matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_transition/cpg_drops.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/xoa/ex_5_5.ma".
  16 include "static_2/relocation/drops_drops.ma".
  17 include "static_2/s_computation/fqup_weight.ma".
  18 include "static_2/s_computation/fqup_drops.ma".
  19 include "basic_2/rt_transition/cpg.ma".
  20
  21 (* BOUND CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL RT-TRANSITION FOR TERMS *****************)
  22
  23 (* Advanced properties ******************************************************)
  24
  25 lemma cpg_delta_drops: ∀Rt,c,h,G,K,V,V2,i,L,T2. ⇩[i] L ≘ K.ⓓV → ❪G,K❫ ⊢ V ⬈[Rt,c,h] V2 →
  26                        ⇧[↑i] V2 ≘ T2 →  ❪G,L❫ ⊢ #i ⬈[Rt,c,h] T2.
  27 #Rt #c #h #G #K #V #V2 #i elim i -i
  28 [ #L #T2 #HLK lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) // #H destruct /3 width=3 by cpg_delta/
  29 | #i #IH #L0 #T0 #H0 #HV2 #HVT2
  30   elim (drops_inv_succ … H0) -H0 #I #L #HLK #H destruct
  31   elim (lifts_split_trans … HVT2 (𝐔❨↑i❩) (𝐔❨1❩) ?) -HVT2 /3 width=3 by cpg_lref/
  32 ]
  33 qed.
  34
  35 lemma cpg_ell_drops: ∀Rt,c,h,G,K,V,V2,i,L,T2. ⇩[i] L ≘ K.ⓛV → ❪G,K❫ ⊢ V ⬈[Rt,c,h] V2 →
  36                      ⇧[↑i] V2 ≘ T2 →  ❪G,L❫ ⊢ #i ⬈[Rt,c+𝟘𝟙,h] T2.
  37 #Rt #c #h #G #K #V #V2 #i elim i -i
  38 [ #L #T2 #HLK lapply (drops_fwd_isid … HLK ?) // #H destruct /3 width=3 by cpg_ell/
  39 | #i #IH #L0 #T0 #H0 #HV2 #HVT2
  40   elim (drops_inv_succ … H0) -H0 #I #L #HLK #H destruct
  41   elim (lifts_split_trans … HVT2 (𝐔❨↑i❩) (𝐔❨1❩) ?) -HVT2 /3 width=3 by cpg_lref/
  42 ]
  43 qed.
  44
  45 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  46
  47 lemma cpg_inv_lref1_drops: ∀Rt,c,h,G,i,L,T2. ❪G,L❫ ⊢ #i ⬈[Rt,c,h] T2 →
  48                            ∨∨ T2 = #i ∧ c = 𝟘𝟘
  49                             | ∃∃cV,K,V,V2. ⇩[i] L ≘ K.ⓓV & ❪G,K❫ ⊢ V ⬈[Rt,cV,h] V2 &
  50                                            ⇧[↑i] V2 ≘ T2 & c = cV
  51                             | ∃∃cV,K,V,V2. ⇩[i] L ≘ K.ⓛV & ❪G,K❫ ⊢ V ⬈[Rt,cV,h] V2 &
  52                                            ⇧[↑i] V2 ≘ T2 & c = cV + 𝟘𝟙.
  53 #Rt #c #h #G #i elim i -i
  54 [ #L #T2 #H elim (cpg_inv_zero1 … H) -H * /3 width=1 by or3_intro0, conj/
  55   /4 width=8 by drops_refl, ex4_4_intro, or3_intro2, or3_intro1/
  56 | #i #IH #L #T2 #H elim (cpg_inv_lref1 … H) -H * /3 width=1 by or3_intro0, conj/
  57   #I #K #V2 #H #HVT2 #H0 destruct elim (IH … H) -IH -H
  58   [ * #H1 #H2 destruct
  59     lapply (lifts_inv_lref1_uni … HVT2) -HVT2 #H destruct
  60     /3 width=1 by or3_intro0, conj/
  61   ] *
  62   #cV #L #W #W2 #HKL #HW2 #HWV2 #H destruct
  63   lapply (lifts_trans … HWV2 … HVT2 ??) -V2 [3,6: |*: // ] #H
  64   lapply (lifts_uni … H) -H #H
  65   /4 width=8 by drops_drop, ex4_4_intro, or3_intro2, or3_intro1/
  66 ]
  67 qed-.
