matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_transition/cpx_lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/ynat/ynat_max.ma".
  16 include "basic_2/substitution/drop_drop.ma".
  17 include "basic_2/multiple/fqus_alt.ma".
  18 include "basic_2/static/da.ma".
  19 include "basic_2/reduction/cpx.ma".
  20
  21 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED PARALLEL REDUCTION FOR TERMS ******************)
  22
  23 (* Advanced properties ******************************************************)
  24
  25 fact sta_cpx_aux: ∀h,o,G,L,T1,T2,d2,d1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, d2] T2 → d2 = 1 →
  26                   ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▪[h, o] d1+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] T2.
  27 #h #o #G #L #T1 #T2 #d2 #d1 #H elim H -G -L -T1 -T2 -d2
  28 [ #G #L #d2 #s #H0 destruct normalize
  29   /3 width=4 by cpx_st, da_inv_sort/
  30 | #G #L #K #V1 #V2 #W2 #i #d2 #HLK #_ #HVW2 #IHV12 #H0 #H destruct
  31   elim (da_inv_lref … H) -H * #K0 #V0 [| #d0 ] #HLK0
  32   lapply (drop_mono … HLK0 … HLK) -HLK0 #H destruct /3 width=7 by cpx_delta/
  33 | #G #L #K #V1 #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
  34 | #G #L #K #V1 #V2 #W2 #i #d2 #HLK #HV12 #HVW2 #_ #H0 #H
  35   lapply (discr_plus_xy_y … H0) -H0 #H0 destruct
  36   elim (da_inv_lref … H) -H * #K0 #V0 [| #d0 ] #HLK0
  37   lapply (drop_mono … HLK0 … HLK) -HLK0 #H destruct
  38   /4 width=7 by cpx_delta, cpr_cpx, lstas_cpr/
  39 | /4 width=2 by cpx_bind, da_inv_bind/
  40 | /4 width=3 by cpx_flat, da_inv_flat/
  41 | /4 width=3 by cpx_eps, da_inv_flat/
  42 ]
  43 qed-.
  44
  45 lemma sta_cpx: ∀h,o,G,L,T1,T2,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, 1] T2 →
  46                ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▪[h, o] d+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] T2.
  47 /2 width=3 by sta_cpx_aux/ qed.
  48
  49 (* Relocation properties ****************************************************)
  50
  51 lemma cpx_lift: ∀h,o,G. d_liftable (cpx h o G).
  52 #h #o #G #K #T1 #T2 #H elim H -G -K -T1 -T2
  53 [ #I #G #K #L #c #l #k #_ #U1 #H1 #U2 #H2
  54   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 -H2 //
  55 | #G #K #s #d #Hkd #L #c #l #k #_ #U1 #H1 #U2 #H2
  56   >(lift_inv_sort1 … H1) -U1
  57   >(lift_inv_sort1 … H2) -U2 /2 width=2 by cpx_st/
  58 | #I #G #K #KV #V #V2 #W2 #i #HKV #HV2 #HVW2 #IHV2 #L #c #l #k #HLK #U1 #H #U2 #HWU2
  59   elim (lift_inv_lref1 … H) * #Hil #H destruct
  60   [ elim (lift_trans_ge … HVW2 … HWU2) -W2 /2 width=1 by ylt_fwd_le_succ1/ #W2 #HVW2 #HWU2
  61     elim (drop_trans_le … HLK … HKV) -K /2 width=2 by ylt_fwd_le/ #X #HLK #H
  62     elim (drop_inv_skip2 … H) -H /2 width=1 by ylt_to_minus/ -Hil
  63     #K #Y #HKV #HVY #H destruct /3 width=10 by cpx_delta/
  64   | lapply (lift_trans_be … HVW2 … HWU2 ? ?) -W2 /2 width=1 by yle_succ_dx/ >plus_plus_comm_23 #HVU2
  65     lapply (drop_trans_ge_comm … HLK … HKV ?) -K /3 width=7 by cpx_delta, drop_inv_gen/
  66   ]
  67 | #a #I #G #K #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #c #l #k #HLK #U1 #H1 #U2 #H2
  68   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1 destruct
  69   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct /4 width=6 by cpx_bind, drop_skip/
  70 | #I #G #K #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #c #l #k #HLK #U1 #H1 #U2 #H2
  71   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1 destruct
  72   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct /3 width=6 by cpx_flat/
  73 | #G #K #V #T1 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 #L #c #l #k #HLK #U1 #H #U2 #HTU2
  74   elim (lift_inv_bind1 … H) -H #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H destruct
  75   elim (lift_conf_O1 … HTU2 … HT2) -T2 /4 width=6 by cpx_zeta, drop_skip/
  76 | #G #K #V #T1 #T2 #_ #IHT12 #L #c #l #k #HLK #U1 #H #U2 #HTU2
  77   elim (lift_inv_flat1 … H) -H #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H destruct /3 width=6 by cpx_eps/
