matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_equivalence/cpcs_cprs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/rt_computation/cprs_cprs.ma".
  16 include "basic_2/rt_computation/lprs_cpms.ma".
  17 include "basic_2/rt_equivalence/cpcs.ma".
  18
  19 (* CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL R-EQUIVALENCE FOR TERMS ***********************)
  20
  21 (* Inversion lemmas with context sensitive r-computation on terms ***********)
  22
  23 lemma cpcs_inv_cprs (h) (G) (L): ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2 →
  24                                  ∃∃T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡*[h] T & ❪G,L❫ ⊢ T2 ➡*[h] T.
  25 #h #G #L #T1 #T2 #H @(cpcs_ind_dx … H) -T2
  26 [ /3 width=3 by ex2_intro/
  27 | #T #T2 #_ #HT2 * #T0 #HT10 elim HT2 -HT2 #HT2 #HT0
  28   [ elim (cprs_strip … HT0 … HT2) -T /3 width=3 by cprs_step_dx, ex2_intro/
  29   | /3 width=5 by cprs_step_sn, ex2_intro/
  30   ]
  31 ]
  32 qed-.
  33
  34 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  35
  36 (* Basic_1: was: pc3_gen_sort *)
  37 (* Basic_2A1: was: cpcs_inv_sort *)
  38 lemma cpcs_inv_sort_bi (h) (G) (L): ∀s1,s2. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s1 ⬌*[h] ⋆s2 → s1 = s2.
  39 #h #G #L #s1 #s2 #H elim (cpcs_inv_cprs … H) -H
  40 #T #H1 >(cprs_inv_sort1 … H1) -T #H2
  41 lapply (cprs_inv_sort1 … H2) -L #H destruct //
  42 qed-.
  43
  44 (* Basic_2A1: was: cpcs_inv_abst1 *)
  45 lemma cpcs_inv_abst_sn (h) (G) (L):
  46                        ∀p,W1,T1,X. ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p]W1.T1 ⬌*[h] X →
  47                        ∃∃W2,T2. ❪G,L❫ ⊢ X ➡*[h] ⓛ[p]W2.T2 & ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p]W1.T1 ➡*[h] ⓛ[p]W2.T2.
  48 #h #G #L #p #W1 #T1 #T #H
  49 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #X #H1 #H2
  50 elim (cpms_inv_abst_sn … H1) -H1 #W2 #T2 #HW12 #HT12 #H destruct
  51 /3 width=6 by cpms_bind, ex2_2_intro/
  52 qed-.
  53
  54 (* Basic_2A1: was: cpcs_inv_abst2 *)
  55 lemma cpcs_inv_abst_dx (h) (G) (L):
  56                        ∀p,W1,T1,X. ❪G,L❫ ⊢ X ⬌*[h] ⓛ[p]W1.T1 →
  57                        ∃∃W2,T2. ❪G,L❫ ⊢ X ➡*[h] ⓛ[p]W2.T2 & ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p]W1.T1 ➡*[h] ⓛ[p]W2.T2.
  58 /3 width=1 by cpcs_inv_abst_sn, cpcs_sym/ qed-.
  59
  60 (* Basic_1: was: pc3_gen_sort_abst *)
  61 lemma cpcs_inv_sort_abst (h) (G) (L):
  62                          ∀p,W,T,s. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s ⬌*[h] ⓛ[p]W.T → ⊥.
  63 #h #G #L #p #W #T #s #H
  64 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #X #H1
  65 >(cprs_inv_sort1 … H1) -X #H2
  66 elim (cpms_inv_abst_sn … H2) -H2 #W0 #T0 #_ #_ #H destruct
  67 qed-.
  68
  69 (* Properties with context sensitive r-computation on terms *****************)
  70
  71 (* Basic_1: was: pc3_pr3_r *)
  72 lemma cpcs_cprs_dx (h) (G) (L): ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡*[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
  73 #h #G #L #T1 #T2 #H @(cprs_ind_dx … H) -T2
  74 /3 width=3 by cpcs_cpr_step_dx, cpcs_step_dx, cpc_cpcs/
  75 qed.
  76
  77 (* Basic_1: was: pc3_pr3_x *)
  78 lemma cpcs_cprs_sn (h) (G) (L): ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T2 ➡*[h] T1 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
  79 #h #G #L #T1 #T2 #H @(cprs_ind_sn … H) -T2
  80 /3 width=3 by cpcs_cpr_div, cpcs_step_sn, cpcs_cprs_dx/
  81 qed.
  82
  83 (* Basic_2A1: was: cpcs_cprs_strap1 *)
  84 lemma cpcs_cprs_step_dx (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T →
  85                                      ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ➡*[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
  86 #h #G #L #T1 #T #HT1 #T2 #H @(cprs_ind_dx … H) -T2 /2 width=3 by cpcs_cpr_step_dx/
  87 qed-.
  88
  89 (* Basic_2A1: was: cpcs_cprs_strap2 *)
  90 lemma cpcs_cprs_step_sn (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡*[h] T →
  91                                      ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ⬌*[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
  92 #h #G #L #T1 #T #H #T2 #HT2 @(cprs_ind_sn … H) -T1 /2 width=3 by cpcs_cpr_step_sn/
  93 qed-.