  68
  69 lemma cpg_inv_atom1_drops: ∀Rt,c,h,I,G,L,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓪[I] ⬈[Rt,c,h] T2 →
  70                            ∨∨ T2 = ⓪[I] ∧ c = 𝟘𝟘
  71                             | ∃∃s. T2 = ⋆(⫯[h]s) & I = Sort s & c = 𝟘𝟙
  72                             | ∃∃cV,i,K,V,V2. ⇩[i] L ≘ K.ⓓV & ❪G,K❫ ⊢ V ⬈[Rt,cV,h] V2 &
  73                                              ⇧[↑i] V2 ≘ T2 & I = LRef i & c = cV
  74                             | ∃∃cV,i,K,V,V2. ⇩[i] L ≘ K.ⓛV & ❪G,K❫ ⊢ V ⬈[Rt,cV,h] V2 &
  75                                              ⇧[↑i] V2 ≘ T2 & I = LRef i & c = cV + 𝟘𝟙.
  76 #Rt #c #h * #n #G #L #T2 #H
  77 [ elim (cpg_inv_sort1 … H) -H *
  78   /3 width=3 by or4_intro0, or4_intro1, ex3_intro, conj/
  79 | elim (cpg_inv_lref1_drops … H) -H *
  80   /3 width=10 by or4_intro0, or4_intro2, or4_intro3, ex5_5_intro, conj/
  81 | elim (cpg_inv_gref1 … H) -H
  82   /3 width=1 by or4_intro0, conj/
  83 ]
  84 qed-.
  85
  86 (* Properties with generic slicing for local environments *******************)
  87
  88 (* Note: it should use drops_split_trans_pair2 *)
  89 lemma cpg_lifts_sn: ∀Rt. reflexive … Rt →
  90                     ∀c,h,G. d_liftable2_sn … lifts (cpg Rt h c G).
  91 #Rt #HRt #c #h #G #K #T generalize in match c; -c
  92 @(fqup_wf_ind_eq (Ⓣ) … G K T) -G -K -T #G0 #K0 #T0 #IH #G #K * *
  93 [ #s #HG #HK #HT #c #X2 #H2 #b #f #L #HLK #X1 #H1 destruct -IH
  94   lapply (lifts_inv_sort1 … H1) -H1 #H destruct
  95   elim (cpg_inv_sort1 … H2) -H2 * #H1 #H2 destruct
  96   /2 width=3 by cpg_atom, cpg_ess, lifts_sort, ex2_intro/
  97 | #i1 #HG #HK #HT #c #T2 #H2 #b #f #L #HLK #X1 #H1 destruct
  98   elim (cpg_inv_lref1_drops … H2) -H2 *
  99   [ #H1 #H2 destruct /3 width=3 by cpg_refl, ex2_intro/ ]
 100   #cV #K0 #V #V2 #HK0 #HV2 #HVT2 #H destruct
 101   elim (lifts_inv_lref1 … H1) -H1 #i2 #Hf #H destruct
 102   lapply (drops_trans … HLK … HK0 ??) -HLK [3,6: |*: // ] #H
 103   elim (drops_split_trans … H) -H [1,6: |*: /2 width=6 by after_uni_dx/ ] #Y #HL0 #HY
 104   lapply (drops_tls_at … Hf … HY) -HY #HY
 105   elim (drops_inv_skip2 … HY) -HY #Z #L0 #HLK0 #HZ #H destruct
 106   elim (liftsb_inv_pair_sn … HZ) -HZ #W #HVW #H destruct
 107   elim (IH … HV2 … HLK0 … HVW) -IH /2 width=2 by fqup_lref/ -K -K0 -V #W2 #HVW2 #HW2
 108   elim (lifts_total W2 (𝐔❨↑i2❩)) #U2 #HWU2
 109   lapply (lifts_trans … HVW2 … HWU2 ??) -HVW2 [3,6: |*: // ] #HVU2
 110   lapply (lifts_conf … HVT2 … HVU2 f ?) -V2 [1,3: /2 width=3 by after_uni_succ_sn/ ]
 111   /4 width=8 by cpg_ell_drops, cpg_delta_drops, drops_inv_gen, ex2_intro/
 112 | #l #HG #HK #HT #c #X2 #H2 #b #f #L #HLK #X1 #H1 destruct -IH
 113   lapply (lifts_inv_gref1 … H1) -H1 #H destruct
 114   elim (cpg_inv_gref1 … H2) -H2 #H1 #H2 destruct
 115   /2 width=3 by cpg_atom, lifts_gref, ex2_intro/
 116 | #p #I #V1 #T1 #HG #HK #HT #c #X2 #H2 #b #f #L #HLK #X1 #H1 destruct
