matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_transition/lfpr_lfpr.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/rt_transition/cpm_lsubr.ma".
  16 include "basic_2/rt_transition/cpr.ma".
  17 include "basic_2/rt_transition/cpr_drops.ma".
  18 include "basic_2/rt_transition/lfpr_drops.ma".
  19 include "basic_2/rt_transition/lfpr_fqup.ma".
  20
  21 (* PARALLEL R-TRANSITION FOR LOCAL ENV.S ON REFERRED ENTRIES ****************)
  22
  23 (* Main properties with context-sensitive parallel r-transition for terms ***)
  24
  25 fact cpr_conf_lfpr_atom_atom:
  26    ∀h,I,G,L1,L2. ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓪{I} ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓪{I} ➡[h] T.
  27 /2 width=3 by ex2_intro/ qed-.
  28
  29 fact cpr_conf_lfpr_atom_delta:
  30    ∀h,G,L0,i. (
  31       ∀L,T. ⦃G, L0, #i⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
  32       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
  33       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
  34       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
  35    ) →
  36    ∀K0,V0. ⬇*[i] L0 ≡ K0.ⓓV0 →
  37    ∀V2. ⦃G, K0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀T2. ⬆*[⫯i] V2 ≡ T2 →
  38    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, #i] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, #i] L2 →
  39    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ #i ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T.
  40 #h #G #L0 #i #IH #K0 #V0 #HLK0 #V2 #HV02 #T2 #HVT2 #L1 #HL01 #L2 #HL02
  41 elim (lfpr_inv_lref_sn … HL01 … HLK0) -HL01 #K1 #V1 #HLK1 #HK01 #HV01
  42 elim (lfpr_inv_lref_sn … HL02 … HLK0) -HL02 #K2 #W2 #HLK2 #HK02 #_
  43 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK2) // -W2 #HLK2
  44 lapply (fqup_lref … G … HLK0) -HLK0 #HLK0
  45 elim (IH … HLK0 … HV01 … HV02 … HK01 … HK02) -L0 -K0 -V0 #V #HV1 #HV2
  46 elim (cpm_lifts … HV2 … HLK2 … HVT2) -K2 -V2
  47 /3 width=6 by cpm_delta_drops, ex2_intro/
  48 qed-.
  49
  50 fact cpr_conf_lfpr_delta_delta:
  51    ∀h,G,L0,i. (
  52       ∀L,T. ⦃G, L0, #i⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
  53       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
  54       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
  55       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
  56    ) →
  57    ∀K0,V0. ⬇*[i] L0 ≡ K0.ⓓV0 →
  58    ∀V1. ⦃G, K0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀T1. ⬆*[⫯i] V1 ≡ T1 →
  59    ∀KX,VX. ⬇*[i] L0 ≡ KX.ⓓVX →
  60    ∀V2. ⦃G, KX⦄ ⊢ VX ➡[h] V2 → ∀T2. ⬆*[⫯i] V2 ≡ T2 →
  61    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, #i] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, #i] L2 →
  62    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T.
  63 #h #G #L0 #i #IH #K0 #V0 #HLK0 #V1 #HV01 #T1 #HVT1
  64 #KX #VX #H #V2 #HV02 #T2 #HVT2 #L1 #HL01 #L2 #HL02
  65 lapply (drops_mono … H … HLK0) -H #H destruct
  66 elim (lfpr_inv_lref_sn … HL01 … HLK0) -HL01 #K1 #W1 #HLK1 #HK01 #_
  67 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK1) -W1 // #HLK1
  68 elim (lfpr_inv_lref_sn … HL02 … HLK0) -HL02 #K2 #W2 #HLK2 #HK02 #_
  69 lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLK2) -W2 // #HLK2
  70 lapply (fqup_lref … G … HLK0) -HLK0 #HLK0
  71 elim (IH … HLK0 … HV01 … HV02 … HK01 … HK02) -L0 -K0 -V0 #V #HV1 #HV2
  72 elim (cpm_lifts … HV1 … HLK1 … HVT1) -K1 -V1 #T #HVT #HT1
  73 elim (cpm_lifts … HV2 … HLK2 … HVT2) -K2 -V2 #X #HX #HT2
  74 lapply (lifts_mono … HX … HVT) #H destruct
  75 /2 width=3 by ex2_intro/
  76 qed-.
