matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_transition/cpm.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/xoa/ex_4_1.ma".
  16 include "ground/xoa/ex_4_3.ma".
  17 include "ground/xoa/ex_5_6.ma".
  18 include "ground/xoa/ex_6_7.ma".
  19 include "ground/steps/rtc_max_shift.ma".
  20 include "ground/steps/rtc_isrt_plus.ma".
  21 include "ground/steps/rtc_isrt_max_shift.ma".
  22 include "static_2/syntax/sh.ma".
  23 include "basic_2/notation/relations/pred_6.ma".
  24 include "basic_2/rt_transition/cpg.ma".
  25
  26 (* T-BOUND CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL RT-TRANSITION FOR TERMS ***************)
  27
  28 (* Basic_2A1: includes: cpr *)
  29 definition cpm (h) (G) (L) (n): relation2 term term ≝
  30            λT1,T2. ∃∃c. 𝐑𝐓❪n,c❫ & ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬈[sh_is_next h,rtc_eq_t,c] T2.
  31
  32 interpretation
  33   "t-bound context-sensitive parallel rt-transition (term)"
  34   'PRed h n G L T1 T2 = (cpm h G L n T1 T2).
  35
  36 (* Basic properties *********************************************************)
  37
  38 lemma cpm_ess (h) (G) (L):
  39       ∀s. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s ➡[h,1] ⋆(⫯[h]s).
  40 /3 width=3 by cpg_ess, ex2_intro/ qed.
  41
  42 lemma cpm_delta (h) (n) (G) (K):
  43       ∀V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 →
  44       ⇧[1] V2 ≘ W2 → ❪G,K.ⓓV1❫ ⊢ #0 ➡[h,n] W2.
  45 #h #n #G #K #V1 #V2 #W2 *
  46 /3 width=5 by cpg_delta, ex2_intro/
  47 qed.
  48
  49 lemma cpm_ell (h) (n) (G) (K):
  50       ∀V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 →
  51       ⇧[1] V2 ≘ W2 → ❪G,K.ⓛV1❫ ⊢ #0 ➡[h,↑n] W2.
  52 #h #n #G #K #V1 #V2 #W2 *
  53 /3 width=5 by cpg_ell, ex2_intro, isrt_succ/
  54 qed.
  55
  56 lemma cpm_lref (h) (n) (G) (K):
  57       ∀I,T,U,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T →
  58       ⇧[1] T ≘ U → ❪G,K.ⓘ[I]❫ ⊢ #↑i ➡[h,n] U.
  59 #h #n #G #K #I #T #U #i *
  60 /3 width=5 by cpg_lref, ex2_intro/
  61 qed.
  62
  63 (* Basic_2A1: includes: cpr_bind *)
  64 lemma cpm_bind (h) (n) (G) (L):
  65       ∀p,I,V1,V2,T1,T2.
  66       ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L.ⓑ[I]V1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
  67       ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T1 ➡[h,n] ⓑ[p,I]V2.T2.
  68 #h #n #G #L #p #I #V1 #V2 #T1 #T2 * #cV #HcV #HV12 *
  69 /5 width=5 by cpg_bind, isrt_max_O1, isr_shift, ex2_intro/
  70 qed.
  71
  72 lemma cpm_appl (h) (n) (G) (L):
  73       ∀V1,V2,T1,T2.
  74       ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
  75       ❪G,L❫ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h,n] ⓐV2.T2.
  76 #h #n #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 * #cV #HcV #HV12 *
  77 /5 width=5 by isrt_max_O1, isr_shift, cpg_appl, ex2_intro/
  78 qed.
  79
  80 lemma cpm_cast (h) (n) (G) (L):
  81       ∀U1,U2,T1,T2.
  82       ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] U2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
  83       ❪G,L❫ ⊢ ⓝU1.T1 ➡[h,n] ⓝU2.T2.
  84 #h #n #G #L #U1 #U2 #T1 #T2 * #cU #HcU #HU12 *
  85 /4 width=6 by cpg_cast, isrt_max_idem1, isrt_mono, ex2_intro/
  86 qed.