 117   elim (lifts_inv_bind1 … H1) -H1 #W1 #U1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 118   elim (cpg_inv_bind1 … H2) -H2 *
 119   [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H1 #H2 destruct
 120     elim (IH … HV12 … HLK … HVW1) -HV12 //
 121     elim (IH … HT12 … HTU1) -IH -HT12 -HTU1 [ |*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ]
 122     /3 width=5 by cpg_bind, lifts_bind, ex2_intro/
 123   | #cT #T2 #HT21 #HTX2 #H1 #H2 #H3 destruct
 124     elim (lifts_trans4_one … HT21 … HTU1) -HTU1 #U2 #HTU2 #HU21
 125     elim (IH … HTX2 … HLK … HTU2) [| /3 width=1 by fqup_zeta/ ] -K -V1 -T1 -T2
 126     /3 width=5 by cpg_zeta, ex2_intro/
 127   ]
 128 | * #V1 #T1 #HG #HK #HT #c #X2 #H2 #b #f #L #HLK #X1 #H1 destruct
 129   elim (lifts_inv_flat1 … H1) -H1 #W1 #U1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 130   [ elim (cpg_inv_appl1 … H2) -H2 *
 131     [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H1 #H2 destruct
 132       elim (IH … HV12 … HLK … HVW1) -HV12 -HVW1 //
 133       elim (IH … HT12 … HLK … HTU1) -IH -HT12 -HLK -HTU1 //
 134       /3 width=5 by cpg_appl, lifts_flat, ex2_intro/
 135     | #cV #cY #cT #a #V2 #Y1 #Y2 #T0 #T2 #HV12 #HY12 #HT12 #H1 #H2 #H3 destruct
 136       elim (lifts_inv_bind1 … HTU1) -HTU1 #Z1 #U0 #HYZ1 #HTU1 #H destruct
 137       elim (IH … HV12 … HLK … HVW1) -HV12 -HVW1 //
 138       elim (IH … HY12 … HLK … HYZ1) -HY12 //
 139       elim (IH … HT12 … HTU1) -IH -HT12 -HTU1 [ |*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ]
 140       /4 width=7 by cpg_beta, lifts_bind, lifts_flat, ex2_intro/
 141     | #cV #cY #cT #a #V2 #V20 #Y1 #Y2 #T0 #T2 #HV12 #HV20 #HY12 #HT12 #H1 #H2 #H3 destruct
 142       elim (lifts_inv_bind1 … HTU1) -HTU1 #Z1 #U0 #HYZ1 #HTU1 #H destruct
 143       elim (IH … HV12 … HLK … HVW1) -HV12 -HVW1 // #W2 #HVW2 #HW12
 144       elim (IH … HY12 … HLK … HYZ1) -HY12 //
 145       elim (IH … HT12 … HTU1) -IH -HT12 -HTU1 [ |*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ]
 146       elim (lifts_total W2 (𝐔❨1❩)) #W20 #HW20
 147       lapply (lifts_trans … HVW2 … HW20 ??) -HVW2 [3: |*: // ] #H
 148       lapply (lifts_conf … HV20 … H (⫯f) ?) -V2 /2 width=3 by after_uni_one_sn/
 149       /4 width=9 by cpg_theta, lifts_bind, lifts_flat, ex2_intro/
 150     ]
 151   | elim (cpg_inv_cast1 … H2) -H2 *
 152     [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #HcVT #H1 #H2 destruct
 153       elim (IH … HV12 … HLK … HVW1) -HV12 -HVW1 //
 154       elim (IH … HT12 … HLK … HTU1) -IH -HT12 -HLK -HTU1 //
 155       /3 width=5 by cpg_cast, lifts_flat, ex2_intro/
 156     | #cT #HT12 #H destruct
 157       elim (IH … HT12 … HLK … HTU1) -IH -HT12 -HLK -HTU1 //
 158       /3 width=3 by cpg_eps, ex2_intro/
 159     | #cV #HV12 #H destruct
 160       elim (IH … HV12 … HLK … HVW1) -IH -HV12 -HLK -HVW1 //
 161       /3 width=3 by cpg_ee, ex2_intro/
 162     ]
 163   ]
 164 ]
 165 qed-.
