matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_conversion/cpce_drops.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/xoa/ex_7_8.ma".
  16 include "basic_2/rt_computation/cpms_drops.ma".
  17 include "basic_2/rt_conversion/cpce.ma".
  18
  19 (* CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL ETA-CONVERSION FOR TERMS **********************)
  20
  21 (* Advanced properties ******************************************************)
  22
  23 lemma cpce_ldef_drops (h) (G) (K) (V):
  24       ∀i,L. ⇩*[i] L ≘ K.ⓓV → ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] #i.
  25 #h #G #K #V #i elim i -i
  26 [ #L #HLK
  27   lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) -HLK [ // ] #H destruct
  28   /2 width=1 by cpce_ldef/
  29 | #i #IH #L #HLK
  30   elim (drops_inv_succ … HLK) -HLK #Z #Y #HYK #H destruct
  31   /3 width=3 by cpce_lref/
  32 ]
  33 qed.
  34
  35 lemma cpce_ldec_drops (h) (G) (K) (W):
  36       (∀n,p,V,U. ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U → ⊥) →
  37       ∀i,L. ⇩*[i] L ≘ K.ⓛW → ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] #i.
  38 #h #G #K #W #HW #i elim i -i
  39 [ #L #HLK
  40   lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) -HLK [ // ] #H destruct
  41   /3 width=5 by cpce_ldec/
  42 | #i #IH #L #HLK
  43   elim (drops_inv_succ … HLK) -HLK #Z #Y #HYK #H destruct
  44   /3 width=3 by cpce_lref/
  45 ]
  46 qed.
  47
  48 lemma cpce_eta_drops (h) (G) (K) (W):
  49       ∀n,p,V,U. ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U →
  50       ∀W1. ⦃G,K⦄ ⊢ W ⬌η[h] W1 → ∀V1. ⦃G,K⦄ ⊢ V ⬌η[h] V1 →
  51       ∀i,L. ⇩*[i] L ≘ K.ⓛW → ∀W2. ⇧*[↑i] W1 ≘ W2 →
  52       ∀V2. ⇧*[↑i] V1 ≘ V2 → ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] ⓝW2.+ⓛV2.ⓐ#0.#↑i.
  53 #h #G #K #W #n #p #V #U #HWU #W1 #HW1 #V1 #HV1 #i elim i -i
  54 [ #L #HLK #W2 #HW12 #V2 #HV12
  55   lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) -HLK [ // ] #H destruct
  56   /2 width=8 by cpce_eta/
  57 | #i #IH #L #HLK #W2 #HW12 #V2 #HV12
  58   elim (drops_inv_succ … HLK) -HLK #I #Y #HYK #H destruct
  59   elim (lifts_split_trans … HW12 (𝐔❴↑i❵) (𝐔❴1❵)) [| // ] #XW #HXW1 #HXW2
  60   elim (lifts_split_trans … HV12 (𝐔❴↑i❵) (𝐔❴1❵)) [| // ] #XV #HXV1 #HXV2
  61   /6 width=9 by cpce_lref, lifts_push_lref, lifts_bind, lifts_flat/
  62 ]
  63 qed.
  64
  65 lemma cpce_lref_drops (h) (G) (K) (i):
  66       ∀T. ⦃G,K⦄ ⊢ #i ⬌η[h] T → ∀j,L. ⇩*[j] L ≘ K →
  67       ∀U. ⇧*[j] T ≘ U → ⦃G,L⦄ ⊢ #(j+i) ⬌η[h] U.
  68 #h #G #K #i #T #Hi #j elim j -j
  69 [ #L #HLK #U #HTU
  70   lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) -HLK [ // ] #H destruct
  71   lapply (lifts_fwd_isid … HTU ?) -HTU [ // ] #H destruct //
  72 | #j #IH #Y #HYK #X #HTX -Hi
  73   elim (drops_inv_succ … HYK) -HYK #I #L #HLK #H destruct
  74   elim (lifts_split_trans … HTX (𝐔❴j❵) (𝐔❴1❵)) [| // ] #U #HTU #HUX
  75   /3 width=3 by cpce_lref/
  76 ]
  77 qed-.