  87
  88 (* Basic_2A1: includes: cpr_zeta *)
  89 lemma cpm_zeta (h) (n) (G) (L):
  90       ∀T1,T. ⇧[1] T ≘ T1 → ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] T2 →
  91       ∀V. ❪G,L❫ ⊢ +ⓓV.T1 ➡[h,n] T2.
  92 #h #n #G #L #T1 #T #HT1 #T2 *
  93 /3 width=5 by cpg_zeta, isrt_plus_O2, ex2_intro/
  94 qed.
  95
  96 (* Basic_2A1: includes: cpr_eps *)
  97 lemma cpm_eps (h) (n) (G) (L):
  98       ∀V,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 → ❪G,L❫ ⊢ ⓝV.T1 ➡[h,n] T2.
  99 #h #n #G #L #V #T1 #T2 *
 100 /3 width=3 by cpg_eps, isrt_plus_O2, ex2_intro/
 101 qed.
 102
 103 lemma cpm_ee (h) (n) (G) (L):
 104       ∀V1,V2,T. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → ❪G,L❫ ⊢ ⓝV1.T ➡[h,↑n] V2.
 105 #h #n #G #L #V1 #V2 #T *
 106 /3 width=3 by cpg_ee, isrt_succ, ex2_intro/
 107 qed.
 108
 109 (* Basic_2A1: includes: cpr_beta *)
 110 lemma cpm_beta (h) (n) (G) (L):
 111       ∀p,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
 112       ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 → ❪G,L.ⓛW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 113       ❪G,L❫ ⊢ ⓐV1.ⓛ[p]W1.T1 ➡[h,n] ⓓ[p]ⓝW2.V2.T2.
 114 #h #n #G #L #p #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 * #riV #rhV #HV12 * #riW #rhW #HW12 *
 115 /6 width=7 by cpg_beta, isrt_plus_O2, isrt_max, isr_shift, ex2_intro/
 116 qed.
 117
 118 (* Basic_2A1: includes: cpr_theta *)
 119 lemma cpm_theta (h) (n) (G) (L):
 120       ∀p,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
 121       ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V → ⇧[1] V ≘ V2 → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 →
 122       ❪G,L.ⓓW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 → ❪G,L❫ ⊢ ⓐV1.ⓓ[p]W1.T1 ➡[h,n] ⓓ[p]W2.ⓐV2.T2.
 123 #h #n #G #L #p #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 * #riV #rhV #HV1 #HV2 * #riW #rhW #HW12 *
 124 /6 width=9 by cpg_theta, isrt_plus_O2, isrt_max, isr_shift, ex2_intro/
 125 qed.
 126
 127 (* Basic properties with r-transition ***************************************)
 128
 129 (* Note: this is needed by cpms_ind_sn and cpms_ind_dx *)
 130 (* Basic_1: includes by definition: pr0_refl *)
 131 (* Basic_2A1: includes: cpr_atom *)
 132 lemma cpr_refl (h) (G) (L): reflexive … (cpm h G L 0).
 133 /3 width=3 by cpg_refl, ex2_intro/ qed.
 134
 135 (* Advanced properties ******************************************************)
 136
 137 lemma cpm_sort (h) (n) (G) (L): n ≤ 1 →
 138       ∀s. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s ➡[h,n] ⋆((next h)^n s).
 139 #h * //
 140 #n #G #L #H #s <(le_n_O_to_eq n) /2 width=1 by le_S_S_to_le/
 141 qed.
 142
 143 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 144
 145 lemma cpm_inv_atom1 (h) (n) (G) (L):
 146       ∀J,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓪[J] ➡[h,n] T2 →
 147       ∨∨ ∧∧ T2 = ⓪[J] & n = 0
 148        | ∃∃s. T2 = ⋆(⫯[h]s) & J = Sort s & n = 1
 149        | ∃∃K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 & L = K.ⓓV1 & J = LRef 0
 150        | ∃∃m,K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,m] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 & L = K.ⓛV1 & J = LRef 0 & n = ↑m
 151        | ∃∃I,K,T,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T & ⇧[1] T ≘ T2 & L = K.ⓘ[I] & J = LRef (↑i).