 166
 167 lemma cpg_lifts_bi: ∀Rt. reflexive … Rt →
 168                     ∀c,h,G. d_liftable2_bi … lifts (cpg Rt h c G).
 169 /3 width=12 by cpg_lifts_sn, d_liftable2_sn_bi, lifts_mono/ qed-.
 170
 171 (* Inversion lemmas with generic slicing for local environments *************)
 172
 173 lemma cpg_inv_lifts_sn: ∀Rt. reflexive … Rt →
 174                         ∀c,h,G. d_deliftable2_sn … lifts (cpg Rt h c G).
 175 #Rt #HRt #c #h #G #L #U generalize in match c; -c
 176 @(fqup_wf_ind_eq (Ⓣ) … G L U) -G -L -U #G0 #L0 #U0 #IH #G #L * *
 177 [ #s #HG #HL #HU #c #X2 #H2 #b #f #K #HLK #X1 #H1 destruct -IH
 178   lapply (lifts_inv_sort2 … H1) -H1 #H destruct
 179   elim (cpg_inv_sort1 … H2) -H2 * #H1 #H2 destruct
 180   /2 width=3 by cpg_atom, cpg_ess, lifts_sort, ex2_intro/
 181 | #i2 #HG #HL #HU #c #U2 #H2 #b #f #K #HLK #X1 #H1 destruct
 182   elim (cpg_inv_lref1_drops … H2) -H2 *
 183   [ #H1 #H2 destruct /3 width=3 by cpg_refl, ex2_intro/ ]
 184   #cW #L0 #W #W2 #HL0 #HW2 #HWU2 #H destruct
 185   elim (lifts_inv_lref2 … H1) -H1 #i1 #Hf #H destruct
 186   lapply (drops_split_div … HLK (𝐔❨i1❩) ???) -HLK [4,8: * |*: // ] #Y0 #HK0 #HLY0
 187   lapply (drops_conf … HL0 … HLY0 ??) -HLY0 [3,6: |*: /2 width=6 by after_uni_dx/ ] #HLY0
 188   lapply (drops_tls_at … Hf … HLY0) -HLY0 #HLY0
 189   elim (drops_inv_skip1 … HLY0) -HLY0 #Z #K0 #HLK0 #HZ #H destruct
 190   elim (liftsb_inv_pair_dx … HZ) -HZ #V #HVW #H destruct
 191   elim (IH … HW2 … HLK0 … HVW) -IH /2 width=2 by fqup_lref/ -L -L0 -W #V2 #HVW2 #HV2
 192   lapply (lifts_trans … HVW2 … HWU2 ??) -W2 [3,6: |*: // ] #HVU2
 193   elim (lifts_split_trans … HVU2 ? f) -HVU2 [1,4: |*: /2 width=4 by after_uni_succ_sn/ ]
 194   /4 width=8 by cpg_ell_drops, cpg_delta_drops, drops_inv_F, ex2_intro/
 195 | #l #HG #HL #HU #c #X2 #H2 #b #f #K #HLK #X1 #H1 destruct -IH
 196   lapply (lifts_inv_gref2 … H1) -H1 #H destruct
 197   elim (cpg_inv_gref1 … H2) -H2 #H1 #H2 destruct
 198   /2 width=3 by cpg_atom, lifts_gref, ex2_intro/
 199 | #p #I #W1 #U1 #HG #HL #HU #c #X2 #H2 #b #f #K #HLK #X1 #H1 destruct
 200   elim (lifts_inv_bind2 … H1) -H1 #V1 #T1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 201   elim (cpg_inv_bind1 … H2) -H2 *
 202   [ #cW #cU #W2 #U2 #HW12 #HU12 #H1 #H2 destruct
 203     elim (IH … HW12 … HLK … HVW1) -HW12 //
 204     elim (IH … HU12 … HTU1) -IH -HU12 -HTU1 [ |*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ]
 205     /3 width=5 by cpg_bind, lifts_bind, ex2_intro/
 206   | #cU #U2 #HU21 #HUX2 #H1 #H2 #H3 destruct