  94
  95 lemma cpcs_cprs_div (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T →
  96                                  ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T2 ➡*[h] T → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
  97 #h #G #L #T1 #T #HT1 #T2 #H @(cprs_ind_sn … H) -T2 /2 width=3 by cpcs_cpr_div/
  98 qed-.
  99
 100 (* Basic_1: was: pc3_pr3_conf *)
 101 lemma cpcs_cprs_conf (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T ➡*[h] T1 →
 102                                   ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ⬌*[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
 103 #h #G #L #T1 #T #H #T2 #HT2 @(cprs_ind_dx … H) -T1 /2 width=3 by cpcs_cpr_conf/
 104 qed-.
 105
 106 (* Basic_1: was: pc3_pr3_t *)
 107 (* Basic_1: note: pc3_pr3_t should be renamed *)
 108 lemma cprs_div (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡*[h] T →
 109                             ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T2 ➡*[h] T → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
 110 #h #G #L #T1 #T #HT1 #T2 #H @(cprs_ind_sn … H) -T2
 111 /2 width=3 by cpcs_cpr_div, cpcs_cprs_dx/
 112 qed.
 113
 114 lemma cprs_cpr_div (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡*[h] T →
 115                                 ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T2 ➡[h] T → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
 116 /3 width=5 by cpm_cpms, cprs_div/ qed-.
 117
 118 lemma cpr_cprs_div (h) (G) (L): ∀T1,T. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h] T →
 119                                 ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T2 ➡*[h] T → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
 120 /3 width=3 by cpm_cpms, cprs_div/ qed-.
 121
 122 lemma cpr_cprs_conf_cpcs (h) (G) (L): ∀T,T1. ❪G,L❫ ⊢ T ➡*[h] T1 →
 123                                       ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
 124 #h #G #L #T #T1 #HT1 #T2 #HT2 elim (cprs_strip … HT1 … HT2) -HT1 -HT2
 125 /2 width=3 by cpr_cprs_div/
 126 qed-.
 127
 128 lemma cprs_cpr_conf_cpcs (h) (G) (L): ∀T,T1. ❪G,L❫ ⊢ T ➡*[h] T1 →
 129                                       ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T2 ⬌*[h] T1.
 130 #h #G #L #T #T1 #HT1 #T2 #HT2 elim (cprs_strip … HT1 … HT2) -HT1 -HT2
 131 /2 width=3 by cprs_cpr_div/
 132 qed-.
 133
 134 lemma cprs_conf_cpcs (h) (G) (L): ∀T,T1. ❪G,L❫ ⊢ T ➡*[h] T1 →
 135                                   ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ➡*[h] T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2.
 136 #h #G #L #T #T1 #HT1 #T2 #HT2 elim (cprs_conf … HT1 … HT2) -HT1 -HT2
 137 /2 width=3 by cprs_div/
 138 qed-.
 139
 140 (* Basic_1: was only: pc3_thin_dx *)
 141 lemma cpcs_flat (h) (G) (L): ∀V1,V2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ⬌*[h] V2 →
 142                              ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2 →
 143                              ∀I. ❪G,L❫ ⊢ ⓕ[I]V1.T1 ⬌*[h] ⓕ[I]V2.T2.
 144 #h #G #L #V1 #V2 #HV12 #T1 #T2 #HT12
 145 elim (cpcs_inv_cprs … HV12) -HV12
 146 elim (cpcs_inv_cprs … HT12) -HT12
 147 /3 width=5 by cprs_flat, cprs_div/
 148 qed.
 149
 150 lemma cpcs_flat_dx_cpr_rev (h) (G) (L): ∀V1,V2. ❪G,L❫ ⊢ V2 ➡[h] V1 →
 151                                         ∀T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2 →
 152                                         ∀I. ❪G,L❫ ⊢ ⓕ[I]V1.T1 ⬌*[h] ⓕ[I]V2.T2.
 153 /3 width=1 by cpr_cpcs_sn, cpcs_flat/ qed.
 154
 155 lemma cpcs_bind_dx (h) (G) (L): ∀I,V,T1,T2. ❪G,L.ⓑ[I]V❫ ⊢ T1 ⬌*[h] T2 →
 156                                 ∀p. ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V.T1 ⬌*[h] ⓑ[p,I]V.T2.
 157 #h #G #L #I #V #T1 #T2 #HT12 elim (cpcs_inv_cprs … HT12) -HT12
 158 /3 width=5 by cprs_div, cpms_bind/
 159 qed.
 160
 161 lemma cpcs_bind_sn (h) (G) (L): ∀I,V1,V2,T. ❪G,L❫ ⊢ V1 ⬌*[h] V2 →
 162                                 ∀p. ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T ⬌*[h] ⓑ[p,I]V2.T.
 163 #h #G #L #I #V1 #V2 #T #HV12 elim (cpcs_inv_cprs … HV12) -HV12
 164 /3 width=5 by cprs_div, cpms_bind/
 165 qed.