 152 #h #n #G #L #J #T2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_atom1 … H) -H *
 153 [ #H1 #H2 destruct /4 width=1 by isrt_inv_00, or5_intro0, conj/
 154 | #s1 #s2 #H1 #H2 #H3 #H4 destruct /4 width=3 by isrt_inv_01, or5_intro1, ex3_intro/
 155 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 #H3 destruct
 156   /4 width=6 by or5_intro2, ex4_3_intro, ex2_intro/
 157 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 #H3 destruct
 158   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … Hc) -Hc // #m #Hc #H destruct
 159   /4 width=9 by or5_intro3, ex5_4_intro, ex2_intro/
 160 | #I #K #V2 #i #HV2 #HVT2 #H1 #H2 destruct
 161   /4 width=8 by or5_intro4, ex4_4_intro, ex2_intro/
 162 ]
 163 qed-.
 164
 165 lemma cpm_inv_sort1 (h) (n) (G) (L):
 166       ∀T2,s1. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s1 ➡[h,n] T2 →
 167       ∧∧ T2 = ⋆(((next h)^n) s1) & n ≤ 1.
 168 #h #n #G #L #T2 #s1 * #c #Hc #H
 169 elim (cpg_inv_sort1 … H) -H *
 170 [ #H1 #H2 destruct
 171   lapply (isrt_inv_00 … Hc)
 172 | #s2 #H1 #H2 #H3 destruct
 173   lapply (isrt_inv_01 … Hc)
 174 ] -Hc
 175 #H destruct /2 width=1 by conj/
 176 qed-.
 177
 178 lemma cpm_inv_zero1 (h) (n) (G) (L):
 179       ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ #0 ➡[h,n] T2 →
 180       ∨∨ ∧∧ T2 = #0 & n = 0
 181        | ∃∃K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 & L = K.ⓓV1
 182        | ∃∃m,K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,m] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 & L = K.ⓛV1 & n = ↑m.
 183 #h #n #G #L #T2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_zero1 … H) -H *
 184 [ #H1 #H2 destruct /4 width=1 by isrt_inv_00, or3_intro0, conj/
 185 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 destruct
 186   /4 width=8 by or3_intro1, ex3_3_intro, ex2_intro/
 187 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 destruct
 188   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … Hc) -Hc // #m #Hc #H destruct
 189   /4 width=8 by or3_intro2, ex4_4_intro, ex2_intro/
 190 ]
 191 qed-.
 192
 193 lemma cpm_inv_zero1_unit (h) (n) (I) (K) (G):
 194       ∀X2. ❪G,K.ⓤ[I]❫ ⊢ #0 ➡[h,n] X2 → ∧∧ X2 = #0 & n = 0.
 195 #h #n #I #G #K #X2 #H
 196 elim (cpm_inv_zero1 … H) -H *
 197 [ #H1 #H2 destruct /2 width=1 by conj/
 198 | #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
 199 | #m #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
 200 ]
 201 qed.
 202
 203 lemma cpm_inv_lref1 (h) (n) (G) (L):
 204       ∀T2,i. ❪G,L❫ ⊢ #↑i ➡[h,n] T2 →
 205       ∨∨ ∧∧ T2 = #(↑i) & n = 0
 206        | ∃∃I,K,T. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T & ⇧[1] T ≘ T2 & L = K.ⓘ[I].
 207 #h #n #G #L #T2 #i * #c #Hc #H elim (cpg_inv_lref1 … H) -H *
 208 [ #H1 #H2 destruct /4 width=1 by isrt_inv_00, or_introl, conj/
 209 | #I #K #V2 #HV2 #HVT2 #H destruct
 210  /4 width=6 by ex3_3_intro, ex2_intro, or_intror/
 211 ]
 212 qed-.
 213
 214 lemma cpm_inv_lref1_ctop (h) (n) (G):
 215       ∀X2,i. ❪G,⋆❫ ⊢ #i ➡[h,n] X2 → ∧∧ X2 = #i & n = 0.
 216 #h #n #G #X2 * [| #i ] #H
 217 [ elim (cpm_inv_zero1 … H) -H *
 218   [ #H1 #H2 destruct /2 width=1 by conj/
 219   | #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
 220   | #m #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
 221   ]
 222 | elim (cpm_inv_lref1 … H) -H *
 223   [ #H1 #H2 destruct /2 width=1 by conj/
 224   | #Z #Y #X0 #_ #_ #H destruct
 225   ]
 226 ]
 227 qed.