  78 | #G #K #V1 #V2 #T #_ #IHV12 #L #c #l #k #HLK #U1 #H #U2 #HVU2
  79   elim (lift_inv_flat1 … H) -H #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H destruct /3 width=6 by cpx_ct/
  80 | #a #G #K #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #IHV12 #IHW12 #IHT12 #L #c #l #k #HLK #X1 #HX1 #X2 #HX2
  81   elim (lift_inv_flat1 … HX1) -HX1 #V0 #X #HV10 #HX #HX1 destruct
  82   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #W0 #T0 #HW0 #HT10 #HX destruct
  83   elim (lift_inv_bind1 … HX2) -HX2 #X #T3 #HX #HT23 #HX2 destruct
  84   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #W3 #V3 #HW23 #HV23 #HX destruct /4 width=6 by cpx_beta, drop_skip/
  85 | #a #G #K #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #HV2 #_ #_ #IHV1 #IHW12 #IHT12 #L #c #l #k #HLK #X1 #HX1 #X2 #HX2
  86   elim (lift_inv_flat1 … HX1) -HX1 #V0 #X #HV10 #HX #HX1 destruct
  87   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #W0 #T0 #HW0 #HT10 #HX destruct
  88   elim (lift_inv_bind1 … HX2) -HX2 #W3 #X #HW23 #HX #HX2 destruct
  89   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V3 #T3 #HV3 #HT23 #HX destruct
  90   elim (lift_trans_ge … HV2 … HV3) -V2 /4 width=6 by cpx_theta, drop_skip/
  91 ]
  92 qed.
  93
  94 lemma cpx_inv_lift1: ∀h,o,G. d_deliftable_sn (cpx h o G).
  95 #h #o #G #L #U1 #U2 #H elim H -G -L -U1 -U2
  96 [ * #i #G #L #K #c #l #k #_ #T1 #H
  97   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct /2 width=3 by cpx_atom, lift_sort, ex2_intro/
  98   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hil #H destruct /3 width=3 by cpx_atom, lift_lref_ge_minus, lift_lref_lt, ex2_intro/
  99   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct /2 width=3 by cpx_atom, lift_gref, ex2_intro/
 100   ]
 101 | #G #L #s #d #Hkd #K #c #l #k #_ #T1 #H
 102   lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct /3 width=3 by cpx_st, lift_sort, ex2_intro/
 103 | #I #G #L #LV #V #V2 #W2 #i #HLV #HV2 #HVW2 #IHV2 #K #c #l #k #HLK #T1 #H
 104   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hil #H destruct
 105   [ elim (drop_conf_lt … HLK … HLV) -L // #L #U #HKL #HLV #HUV
 106     elim (IHV2 … HLV … HUV) -V #U2 #HUV2 #HU2
 107     elim (lift_trans_le … HUV2 … HVW2) -V2 // <yminus_succ2 <yplus_inj >yplus_SO2 >ymax_pre_sn /3 width=9 by cpx_delta, ylt_fwd_le_succ1, ex2_intro/
 108   | elim (yle_inv_plus_inj2 … Hil) #Hlim #Hmi
 109     lapply (yle_inv_inj … Hmi) -Hmi #Hmi
 110     lapply (drop_conf_ge … HLK … HLV ?) -L // #HKLV
 111     elim (lift_split … HVW2 l (i - k + 1)) -HVW2 /3 width=1 by yle_succ, yle_pred_sn, le_S_S/ -Hil -Hlim
 112     #V1 #HV1 >plus_minus // <minus_minus /2 width=1 by le_S/ <minus_n_n <plus_n_O /3 width=9 by cpx_delta, ex2_intro/
 113   ]
 114 | #a #I #G #L #V1 #V2 #U1 #U2 #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #c #l #k #HLK #X #H
 115   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 116   elim (IHV12 … HLK … HWV1) -IHV12 #W2 #HW12 #HWV2
 117   elim (IHU12 … HTU1) -IHU12 -HTU1 /3 width=6 by cpx_bind, drop_skip, lift_bind, ex2_intro/
 118 | #I #G #L #V1 #V2 #U1 #U2 #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #c #l #k #HLK #X #H
 119   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 120   elim (IHV12 … HLK … HWV1) -V1
 121   elim (IHU12 … HLK … HTU1) -U1 -HLK /3 width=5 by cpx_flat, lift_flat, ex2_intro/
 122 | #G #L #V #U1 #U #U2 #_ #HU2 #IHU1 #K #c #l #k #HLK #X #H
 123   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 124   elim (IHU1 (K.ⓓW1) c … HTU1) /2 width=1 by drop_skip/ -L -U1 #T #HTU #HT1
 125   elim (lift_div_le … HU2 … HTU) -U /3 width=5 by cpx_zeta, ex2_intro/
 126 | #G #L #V #U1 #U2 #_ #IHU12 #K #c #l #k #HLK #X #H
 127   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 128   elim (IHU12 … HLK … HTU1) -L -U1 /3 width=3 by cpx_eps, ex2_intro/
 129 | #G #L #V1 #V2 #U1 #_ #IHV12 #K #c #l #k #HLK #X #H
 130   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 131   elim (IHV12 … HLK … HWV1) -L -V1 /3 width=3 by cpx_ct, ex2_intro/