  77
  78 fact cpr_conf_lfpr_bind_bind:
  79    ∀h,p,I,G,L0,V0,T0. (
  80       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓑ{p,I}V0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
  81       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
  82       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
  83       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
  84    ) →
  85    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀T1. ⦃G, L0.ⓑ{I}V0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 →
  86    ∀V2. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀T2. ⦃G, L0.ⓑ{I}V0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
  87    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓑ{p,I}V0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓑ{p,I}V0.T0] L2 →
  88    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓑ{p,I}V1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓑ{p,I}V2.T2 ➡[h] T.
  89 #h #p #I #G #L0 #V0 #T0 #IH #V1 #HV01 #T1 #HT01
  90 #V2 #HV02 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
  91 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1V0 #H1T0
  92 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2V0 #H2T0
  93 elim (IH … HV01 … HV02 … H1V0 … H2V0) //
  94 elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓑ{I}V1) … (L2.ⓑ{I}V2)) -IH
  95 /3 width=5 by lfpr_pair_repl_dx, cpm_bind, ex2_intro/
  96 qed-.
  97
  98 fact cpr_conf_lfpr_bind_zeta:
  99    ∀h,G,L0,V0,T0. (
 100       ∀L,T. ⦃G, L0, +ⓓV0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 101       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 102       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 103       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 104    ) →
 105    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀T1. ⦃G, L0.ⓓV0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 →
 106    ∀T2. ⦃G, L0.ⓓV0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 → ∀X2. ⬆*[1] X2 ≡ T2 →
 107    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, +ⓓV0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, +ⓓV0.T0] L2 →
 108    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ +ⓓV1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ X2 ➡[h] T.
 109 #h #G #L0 #V0 #T0 #IH #V1 #HV01 #T1 #HT01
 110 #T2 #HT02 #X2 #HXT2 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 111 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1V0 #H1T0
 112 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2V0 #H2T0
 113 elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓV1) … (L2.ⓓV1)) -IH -HT01 -HT02 /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -V0 -T0 #T #HT1 #HT2
 114 elim (cpm_inv_lifts1 … HT2 … L2 … HXT2) -T2 /3 width=3 by drops_refl, drops_drop, cpm_zeta, ex2_intro/
 115 qed-.
 116
 117 fact cpr_conf_lfpr_zeta_zeta:
 118    ∀h,G,L0,V0,T0. (
 119       ∀L,T. ⦃G, L0, +ⓓV0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 120       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 121       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 122       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 123    ) →
 124    ∀T1. ⦃G, L0.ⓓV0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 → ∀X1. ⬆*[1] X1 ≡ T1 →
 125    ∀T2. ⦃G, L0.ⓓV0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 → ∀X2. ⬆*[1] X2 ≡ T2 →
 126    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, +ⓓV0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, +ⓓV0.T0] L2 →
 127    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ X1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ X2 ➡[h] T.
 128 #h #G #L0 #V0 #T0 #IH #T1 #HT01 #X1 #HXT1
 129 #T2 #HT02 #X2 #HXT2 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 130 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1V0 #H1T0
 131 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2V0 #H2T0
 132 elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓV0) … (L2.ⓓV0)) -IH -HT01 -HT02 /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -T0 #T #HT1 #HT2
 133 elim (cpm_inv_lifts1 … HT1 … L1 … HXT1) -T1 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #T1 #HT1 #HXT1
 134 elim (cpm_inv_lifts1 … HT2 … L2 … HXT2) -T2 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #T2 #HT2 #HXT2
 135 lapply (lifts_inj … HT2 … HT1) -T #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 136 qed-.
 137
 138 fact cpr_conf_lfpr_flat_flat:
 139    ∀h,I,G,L0,V0,T0. (
 140       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓕ{I}V0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 141       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 142       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 143       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 144    ) →
 145    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 →
 146    ∀V2. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀T2. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 147    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓕ{I}V0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓕ{I}V0.T0] L2 →
 148    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓕ{I}V2.T2 ➡[h] T.
 149 #h #I #G #L0 #V0 #T0 #IH #V1 #HV01 #T1 #HT01
 150 #V2 #HV02 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 151 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #H1V0 #H1T0
 152 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #H2V0 #H2T0
 153 elim (IH … HV01 … HV02 … H1V0 … H2V0) //
 154 elim (IH … HT01 … HT02 … H1T0 … H2T0) /3 width=5 by cpr_flat, ex2_intro/
 155 qed-.
 156
 157 fact cpr_conf_lfpr_flat_epsilon:
 158    ∀h,G,L0,V0,T0. (
 159       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓝV0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 160       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 161       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 162       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 163    ) →
 164    ∀V1,T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 165    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓝV0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓝV0.T0] L2 →
 166    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓝV1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T.