  78
  79 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  80
  81 axiom cpce_inv_lref_sn_drops_pair (h) (G) (i) (L):
  82       ∀X2. ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] X2 →
  83       ∀I,K,W. ⇩*[i] L ≘ K.ⓑ{I}W →
  84       ∨∨ ∧∧ Abbr = I & #i = X2
  85        | ∧∧ Abst = I & ∀n,p,V,U. ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U → ⊥ & #i = X2
  86        | ∃∃n,p,W1,W2,V,V1,V2,U. Abst = I & ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U
  87                               & ⦃G,K⦄ ⊢ W ⬌η[h] W1 & ⇧*[↑i] W1 ≘ W2
  88                               & ⦃G,K⦄ ⊢ V ⬌η[h] V1 & ⇧*[↑i] V1 ≘ V2
  89                               & ⓝW2.+ⓛV2.ⓐ#0.#(↑i) = X2.
  90
  91 axiom cpce_inv_lref_sn_drops_ldef (h) (G) (i) (L):
  92       ∀X2. ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] X2 →
  93       ∀K,V. ⇩*[i] L ≘ K.ⓓV → #i = X2.
  94
  95 axiom cpce_inv_lref_sn_drops_ldec (h) (G) (i) (L):
  96       ∀X2. ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] X2 →
  97       ∀K,W. ⇩*[i] L ≘ K.ⓛW →
  98       ∨∨ ∧∧ ∀n,p,V,U. ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U → ⊥ & #i = X2
  99        | ∃∃n,p,W1,W2,V,V1,V2,U. ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U
 100                               & ⦃G,K⦄ ⊢ W ⬌η[h] W1 & ⇧*[↑i] W1 ≘ W2
 101                               & ⦃G,K⦄ ⊢ V ⬌η[h] V1 & ⇧*[↑i] V1 ≘ V2
 102                               & ⓝW2.+ⓛV2.ⓐ#0.#(↑i) = X2.
 103 (*
 104 #h #G #i elim i -i
 105 [ #L #X2 #HX2 #I #K #HLK
 106   lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) -HLK [ // ] #H destruct
 107   /2 width=1 by cpce_inv_zero_sn/
 108 | #i #IH #L0 #X0 #HX0 #J #K #H0
 109   elim (drops_inv_succ … H0) -H0 #I #L #HLK #H destruct
 110   elim (cpce_inv_lref_sn … HX0) -HX0 #X2 #HX2 #HX20
 111   elim (IH … HX2 … HLK) -IH -I -L *
 112   [ #HJ #H destruct
 113     lapply (lifts_inv_lref1_uni … HX20) -HX20 #H destruct
 114     /4 width=7 by or_introl, conj/
 115   | #n #p #W #V1 #V2 #W2 #U #HWU #HV12 #HVW2 #H1 #H2 destruct
 116     elim (lifts_inv_bind1 … HX20) -HX20 #X2 #X #HWX2 #HX #H destruct
 117     elim (lifts_inv_flat1 … HX) -HX #X0 #X1 #H0 #H1 #H destruct
 118     lapply (lifts_inv_push_zero_sn … H0) -H0 #H destruct
 119     elim (lifts_inv_push_succ_sn … H1) -H1 #j #Hj #H destruct
 120     lapply (lifts_inv_lref1_uni … Hj) -Hj #H destruct
 121     /4 width=12 by lifts_trans_uni, ex5_7_intro, or_intror/
 122   ]
 123 ]
 124 qed-.
 125
 126 lemma cpce_inv_zero_sn_drops (h) (G) (i) (L):
 127       ∀X2. ⦃G,L⦄ ⊢ #i ⬌η[h] X2 →
 128       ∀I,K. ⇩*[i] L ≘ K.ⓘ{I} →
 129       (∀n,p,W,V,U. I = BPair Abst W → ⦃G,K⦄ ⊢ W ➡*[n,h] ⓛ{p}V.U → ⊥) →
 130       #i = X2.