 207     elim (lifts_div4_one … HTU1 … HU21) -HTU1 #T2 #HT21 #HTU2
 208     elim (IH … HUX2 … HLK … HTU2) [| /3 width=1 by fqup_zeta/ ] -L -W1 -U1 -U2
 209     /3 width=5 by cpg_zeta, ex2_intro/
 210   ]
 211 | * #W1 #U1 #HG #HL #HU #c #X2 #H2 #b #f #K #HLK #X1 #H1 destruct
 212   elim (lifts_inv_flat2 … H1) -H1 #V1 #T1 #HVW1 #HTU1 #H destruct
 213   [ elim (cpg_inv_appl1 … H2) -H2 *
 214     [ #cW #cU #W2 #U2 #HW12 #HU12 #H1 #H2 destruct
 215       elim (IH … HW12 … HLK … HVW1) -HW12 -HVW1 //
 216       elim (IH … HU12 … HLK … HTU1) -IH -HU12 -HLK -HTU1 //
 217       /3 width=5 by cpg_appl, lifts_flat, ex2_intro/
 218     | #cW #cZ #cU #a #W2 #Z1 #Z2 #U0 #U2 #HW12 #HZ12 #HU12 #H1 #H2 #H3 destruct
 219       elim (lifts_inv_bind2 … HTU1) -HTU1 #Y1 #T0 #HYZ1 #HTU1 #H destruct
 220       elim (IH … HW12 … HLK … HVW1) -HW12 -HVW1 //
 221       elim (IH … HZ12 … HLK … HYZ1) -HZ12 //
 222       elim (IH … HU12 … HTU1) -IH -HU12 -HTU1 [ |*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ]
 223       /4 width=7 by cpg_beta, lifts_bind, lifts_flat, ex2_intro/
 224     | #cW #cZ #cU #a #W2 #W20 #Z1 #Z2 #U0 #U2 #HW12 #HW20 #HZ12 #HU12 #H1 #H2 #H3 destruct
 225       elim (lifts_inv_bind2 … HTU1) -HTU1 #Y1 #T0 #HYZ1 #HTU1 #H destruct
 226       elim (IH … HW12 … HLK … HVW1) -HW12 -HVW1 // #V2 #HVW2 #HV12
 227       elim (IH … HZ12 … HLK … HYZ1) -HZ12 //
 228       elim (IH … HU12 … HTU1) -IH -HU12 -HTU1 [ |*: /3 width=3 by drops_skip, ext2_pair/ ]
 229       lapply (lifts_trans … HVW2 … HW20 ??) -W2 [3: |*: // ] #H
 230       elim (lifts_split_trans … H ? (⫯f)) -H [ |*: /2 width=3 by after_uni_one_sn/ ]
 231       /4 width=9 by cpg_theta, lifts_bind, lifts_flat, ex2_intro/
 232     ]
 233   | elim (cpg_inv_cast1 … H2) -H2 *
 234     [ #cW #cU #W2 #U2 #HW12 #HU12 #HcWU #H1 #H2 destruct
 235       elim (IH … HW12 … HLK … HVW1) -HW12 -HVW1 //
 236       elim (IH … HU12 … HLK … HTU1) -IH -HU12 -HLK -HTU1 //
 237       /3 width=5 by cpg_cast, lifts_flat, ex2_intro/
 238     | #cU #HU12 #H destruct
 239       elim (IH … HU12 … HLK … HTU1) -IH -HU12 -HLK -HTU1 //
 240       /3 width=3 by cpg_eps, ex2_intro/
 241     | #cW #HW12 #H destruct
 242       elim (IH … HW12 … HLK … HVW1) -IH -HW12 -HLK -HVW1 //
 243       /3 width=3 by cpg_ee, ex2_intro/
 244     ]
 245   ]
 246 ]
 247 qed-.
 248
 249 lemma cpg_inv_lifts_bi: ∀Rt. reflexive … Rt →
 250                         ∀c,h,G. d_deliftable2_bi … lifts (cpg Rt h c G).
 251 /3 width=12 by cpg_inv_lifts_sn, d_deliftable2_sn_bi, lifts_inj/ qed-.