 167 #h #G #L0 #V0 #T0 #IH #V1 #T1 #HT01
 168 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 169 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #_ #H1T0
 170 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #_ #H2T0
 171 elim (IH … HT01 … HT02 … H1T0 … H2T0) // -L0 -V0 -T0 /3 width=3 by cpm_eps, ex2_intro/
 172 qed-.
 173
 174 fact cpr_conf_lfpr_epsilon_epsilon:
 175    ∀h,G,L0,V0,T0. (
 176       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓝV0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 177       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 178       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 179       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 180    ) →
 181    ∀T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 182    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓝV0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓝV0.T0] L2 →
 183    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T.
 184 #h #G #L0 #V0 #T0 #IH #T1 #HT01
 185 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 186 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #_ #H1T0
 187 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #_ #H2T0
 188 elim (IH … HT01 … HT02 … H1T0 … H2T0) // -L0 -V0 -T0 /2 width=3 by ex2_intro/
 189 qed-.
 190
 191 fact cpr_conf_lfpr_flat_beta:
 192    ∀h,p,G,L0,V0,W0,T0. (
 193       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓐV0.ⓛ{p}W0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 194       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 195       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 196       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 197    ) →
 198    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ⓛ{p}W0.T0 ➡[h] T1 →
 199    ∀V2. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀W2. ⦃G, L0⦄ ⊢ W0 ➡[h] W2 → ∀T2. ⦃G, L0.ⓛW0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 200    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓛ{p}W0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓛ{p}W0.T0] L2 →
 201    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓓ{p}ⓝW2.V2.T2 ➡[h] T.
 202 #h #p #G #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #V1 #HV01 #X #H
 203 #V2 #HV02 #W2 #HW02 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 204 elim (cpm_inv_abst1 … H) -H #W1 #T1 #HW01 #HT01 #H destruct
 205 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #H1V0 #HL01
 206 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1W0 #H1T0
 207 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #H2V0 #HL02
 208 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2W0 #H2T0
 209 elim (IH … HV01 … HV02 … H1V0 … H2V0) -HV01 -HV02 /2 width=1 by/ #V #HV1 #HV2
 210 elim (IH … HW01 … HW02 … H1W0 … H2W0) /2 width=1 by/ #W #HW1 #HW2
 211 elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓛW1) … (L2.ⓛW2)) /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -V0 -W0 -T0 #T #HT1 #HT2
 212 lapply (lsubr_cpm_trans … HT2 (L2.ⓓⓝW2.V2) ?) -HT2 /2 width=1 by lsubr_beta/ (**) (* full auto not tried *)
 213 /4 width=5 by cpm_bind, cpr_flat, cpm_beta, ex2_intro/
 214 qed-.
 215
 216 fact cpr_conf_lfpr_flat_theta:
 217    ∀h,p,G,L0,V0,W0,T0. (
 218       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓐV0.ⓓ{p}W0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 219       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 220       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 221       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 222    ) →
 223    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ⓓ{p}W0.T0 ➡[h] T1 →
 224    ∀V2. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀U2. ⬆*[1] V2 ≡ U2 →
 225    ∀W2. ⦃G, L0⦄ ⊢ W0 ➡[h] W2 → ∀T2. ⦃G, L0.ⓓW0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 226    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓓ{p}W0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓓ{p}W0.T0] L2 →
 227    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓓ{p}W2.ⓐU2.T2 ➡[h] T.
 228 #h #p #G #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #V1 #HV01 #X #H
 229 #V2 #HV02 #U2 #HVU2 #W2 #HW02 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 230 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #H1V0 #HL01
 231 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1W0 #H1T0
 232 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #H2V0 #HL02
 233 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2W0 #H2T0
 234 elim (IH … HV01 … HV02 … H1V0 … H2V0) -HV01 -HV02 /2 width=1 by/ #V #HV1 #HV2
 235 elim (cpm_lifts … HV2 … (L2.ⓓW2) … HVU2) -HVU2 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #U #HVU #HU2
 236 elim (cpm_inv_abbr1 … H) -H *
 237 [ #W1 #T1 #HW01 #HT01 #H destruct
 238   elim (IH … HW01 … HW02 … H1W0 … H2W0) /2 width=1 by/
 239   elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓW1) … (L2.ⓓW2)) /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -V0 -W0 -T0
 240   /4 width=7 by cpm_bind, cpr_flat, cpm_theta, ex2_intro/
 241 | #T1 #HT01 #HXT1 #H destruct
 242   elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓW2) … (L2.ⓓW2)) /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -V0 -W0 -T0 #T #HT1 #HT2
 243   elim (cpm_inv_lifts1 … HT1 … L1 … HXT1) -HXT1
 244   /4 width=9 by cpr_flat, cpm_zeta, drops_refl, drops_drop, lifts_flat, ex2_intro/
 245 ]
 246 qed-.