 228
 229 lemma cpm_inv_gref1 (h) (n) (G) (L):
 230       ∀T2,l. ❪G,L❫ ⊢ §l ➡[h,n] T2 → ∧∧ T2 = §l & n = 0.
 231 #h #n #G #L #T2 #l * #c #Hc #H elim (cpg_inv_gref1 … H) -H
 232 #H1 #H2 destruct /3 width=1 by isrt_inv_00, conj/
 233 qed-.
 234
 235 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_bind1 *)
 236 lemma cpm_inv_bind1 (h) (n) (G) (L):
 237       ∀p,I,V1,T1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T1 ➡[h,n] U2 →
 238       ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓑ[I]V1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & U2 = ⓑ[p,I]V2.T2
 239        | ∃∃T. ⇧[1] T ≘ T1 & ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] U2 & p = true & I = Abbr.
 240 #h #n #G #L #p #I #V1 #T1 #U2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_bind1 … H) -H *
 241 [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H1 #H2 destruct
 242   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nT #HcV #HcT #H destruct
 243   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
 244   /4 width=5 by ex3_2_intro, ex2_intro, or_introl/
 245 | #cT #T2 #HT21 #HTU2 #H1 #H2 #H3 destruct
 246   /5 width=5 by isrt_inv_plus_O_dx, ex4_intro, ex2_intro, or_intror/
 247 ]
 248 qed-.
 249
 250 (* Basic_1: includes: pr0_gen_abbr pr2_gen_abbr *)
 251 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_abbr1 *)
 252 lemma cpm_inv_abbr1 (h) (n) (G) (L):
 253       ∀p,V1,T1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓓ[p]V1.T1 ➡[h,n] U2 →
 254       ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓓV1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & U2 = ⓓ[p]V2.T2
 255        | ∃∃T. ⇧[1] T ≘ T1 & ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] U2 & p = true.
 256 #h #n #G #L #p #V1 #T1 #U2 #H
 257 elim (cpm_inv_bind1 … H) -H
 258 [ /3 width=1 by or_introl/
 259 | * /3 width=3 by ex3_intro, or_intror/
 260 ]
 261 qed-.
 262
 263 (* Basic_1: includes: pr0_gen_abst pr2_gen_abst *)
 264 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_abst1 *)
 265 lemma cpm_inv_abst1 (h) (n) (G) (L):
 266       ∀p,V1,T1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p]V1.T1 ➡[h,n] U2 →
 267       ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓛV1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & U2 = ⓛ[p]V2.T2.
 268 #h #n #G #L #p #V1 #T1 #U2 #H
 269 elim (cpm_inv_bind1 … H) -H
 270 [ /3 width=1 by or_introl/
 271 | * #T #_ #_ #_ #H destruct
 272 ]
 273 qed-.
 274
 275 lemma cpm_inv_abst_bi (h) (n) (G) (L):
 276       ∀p1,p2,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p1]V1.T1 ➡[h,n] ⓛ[p2]V2.T2 →
 277       ∧∧ ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓛV1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & p1 = p2.
 278 #h #n #G #L #p1 #p2 #V1 #V2 #T1 #T2 #H
 279 elim (cpm_inv_abst1 … H) -H #XV #XT #HV #HT #H destruct
 280 /2 width=1 by and3_intro/
 281 qed-.
 282
 283 (* Basic_1: includes: pr0_gen_appl pr2_gen_appl *)
 284 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_appl1 *)
 285 lemma cpm_inv_appl1 (h) (n) (G) (L):
 286       ∀V1,U1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[h,n] U2 →
 287       ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] T2 & U2 = ⓐV2.T2
 288        | ∃∃p,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 & ❪G,L.ⓛW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & U1 = ⓛ[p]W1.T1 & U2 = ⓓ[p]ⓝW2.V2.T2
 289        | ∃∃p,V,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V & ⇧[1] V ≘ V2 & ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 & ❪G,L.ⓓW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & U1 = ⓓ[p]W1.T1 & U2 = ⓓ[p]W2.ⓐV2.T2.
