩)) #W #HVW >plus_S1
  65   /5 width=11 by cpts_step_dx, cpt_lifts_bi, drops_refl, drops_drop/
  66 ]
  67 qed.
  68
  69 lemma cpts_lref (h) (n) (I) (G):
  70       ∀K,T,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ⬆*[h,n] T →
  71       ∀U. ⇧*[1] T ≘ U → ❪G,K.ⓘ[I]❫ ⊢ #↑i ⬆*[h,n] U.
  72 #h #n #I #G #K #T #i #H @(cpts_ind_dx … H) -T
  73 [ /3 width=3 by cpt_cpts, cpt_lref/
  74 | #n1 #n2 #T #T2 #_ #IH #HT2 #U2 #HTU2
  75   elim (lifts_total T (𝐔❨1❩)) #U #TU
  76   /5 width=11 by cpts_step_dx, cpt_lifts_bi, drops_refl, drops_drop/
  77 ]
  78 qed.
  79
  80 lemma cpts_cast_sn (h) (n) (G) (L):
  81       ∀U1,U2. ❪G,L❫ ⊢ U1 ⬆*[h,n] U2 →
  82       ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬆[h,n] T2 → ❪G,L❫ ⊢ ⓝU1.T1 ⬆*[h,n] ⓝU2.T2.
  83 #h #n #G #L #U1 #U2 #H @(cpts_ind_sn … H) -U1 -n
  84 [ /3 width=3 by cpt_cpts, cpt_cast/
  85 | #n1 #n2 #U1 #U #HU1 #_ #IH #T1 #T2 #H
  86   elim (cpt_fwd_plus … H) -H #T #HT1 #HT2
  87   /3 width=3 by cpts_step_sn, cpt_cast/
  88 ]
  89 qed.
  90
  91 lemma cpts_delta_drops (h) (n) (G):
  92       ∀L,K,V,i. ⇩*[i] L ≘ K.ⓓV →
  93       ∀V2. ❪G,K❫ ⊢ V ⬆*[h,n] V2 →
  94       ∀W2. ⇧*[↑i] V2 ≘ W2 → ❪G,L❫ ⊢ #i ⬆*[h,n] W2.
  95 #h #n #G #L #K #V #i #HLK #V2 #H @(cpts_ind_dx … H) -V2
  96 [ /3 width=6 by cpt_cpts, cpt_delta_drops/
  97 | #n1 #n2 #V1 #V2 #_ #IH #HV12 #W2 #HVW2
  98   lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK) -HLK // #HLK
  99   elim (lifts_total V1 (𝐔❨↑i❩)) #W1 #HVW1
 100   /3 width=11 by cpt_lifts_bi, cpts_step_dx/
 101 ]
 102 qed.
 103
 104 lemma cpts_ell_drops (h) (n) (G):
 105       ∀L,K,W,i. ⇩*[i] L ≘ K.ⓛW →
 106       ∀W2. ❪G,K❫ ⊢ W ⬆*[h,n] W2 →
 107       ∀V2. ⇧*[↑i] W2 ≘ V2 → ❪G,L❫ ⊢ #i ⬆*[h,↑n] V2.
 108 #h #n #G #L #K #W #i #HLK #W2 #H @(cpts_ind_dx … H) -W2
 109 [ /3 width=6 by cpt_cpts, cpt_ell_drops/
 110 | #n1 #n2 #W1 #W2 #_ #IH #HW12 #V2 #HWV2
 111   lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK) -HLK // #HLK
 112   elim (lifts_total W1 (𝐔❨↑i❩)) #V1 #HWV1 >plus_S1
 113   /3 width=11 by cpt_lifts_bi, cpts_step_dx/
 114 ]
 115 qed.
 116
 117 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
 118
 119 lemma cpts_inv_lref_sn_drops (h) (n) (G) (L) (i):
 120       ∀X2. ❪G,L❫ ⊢ #i ⬆*[h,n] X2 →
 121       ∨∨ ∧∧ X2 = #i & n = 0
 122        | ∃∃K,V,V2. ⇩*[i] L ≘ K.ⓓV & ❪G,K❫ ⊢ V ⬆*[h,n] V2 & ⇧*[↑i] V2 ≘ X2
 123        | ∃∃m,K,V,V2. ⇩*[i] L ≘ K.ⓛV & ❪G,K❫ ⊢ V ⬆*[h,m] V2 & ⇧*[↑i] V2 ≘ X2 & n = ↑m.
 124 #h #n #G #L #i #X2 #H @(cpts_ind_dx … H) -X2
 125 [ /3 width=1 by or3_intro0, conj/
 126 | #n1 #n2 #T #T2 #_ #IH #HT2 cases IH -IH *
 127   [ #H1 #H2 destruct
 128     elim (cpt_inv_lref_sn_drops … HT2) -HT2 *
 129     [ /3 width=1 by or3_intro0, conj/
 130     | /4 width=6 by cpt_cpts, or3_intro1, ex3_3_intro/
 131     | /4 width=8 by cpt_cpts, or3_intro2, ex4_4_intro/
 132     ]
 133   | #K #V0 #V #HLK #HV0 #HVT
 134     lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK) // #H0LK
 135     elim (cpt_inv_lifts_sn … HT2 … H0LK … HVT) -H0LK -T
 136     /4 width=6 by cpts_step_dx, ex3_3_intro, or3_intro1/
 137   | #m #K #V0 #V #HLK #HV0 #HVT #H destruct
 138     lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK) // #H0LK
 139     elim (cpt_inv_lifts_sn … HT2 … H0LK … HVT) -H0LK -T
 140     /4 width=8 by cpts_step_dx, ex4_4_intro, or3_intro2/
 141   ]
 142 ]
 143 qed-.