 131 #h #G #i #L #X2 #HX2 #I #K #HLK #HI
 132 elim (cpce_inv_lref_sn_drops_bind … HX2 … HLK) -L *
 133 [ #_ #H //
 134 | #n #p #W #V1 #V2 #W2 #U #HWU #_ #_ #H destruct
 135   elim (HI … HWU) -n -p -K -X2 -V1 -V2 -W2 -U -i //
 136 ]
 137 qed-.
 138 *)
 139 (* Properties with uniform slicing for local environments *******************)
 140
 141 axiom cpce_lifts_sn (h) (G):
 142       d_liftable2_sn … lifts (cpce h G).
 143 (*
 144 #h #G #K #T1 #T2 #H elim H -G -K -T1 -T2
 145 [ #G #K #s #b #f #L #HLK #X #HX
 146   lapply (lifts_inv_sort1 … HX) -HX #H destruct
 147   /2 width=3 by cpce_sort, lifts_sort, ex2_intro/
 148 | #G #i #b #f #L #HLK #X #HX
 149   elim (lifts_inv_lref1 … HX) -HX #j #Hf #H destruct
 150   @(ex2_intro … (#j))
 151   [ /2 width=1 by lifts_lref/
 152   | @cpce_zero_drops #n #p #Y #W #V #U #HY #_
 153     elim (drops_inv_atom2 … HLK) -HLK #j1 #g #HLK #Hg
 154     elim (after_at_fwd … Hf … Hg) -f #j2 #_ #Hj -g -i
 155     lapply (at_inv_uni … Hj) -Hj #H destruct
 156     lapply (drops_conf … HLK … HY ??) -L [3:|*: // ] #H
 157     elim (drops_inv_atom1 … H) -H #H #_ destruct
 158   ]
 159 | #G #K #I #HI #b #f #L #HLK #X #HX
 160   elim (lifts_inv_lref1 … HX) -HX #j #Hf #H destruct
 161   @(ex2_intro … (#j))
 162   [ /2 width=1 by lifts_lref/
 163   | elim (drops_split_trans_bind2 … HLK … Hf) -HLK -Hf #J #Y1 #HY1 #HK #HIJ
 164     @cpce_zero_drops #n #p #Y2 #W #V #U #HY2 #HWU
 165     lapply (drops_mono … HY2 … HY1) -L #H destruct
 166     elim (liftsb_inv_pair_dx … HIJ) -HIJ #X #HXW #H destruct
 167     elim (cpms_inv_lifts_sn … HWU … HK … HXW) -b -Y1 -W #X0 #H #HXU
 168     elim (lifts_inv_bind2 … H) -H #V0 #U0 #_ #_ #H destruct -f -j -V -U
 169     /2 width=7 by/
 170   ]
 171 | #n #p #G #K #W #V1 #V2 #W2 #U #HWU #_ #HVW2 #IH #b #f #L #HLK #X #HX
 172   elim (lifts_inv_lref1 … HX) -HX #j #Hf #H destruct
 173   elim (drops_split_trans_bind2 … HLK … Hf) -HLK #J #Y #HY #HK #HIJ
 174   elim (liftsb_inv_pair_sn … HIJ) -HIJ #W0 #HW0 #H destruct
 175   elim (cpms_lifts_sn … HWU … HK … HW0) -HWU -HW0 #X #H #HWU0
 176   elim (lifts_inv_bind1 … H) -H #V0 #U0 #HV10 #HU0 #H destruct
 177   elim (IH … HK … HV10) -IH -HK -HV10 #VX #HV2X #HV0X
 178   elim (lifts_total W2 f) #WX2 #HWX2
 179   lapply (lifts_trans … HVW2 … HWX2 ??) [3:|*: // ] -HVW2 #HVX2
 180   @(ex2_intro … (+ⓛWX2.ⓐ#O.#(↑j)))
 181   [ /5 width=1 by lifts_lref, lifts_bind, lifts_flat, at_S1/
 182   | /4 width=18 by cpce_eta_drops, lifts_conf, after_uni_succ_dx/
 183   ]
 184 | #I #G #K #T #U #i #_ #HTU #IH #b #f #L #HLK #X #HX
 185   elim (lifts_inv_lref1 … HX) -HX #x #Hf #H destruct
 186   elim (at_inv_nxx … Hf) -Hf [|*: // ] #j #Hf #H destruct
 187   elim (drops_split_trans_bind2 … HLK) -HLK [|*: // ] #Z #Y #HLY #HYK #_ -I
 188   lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLY) -HLY [ // ] #HLY
 189   elim (IH … HYK) -IH -HYK [|*: /2 width=2 by lifts_lref/ ] -i #T0 #HT0 #Hj
 190   elim (lifts_total U f) #U0 #HU0
 191   lapply (lifts_trans … HTU … HU0 ??) [3:|*: // ] -HTU #HTU0
 192   lapply (lifts_conf … HT0 … HTU0 ??) -T
 193   [3:|*: /2 width=3 by after_uni_succ_dx/ ] #HTU0 >plus_S1
 194   /3 width=7 by cpce_lref_drops, ex2_intro/