 290 #h #n #G #L #V1 #U1 #U2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_appl1 … H) -H *
 291 [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H1 #H2 destruct
 292   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nT #HcV #HcT #H destruct
 293   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
 294   /4 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro, ex2_intro/
 295 | #cV #cW #cT #p #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #H1 #H2 #H3 destruct
 296   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … Hc ?) -Hc // #Hc
 297   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #n0 #nT #Hc #HcT #H destruct
 298   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nW #HcV #HcW #H destruct
 299   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
 300   elim (isrt_inv_shift … HcW) -HcW #HcW #H destruct
 301   /4 width=11 by or3_intro1, ex5_6_intro, ex2_intro/
 302 | #cV #cW #cT #p #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #H1 #H2 #H3 destruct
 303   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … Hc ?) -Hc // #Hc
 304   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #n0 #nT #Hc #HcT #H destruct
 305   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nW #HcV #HcW #H destruct
 306   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
 307   elim (isrt_inv_shift … HcW) -HcW #HcW #H destruct
 308   /4 width=13 by or3_intro2, ex6_7_intro, ex2_intro/
 309 ]
 310 qed-.
 311
 312 lemma cpm_inv_cast1 (h) (n) (G) (L):
 313       ∀V1,U1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓝV1.U1 ➡[h,n] U2 →
 314       ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 & ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] T2 & U2 = ⓝV2.T2
 315        | ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] U2
 316        | ∃∃m. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,m] U2 & n = ↑m.
 317 #h #n #G #L #V1 #U1 #U2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_cast1 … H) -H *
 318 [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #HcVT #H1 #H2 destruct
 319   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nT #HcV #HcT #H destruct
 320   lapply (isrt_eq_t_trans … HcV HcVT) -HcVT #H
 321   lapply (isrt_inj … H HcT) -H #H destruct <idempotent_max
 322   /4 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro, ex2_intro/
 323 | #cU #U12 #H destruct
 324   /4 width=3 by isrt_inv_plus_O_dx, or3_intro1, ex2_intro/
 325 | #cU #H12 #H destruct
 326   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … Hc) -Hc // #m #Hc #H destruct
 327   /4 width=3 by or3_intro2, ex2_intro/
 328 ]
 329 qed-.
 330
 331 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 332
 333 (* Basic_2A1: includes: cpr_fwd_bind1_minus *)
 334 lemma cpm_fwd_bind1_minus (h) (n) (G) (L):
 335       ∀I,V1,T1,T. ❪G,L❫ ⊢ -ⓑ[I]V1.T1 ➡[h,n] T → ∀p.
 336       ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T1 ➡[h,n] ⓑ[p,I]V2.T2 & T = -ⓑ[I]V2.T2.
 337 #h #n #G #L #I #V1 #T1 #T * #c #Hc #H #p elim (cpg_fwd_bind1_minus … H p) -H
 338 /3 width=4 by ex2_2_intro, ex2_intro/
 339 qed-.