 144
 145 lemma cpts_inv_delta_sn (h) (n) (G) (K) (V):
 146       ∀X2. ❪G,K.ⓓV❫ ⊢ #0 ⬆*[h,n] X2 →
 147       ∨∨ ∧∧ X2 = #0 & n = 0
 148        | ∃∃V2. ❪G,K❫ ⊢ V ⬆*[h,n] V2 & ⇧*[1] V2 ≘ X2.
 149 #h #n #G #K #V #X2 #H
 150 elim (cpts_inv_lref_sn_drops … H) -H *
 151 [ /3 width=1 by or_introl, conj/
 152 | #Y #X #V2 #H #HV2 #HVT2
 153   lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H [ // ] #H destruct
 154   /3 width=3 by ex2_intro, or_intror/
 155 | #m #Y #X #V2 #H #HV2 #HVT2
 156   lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H [ // ] #H destruct
 157 ]
 158 qed-.
 159
 160 lemma cpts_inv_ell_sn (h) (n) (G) (K) (V):
 161       ∀X2. ❪G,K.ⓛV❫ ⊢ #0 ⬆*[h,n] X2 →
 162       ∨∨ ∧∧ X2 = #0 & n = 0
 163        | ∃∃m,V2. ❪G,K❫ ⊢ V ⬆*[h,m] V2 & ⇧*[1] V2 ≘ X2 & n = ↑m.
 164 #h #n #G #K #V #X2 #H
 165 elim (cpts_inv_lref_sn_drops … H) -H *
 166 [ /3 width=1 by or_introl, conj/
 167 | #Y #X #V2 #H #HV2 #HVT2
 168   lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H [ // ] #H destruct
 169 | #m #Y #X #V2 #H #HV2 #HVT2 #H0 destruct
 170   lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H [ // ] #H destruct
 171   /3 width=5 by ex3_2_intro, or_intror/
 172 ]
 173 qed-.
 174
 175 lemma cpts_inv_lref_sn (h) (n) (I) (G) (K) (i):
 176       ∀X2. ❪G,K.ⓘ[I]❫ ⊢ #↑i ⬆*[h,n] X2 →
 177       ∨∨ ∧∧ X2 = #↑i & n = 0
 178        | ∃∃T2. ❪G,K❫ ⊢ #i ⬆*[h,n] T2 & ⇧*[1] T2 ≘ X2.
 179 #h #n #I #G #K #i #X2 #H
 180 elim (cpts_inv_lref_sn_drops … H) -H *
 181 [ /3 width=1 by or_introl, conj/
 182 | #L #V #V2 #H #HV2 #HVU2
 183   lapply (drops_inv_drop1 … H) -H #HLK
 184   elim (lifts_split_trans … HVU2 (𝐔❨↑i❩) (𝐔❨1❩)) -HVU2
 185   [| // ] #T2 #HVT2 #HTU2
 186   /4 width=6 by cpts_delta_drops, ex2_intro, or_intror/
 187 | #m #L #V #V2 #H #HV2 #HVU2 #H0 destruct
 188   lapply (drops_inv_drop1 … H) -H #HLK
 189   elim (lifts_split_trans … HVU2 (𝐔❨↑i❩) (𝐔❨1❩)) -HVU2
 190   [| // ] #T2 #HVT2 #HTU2
 191   /4 width=6 by cpts_ell_drops, ex2_intro, or_intror/
 192 ]
 193 qed-.
 194
 195 lemma cpts_inv_succ_sn (h) (n) (G) (L):
 196       ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬆*[h,↑n] T2 →
 197       ∃∃T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬆*[h,1] T & ❪G,L❫ ⊢ T ⬆*[h,n] T2.
 198 #h #n #G #L #T1 #T2
 199 @(insert_eq_0 … (↑n)) #m #H
 200 @(cpts_ind_sn … H) -T1 -m
 201 [ #H destruct
 202 | #x1 #n2 #T1 #T #HT1 #HT2 #IH #H
 203   elim (plus_inv_S3_sn x1 n2) [1,2: * |*: // ] -H
 204   [ #H1 #H2 destruct -HT2
 205     elim IH -IH // #T0 #HT0 #HT02
 206     /3 width=3 by cpts_step_sn, ex2_intro/
 207   | #n1 #H1 #H2 destruct -IH
 208     elim (cpt_fwd_plus … 1 n1 … T1 T) [|*: // ] -HT1 #T0 #HT10 #HT0
 209     /3 width=5 by cpts_step_sn, cpt_cpts, ex2_intro/
 210   ]
 211 ]
 212 qed-.