 195 | #G #K #l #b #f #L #HLK #X #HX
 196   lapply (lifts_inv_gref1 … HX) -HX #H destruct
 197   /2 width=3 by cpce_gref, lifts_gref, ex2_intro/
 198 | #p #I #G #K #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #IHV #IHT #b #f #L #HLK #X #HX
 199   elim (lifts_inv_bind1 … HX) -HX #W1 #U1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 200   elim (IHV … HLK … HVW1) -IHV #W2 #HVW2 #HW12
 201   elim (IHT … HTU1) -IHT -HTU1 [|*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ] -HVW1 #U2 #HTU2 #HU12
 202   /3 width=5 by cpce_bind, lifts_bind, ex2_intro/
 203 | #I #G #K #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #IHV #IHT #b #f #L #HLK #X #HX
 204   elim (lifts_inv_flat1 … HX) -HX #W1 #U1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 205   elim (IHV … HLK … HVW1) -IHV -HVW1 #W2 #HVW2 #HW12
 206   elim (IHT … HLK … HTU1) -IHT -HTU1 -HLK #U2 #HTU2 #HU12
 207   /3 width=5 by cpce_flat, lifts_flat, ex2_intro/
 208 ]
 209 qed-.
 210 *)
 211 lemma cpce_lifts_bi (h) (G):
 212       d_liftable2_bi … lifts (cpce h G).
 213 /3 width=12 by cpce_lifts_sn, d_liftable2_sn_bi, lifts_mono/ qed-.
 214
 215 (* Inversion lemmas with uniform slicing for local environments *************)
 216
 217 axiom cpce_inv_lifts_sn (h) (G):
 218       d_deliftable2_sn … lifts (cpce h G).
 219 (*
 220 #h #G #K #T1 #T2 #H elim H -G -K -T1 -T2
 221 [ #G #K #s #b #f #L #HLK #X #HX
 222   lapply (lifts_inv_sort2 … HX) -HX #H destruct
 223   /2 width=3 by cpce_sort, lifts_sort, ex2_intro/
 224 | #G #i #b #f #L #HLK #X #HX
 225   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #j #Hf #H destruct
 226   @(ex2_intro … (#j))
 227   [ /2 width=1 by lifts_lref/
 228   | @cpce_zero_drops #n #p #Y #W #V #U #HY #_ -n -p -G -V -U -i
 229     elim (drops_inv_atom1 … HLK) -HLK #H #_ destruct -b -f
 230     elim (drops_inv_atom1 … HY) -HY #H #_ destruct
 231   ]
 232 | #G #K #I #HI #b #f #L #HLK #X #HX
 233   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #j #Hf #H destruct
 234   @(ex2_intro … (#j))
 235   [ /2 width=1 by lifts_lref/
 236   | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf [| // ] #g #H1 #H2 destruct
 237     elim (drops_inv_skip1 … HLK) -HLK #J #Y #HKY #HIJ #H destruct
 238     @cpce_zero #n #p #W #V #U #H #HWU destruct
 239     elim (liftsb_inv_pair_sn … HIJ) -HIJ #X #HXW #H destruct
 240     elim (cpms_lifts_sn … HWU … HKY … HXW) -b -Y -W #X0 #H #HXU
 241     elim (lifts_inv_bind1 … H) -H #V0 #U0 #_ #_ #H destruct -V -U
 242     /2 width=7 by/
 243   ]
 244 | #n #p #G #K #W #V1 #V2 #W2 #U #HWU #_ #HVW2 #IH #b #f #L #HLK #X #HX
 245   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #j #Hf #H destruct
 246   elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf [| // ] #g #H1 #H2 destruct
 247   elim (drops_inv_skip1 … HLK) -HLK #J #Y #HKY #HIJ #H destruct
 248   elim (liftsb_inv_pair_dx … HIJ) -HIJ #W0 #HW0 #H destruct
 249   elim (cpms_inv_lifts_sn … HWU … HKY … HW0) -HWU -HW0 #X #H #HWU0
 250   elim (lifts_inv_bind2 … H) -H #V0 #U0 #HV10 #HU0 #H destruct
 251   elim (IH … HKY … HV10) -IH -HKY -HV10 #VX #HV2X #HV0X
 252   lapply (lifts_trans … HV2X … HVW2 (↑g) ?)