 132 | #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #IHV12 #IHW12 #IHT12 #K #c #l #k #HLK #X #HX
 133   elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V0 #Y #HV01 #HY #HX destruct
 134   elim (lift_inv_bind2 … HY) -HY #W0 #T0 #HW01 #HT01 #HY destruct
 135   elim (IHV12 … HLK … HV01) -V1 #V3 #HV32 #HV03
 136   elim (IHT12 (K.ⓛW0) c … HT01) -T1 /2 width=1 by drop_skip/ #T3 #HT32 #HT03
 137   elim (IHW12 … HLK … HW01) -W1
 138   /4 width=7 by cpx_beta, lift_bind, lift_flat, ex2_intro/
 139 | #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #HV2 #_ #_ #IHV1 #IHW12 #IHT12 #K #c #l #k #HLK #X #HX
 140   elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V0 #Y #HV01 #HY #HX destruct
 141   elim (lift_inv_bind2 … HY) -HY #W0 #T0 #HW01 #HT01 #HY destruct
 142   elim (IHV1 … HLK … HV01) -V1 #V3 #HV3 #HV03
 143   elim (IHT12 (K.ⓓW0) c … HT01) -T1 /2 width=1 by drop_skip/ #T3 #HT32 #HT03
 144   elim (IHW12 … HLK … HW01) -W1 #W3 #HW32 #HW03
 145   elim (lift_trans_le … HV3 … HV2) -V
 146   /4 width=9 by cpx_theta, lift_bind, lift_flat, ex2_intro/
 147 ]
 148 qed-.
 149
 150 (* Properties on supclosure *************************************************)
 151
 152 lemma fqu_cpx_trans: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 153                      ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 →
 154                      ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, U2⦄.
 155 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H elim H -G1 -G2 -L1 -L2 -T1 -T2
 156 /3 width=3 by fqu_pair_sn, fqu_bind_dx, fqu_flat_dx, cpx_pair_sn, cpx_bind, cpx_flat, ex2_intro/
 157 [ #I #G #L #V2 #U2 #HVU2
 158   elim (lift_total U2 0 1)
 159   /4 width=7 by fqu_drop, cpx_delta, drop_pair, drop_drop, ex2_intro/
 160 | #G #L #K #T1 #U1 #k #HLK1 #HTU1 #T2 #HTU2
 161   elim (lift_total T2 0 (k+1))
 162   /3 width=11 by cpx_lift, fqu_drop, ex2_intro/
 163 ]
 164 qed-.
 165
 166 lemma fqu_sta_trans: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 167                      ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 •*[h, 1] U2 →
 168                      ∀d. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ▪[h, o] d+1 →
 169                      ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, U2⦄.
 170 /3 width=5 by fqu_cpx_trans, sta_cpx/ qed-.
 171
 172 lemma fquq_cpx_trans: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 173                       ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 →
 174                       ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, U2⦄.
 175 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H #U2 #HTU2 elim (fquq_inv_gen … H) -H
 176 [ #HT12 elim (fqu_cpx_trans … HT12 … HTU2) /3 width=3 by fqu_fquq, ex2_intro/
 177 | * #H1 #H2 #H3 destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 178 ]
 179 qed-.
 180
 181 lemma fquq_sta_trans: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 182                       ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 •*[h, 1] U2 →
 183                       ∀d. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ▪[h, o] d+1 →
 184                       ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, U2⦄.
 185 /3 width=5 by fquq_cpx_trans, sta_cpx/ qed-.
 186
 187 lemma fqup_cpx_trans: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐+ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 188                       ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 →
 189                       ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐+ ⦃G2, L2, U2⦄.
 190 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fqup_ind … H) -G2 -L2 -T2
 191 [ #G2 #L2 #T2 #H12 #U2 #HTU2 elim (fqu_cpx_trans … H12 … HTU2) -T2
 192   /3 width=3 by fqu_fqup, ex2_intro/
 193 | #G #G2 #L #L2 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 #U2 #HTU2
 194   elim (fqu_cpx_trans … HT2 … HTU2) -T2 #T2 #HT2 #HTU2
 195   elim (IHT1 … HT2) -T /3 width=7 by fqup_strap1, ex2_intro/
 196 ]
 197 qed-.