 247
 248 fact cpr_conf_lfpr_beta_beta:
 249    ∀h,p,G,L0,V0,W0,T0. (
 250       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓐV0.ⓛ{p}W0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 251       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 252       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 253       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 254    ) →
 255    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀W1. ⦃G, L0⦄ ⊢ W0 ➡[h] W1 → ∀T1. ⦃G, L0.ⓛW0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 →
 256    ∀V2. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀W2. ⦃G, L0⦄ ⊢ W0 ➡[h] W2 → ∀T2. ⦃G, L0.ⓛW0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 257    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓛ{p}W0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓛ{p}W0.T0] L2 →
 258    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓓ{p}ⓝW1.V1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓓ{p}ⓝW2.V2.T2 ➡[h] T.
 259 #h #p #G #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #V1 #HV01 #W1 #HW01 #T1 #HT01
 260 #V2 #HV02 #W2 #HW02 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 261 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #H1V0 #HL01
 262 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1W0 #H1T0
 263 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #H2V0 #HL02
 264 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2W0 #H2T0
 265 elim (IH … HV01 … HV02 … H1V0 … H2V0) -HV01 -HV02 /2 width=1 by/ #V #HV1 #HV2
 266 elim (IH … HW01 … HW02 … H1W0 … H2W0) /2 width=1/ #W #HW1 #HW2
 267 elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓛW1) … (L2.ⓛW2)) /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -V0 -W0 -T0 #T #HT1 #HT2
 268 lapply (lsubr_cpm_trans … HT1 (L1.ⓓⓝW1.V1) ?) -HT1 /2 width=1 by lsubr_beta/
 269 lapply (lsubr_cpm_trans … HT2 (L2.ⓓⓝW2.V2) ?) -HT2 /2 width=1 by lsubr_beta/
 270 /4 width=5 by cpm_bind, cpr_flat, ex2_intro/ (**) (* full auto not tried *)
 271 qed-.
 272
 273 fact cpr_conf_lfpr_theta_theta:
 274    ∀h,p,G,L0,V0,W0,T0. (
 275       ∀L,T. ⦃G, L0, ⓐV0.ⓓ{p}W0.T0⦄ ⊐+ ⦃G, L, T⦄ →
 276       ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T1 → ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h] T2 →
 277       ∀L1. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L1 → ∀L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡[h, T] L2 →
 278       ∃∃T0. ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T0 & ⦃G, L2⦄ ⊢ T2 ➡[h] T0
 279    ) →
 280    ∀V1. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V1 → ∀U1. ⬆*[1] V1 ≡ U1 →
 281    ∀W1. ⦃G, L0⦄ ⊢ W0 ➡[h] W1 → ∀T1. ⦃G, L0.ⓓW0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 →
 282    ∀V2. ⦃G, L0⦄ ⊢ V0 ➡[h] V2 → ∀U2. ⬆*[1] V2 ≡ U2 →
 283    ∀W2. ⦃G, L0⦄ ⊢ W0 ➡[h] W2 → ∀T2. ⦃G, L0.ⓓW0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T2 →
 284    ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓓ{p}W0.T0] L1 → ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, ⓐV0.ⓓ{p}W0.T0] L2 →
 285    ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓓ{p}W1.ⓐU1.T1 ➡[h] T & ⦃G, L2⦄ ⊢ ⓓ{p}W2.ⓐU2.T2 ➡[h] T.
 286 #h #p #G #L0 #V0 #W0 #T0 #IH #V1 #HV01 #U1 #HVU1 #W1 #HW01 #T1 #HT01
 287 #V2 #HV02 #U2 #HVU2 #W2 #HW02 #T2 #HT02 #L1 #HL01 #L2 #HL02
 288 elim (lfpr_inv_flat … HL01) -HL01 #H1V0 #HL01
 289 elim (lfpr_inv_bind … HL01) -HL01 #H1W0 #H1T0
 290 elim (lfpr_inv_flat … HL02) -HL02 #H2V0 #HL02
 291 elim (lfpr_inv_bind … HL02) -HL02 #H2W0 #H2T0
 292 elim (IH … HV01 … HV02 … H1V0 … H2V0) -HV01 -HV02 /2 width=1 by/ #V #HV1 #HV2
 293 elim (IH … HW01 … HW02 … H1W0 … H2W0) /2 width=1 by/
 294 elim (IH … HT01 … HT02 (L1.ⓓW1) … (L2.ⓓW2)) /2 width=4 by lfpr_pair_repl_dx/ -L0 -V0 -W0 -T0
 295 elim (cpm_lifts … HV1 … (L1.ⓓW1) … HVU1) -HVU1 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #U #HVU
 296 elim (cpm_lifts … HV2 … (L2.ⓓW2) … HVU2) -HVU2 /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ #X #HX
 297 lapply (lifts_mono … HX … HVU) -HX #H destruct
 298 /4 width=7 by cpm_bind, cpr_flat, ex2_intro/ (**) (* full auto not tried *)
 299 qed-.