 340
 341 (* Basic eliminators ********************************************************)
 342
 343 lemma cpm_ind (h) (Q:relation5 …):
 344       (∀I,G,L. Q 0 G L (⓪[I]) (⓪[I])) →
 345       (∀G,L,s. Q 1 G L (⋆s) (⋆(⫯[h]s))) →
 346       (∀n,G,K,V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → Q n G K V1 V2 →
 347         ⇧[1] V2 ≘ W2 → Q n G (K.ⓓV1) (#0) W2
 348       ) → (∀n,G,K,V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → Q n G K V1 V2 →
 349         ⇧[1] V2 ≘ W2 → Q (↑n) G (K.ⓛV1) (#0) W2
 350       ) → (∀n,I,G,K,T,U,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T → Q n G K (#i) T →
 351         ⇧[1] T ≘ U → Q n G (K.ⓘ[I]) (#↑i) (U)
 352       ) → (∀n,p,I,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L.ⓑ[I]V1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 353         Q 0 G L V1 V2 → Q n G (L.ⓑ[I]V1) T1 T2 → Q n G L (ⓑ[p,I]V1.T1) (ⓑ[p,I]V2.T2)
 354       ) → (∀n,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 355         Q 0 G L V1 V2 → Q n G L T1 T2 → Q n G L (ⓐV1.T1) (ⓐV2.T2)
 356       ) → (∀n,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 357         Q n G L V1 V2 → Q n G L T1 T2 → Q n G L (ⓝV1.T1) (ⓝV2.T2)
 358       ) → (∀n,G,L,V,T1,T,T2. ⇧[1] T ≘ T1 → ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] T2 →
 359         Q n G L T T2 → Q n G L (+ⓓV.T1) T2
 360       ) → (∀n,G,L,V,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 361         Q n G L T1 T2 → Q n G L (ⓝV.T1) T2
 362       ) → (∀n,G,L,V1,V2,T. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 →
 363         Q n G L V1 V2 → Q (↑n) G L (ⓝV1.T) V2
 364       ) → (∀n,p,G,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 → ❪G,L.ⓛW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 365         Q 0 G L V1 V2 → Q 0 G L W1 W2 → Q n G (L.ⓛW1) T1 T2 →
 366         Q n G L (ⓐV1.ⓛ[p]W1.T1) (ⓓ[p]ⓝW2.V2.T2)
 367       ) → (∀n,p,G,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 → ❪G,L.ⓓW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
 368         Q 0 G L V1 V → Q 0 G L W1 W2 → Q n G (L.ⓓW1) T1 T2 →
 369         ⇧[1] V ≘ V2 → Q n G L (ⓐV1.ⓓ[p]W1.T1) (ⓓ[p]W2.ⓐV2.T2)
 370       ) →
 371       ∀n,G,L,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 → Q n G L T1 T2.
 372 #h #Q #IH1 #IH2 #IH3 #IH4 #IH5 #IH6 #IH7 #IH8 #IH9 #IH10 #IH11 #IH12 #IH13 #n #G #L #T1 #T2
 373 * #c #HC #H generalize in match HC; -HC generalize in match n; -n
 374 elim H -c -G -L -T1 -T2
 375 [ #I #G #L #n #H <(isrt_inv_00 … H) -H //
 376 | #G #L #s1 #s2 #HRs #n #H <(isrt_inv_01 … H) -H destruct //
 377 | /3 width=4 by ex2_intro/
 378 | #c #G #L #V1 #V2 #W2 #HV12 #HVW2 #IH #x #H
 379   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … H) -H // #n #Hc #H destruct
 380   /3 width=4 by ex2_intro/
 381 | /3 width=4 by ex2_intro/
 382 | #cV #cT #p #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #IHV #IHT #n #H
 383   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #HcV #HcT
 384   /3 width=3 by ex2_intro/
 385 | #cV #cT #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #IHV #IHT #n #H
 386   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #HcV #HcT
 387   /3 width=3 by ex2_intro/
 388 | #cU #cT #G #L #U1 #U2 #T1 #T2 #HUT #HU12 #HT12 #IHU #IHT #n #H
 389   elim (isrt_inv_max_eq_t … H) -H // #HcV #HcT
 390   /3 width=3 by ex2_intro/
 391 | #c #G #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #IH #n #H
 392   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // #Hc
 393   /3 width=4 by ex2_intro/
 394 | #c #G #L #U #T1 #T2 #HT12 #IH #n #H
 395   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // #Hc
 396   /3 width=3 by ex2_intro/
 397 | #c #G #L #U1 #U2 #T #HU12 #IH #x #H
 398   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … H) -H // #n #Hc #H destruct
 399   /3 width=3 by ex2_intro/
 400 | #cV #cW #cT #p #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #IHV #IHW #IHT #n #H
 401   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // >max_shift #H
 402   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #H #HcT
 403   elim (isrt_O_inv_max … H) -H #HcV #HcW
 404   /3 width=3 by ex2_intro/
 405 | #cV #cW #cT #p #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #IHV #IHW #IHT #n #H
 406   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // >max_shift #H
 407   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #H #HcT
 408   elim (isrt_O_inv_max … H) -H #HcV #HcW
 409   /3 width=4 by ex2_intro/
 410 ]
 411 qed-.