 253   [ /3 width=5 by after_isid_sn, after_next/ ] -V2 #H
 254   elim (lifts_split_trans … H 𝐔❴1❵ (⫯g) ?)
 255   [| /3 width=7 by after_isid_dx, after_push/ ] #VX2 #HVX2 #HVW2
 256   /5 width=10 by cpce_eta, lifts_flat, lifts_bind, lifts_lref, ex2_intro/
 257 | #I #G #K #T #U #i #_ #HTU #IH #b #f #L #HLK #X #HX
 258   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #x #Hf #H destruct
 259 (**) (* this part should be a lemma *)
 260   elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [2,4: // ] *
 261   [ #g #j #Hij #H1 #H2 destruct
 262     elim (drops_inv_skip1 … HLK) -HLK #J #Y #HLK #_ #H destruct -I
 263   | #g #Hij #H destruct
 264     lapply (drops_inv_drop1 … HLK) -HLK #HLK
 265   ]
 266 (**)
 267   elim (IH … HLK) -IH -HLK [1,4:|*: /2 width=2 by lifts_lref/ ] -i #T0 #HT0 #Hj
 268   lapply (lifts_trans … HT0 … HTU (↑g) ?)
 269   [1,3: /3 width=5 by after_isid_sn, after_next/ ] -T #H
 270   elim (lifts_split_trans … H 𝐔❴1❵ (⫯g) ?)
 271   [2,4: /3 width=7 by after_isid_dx, after_push/ ] #U0 #HTU0 #HU0
 272   /3 width=5 by cpce_lref, ex2_intro/
 273 | #G #K #l #b #f #L #HLK #X #HX
 274   lapply (lifts_inv_gref2 … HX) -HX #H destruct
 275   /2 width=3 by cpce_gref, lifts_gref, ex2_intro/
 276 | #p #I #G #K #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #IHV #IHT #b #f #L #HLK #X #HX
 277   elim (lifts_inv_bind2 … HX) -HX #W1 #U1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 278   elim (IHV … HLK … HVW1) -IHV #W2 #HVW2 #HW12
 279   elim (IHT … HTU1) -IHT -HTU1 [|*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ] -HVW1 #U2 #HTU2 #HU12
 280   /3 width=5 by cpce_bind, lifts_bind, ex2_intro/
 281 | #I #G #K #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #IHV #IHT #b #f #L #HLK #X #HX
 282   elim (lifts_inv_flat2 … HX) -HX #W1 #U1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 283   elim (IHV … HLK … HVW1) -IHV -HVW1 #W2 #HVW2 #HW12
 284   elim (IHT … HLK … HTU1) -IHT -HTU1 -HLK #U2 #HTU2 #HU12
 285   /3 width=5 by cpce_flat, lifts_flat, ex2_intro/
 286 ]
 287 qed-.
 288 *)
 289 lemma cpce_inv_lifts_bi (h) (G):
 290       d_deliftable2_bi … lifts (cpce h G).
 291 /3 width=12 by cpce_inv_lifts_sn, d_deliftable2_sn_bi, lifts_inj/ qed-.