 198
 199 lemma fqus_cpx_trans: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 200                       ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 →
 201                       ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, U2⦄.
 202 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H #U2 #HTU2 elim (fqus_inv_gen … H) -H
 203 [ #HT12 elim (fqup_cpx_trans … HT12 … HTU2) /3 width=3 by fqup_fqus, ex2_intro/
 204 | * #H1 #H2 #H3 destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 205 ]
 206 qed-.
 207
 208 lemma fqu_cpx_trans_neq: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 209                          ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 → (T2 = U2 → ⊥) →
 210                          ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & T1 = U1 → ⊥ & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, U2⦄.
 211 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H elim H -G1 -G2 -L1 -L2 -T1 -T2
 212 [ #I #G #L #V1 #V2 #HV12 #_ elim (lift_total V2 0 1)
 213   #U2 #HVU2 @(ex3_intro … U2)
 214   [1,3: /3 width=7 by fqu_drop, cpx_delta, drop_pair, drop_drop/
 215   | #H destruct
 216     lapply (lift_inv_lref2_be … HVU2 ? ?) -HVU2 //
 217   ]
 218 | #I #G #L #V1 #T #V2 #HV12 #H @(ex3_intro … (②{I}V2.T))
 219   [1,3: /2 width=4 by fqu_pair_sn, cpx_pair_sn/
 220   | #H0 destruct /2 width=1 by/
 221   ]
 222 | #a #I #G #L #V #T1 #T2 #HT12 #H @(ex3_intro … (ⓑ{a,I}V.T2))
 223   [1,3: /2 width=4 by fqu_bind_dx, cpx_bind/
 224   | #H0 destruct /2 width=1 by/
 225   ]
 226 | #I #G #L #V #T1 #T2 #HT12 #H @(ex3_intro … (ⓕ{I}V.T2))
 227   [1,3: /2 width=4 by fqu_flat_dx, cpx_flat/
 228   | #H0 destruct /2 width=1 by/
 229   ]
 230 | #G #L #K #T1 #U1 #k #HLK #HTU1 #T2 #HT12 #H elim (lift_total T2 0 (k+1))
 231   #U2 #HTU2 @(ex3_intro … U2)
 232   [1,3: /2 width=10 by cpx_lift, fqu_drop/
 233   | #H0 destruct /3 width=5 by lift_inj/
 234 ]
 235 qed-.
 236
 237 lemma fquq_cpx_trans_neq: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 238                           ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 → (T2 = U2 → ⊥) →
 239                           ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & T1 = U1 → ⊥ & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, U2⦄.
 240 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H12 #U2 #HTU2 #H elim (fquq_inv_gen … H12) -H12
 241 [ #H12 elim (fqu_cpx_trans_neq … H12 … HTU2 H) -T2
 242   /3 width=4 by fqu_fquq, ex3_intro/
 243 | * #HG #HL #HT destruct /3 width=4 by ex3_intro/
 244 ]
 245 qed-.
 246
 247 lemma fqup_cpx_trans_neq: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐+ ⦃G2, L2, T2⦄ →
 248                           ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 → (T2 = U2 → ⊥) →
 249                           ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & T1 = U1 → ⊥ & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐+ ⦃G2, L2, U2⦄.
 250 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fqup_ind_dx … H) -G1 -L1 -T1
 251 [ #G1 #L1 #T1 #H12 #U2 #HTU2 #H elim (fqu_cpx_trans_neq … H12 … HTU2 H) -T2
 252   /3 width=4 by fqu_fqup, ex3_intro/
 253 | #G #G1 #L #L1 #T #T1 #H1 #_ #IH12 #U2 #HTU2 #H elim (IH12 … HTU2 H) -T2
 254   #U1 #HTU1 #H #H12 elim (fqu_cpx_trans_neq … H1 … HTU1 H) -T1
 255   /3 width=8 by fqup_strap2, ex3_intro/
 256 ]
 257 qed-.
 258
 259 lemma fqus_cpx_trans_neq: ∀h,o,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 260                           ∀U2. ⦃G2, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h, o] U2 → (T2 = U2 → ⊥) →
 261                           ∃∃U1. ⦃G1, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h, o] U1 & T1 = U1 → ⊥ & ⦃G1, L1, U1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, U2⦄.
 262 #h #o #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H12 #U2 #HTU2 #H elim (fqus_inv_gen … H12) -H12
 263 [ #H12 elim (fqup_cpx_trans_neq … H12 … HTU2 H) -T2
 264   /3 width=4 by fqup_fqus, ex3_intro/
 265 | * #HG #HL #HT destruct /3 width=4 by ex3_intro/
 266 ]
 267 qed-.