 300
 301 theorem cpr_conf_lfpr: ∀h,G. R_confluent2_lfxs (cpm 0 h G) (cpm 0 h G) (cpm 0 h G) (cpm 0 h G).
 302 #h #G #L0 #T0 @(fqup_wf_ind_eq … G L0 T0) -G -L0 -T0 #G #L #T #IH #G0 #L0 * [| * ]
 303 [ #I0 #HG #HL #HT #T1 #H1 #T2 #H2 #L1 #HL01 #L2 #HL02 destruct
 304   elim (cpr_inv_atom1_drops … H1) -H1
 305   elim (cpr_inv_atom1_drops … H2) -H2
 306   [ #H2 #H1 destruct
 307     /2 width=1 by cpr_conf_lfpr_atom_atom/
 308   | * #K0 #V0 #V2 #i2 #HLK0 #HV02 #HVT2 #H2 #H1 destruct
 309     /3 width=10 by cpr_conf_lfpr_atom_delta/
 310   | #H2 * #K0 #V0 #V1 #i1 #HLK0 #HV01 #HVT1 #H1 destruct
 311     /4 width=10 by ex2_commute, cpr_conf_lfpr_atom_delta/
 312   | * #X #Y #V2 #z #H #HV02 #HVT2 #H2
 313     * #K0 #V0 #V1 #i #HLK0 #HV01 #HVT1 #H1 destruct
 314     /3 width=17 by cpr_conf_lfpr_delta_delta/
 315   ]
 316 | #p #I #V0 #T0 #HG #HL #HT #X1 #H1 #X2 #H2 #L1 #HL01 #L2 #HL02 destruct
 317   elim (cpm_inv_bind1 … H1) -H1 *
 318   [ #V1 #T1 #HV01 #HT01 #H1
 319   | #T1 #HT01 #HXT1 #H11 #H12
 320   ]
 321   elim (cpm_inv_bind1 … H2) -H2 *
 322   [1,3: #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H2
 323   |2,4: #T2 #HT02 #HXT2 #H21 #H22
 324   ] destruct
 325   [ /3 width=10 by cpr_conf_lfpr_bind_bind/
 326   | /4 width=11 by ex2_commute, cpr_conf_lfpr_bind_zeta/
 327   | /3 width=11 by cpr_conf_lfpr_bind_zeta/
 328   | /3 width=12 by cpr_conf_lfpr_zeta_zeta/
 329   ]
 330 | #I #V0 #T0 #HG #HL #HT #X1 #H1 #X2 #H2 #L1 #HL01 #L2 #HL02 destruct
 331   elim (cpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
 332   [ #V1 #T1 #HV01 #HT01 #H1
 333   | #HX1 #H1
 334   | #p1 #V1 #Y1 #W1 #Z1 #T1 #HV01 #HYW1 #HZT1 #H11 #H12 #H13
 335   | #p1 #V1 #U1 #Y1 #W1 #Z1 #T1 #HV01 #HVU1 #HYW1 #HZT1 #H11 #H12 #H13
 336   ]
 337   elim (cpr_inv_flat1 … H2) -H2 *
 338   [1,5,9,13: #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H2
 339   |2,6,10,14: #HX2 #H2
 340   |3,7,11,15: #p2 #V2 #Y2 #W2 #Z2 #T2 #HV02 #HYW2 #HZT2 #H21 #H22 #H23
 341   |4,8,12,16: #p2 #V2 #U2 #Y2 #W2 #Z2 #T2 #HV02 #HVU2 #HYW2 #HZT2 #H21 #H22 #H23
 342   ] destruct
 343   [ /3 width=10 by cpr_conf_lfpr_flat_flat/
 344   | /4 width=8 by ex2_commute, cpr_conf_lfpr_flat_epsilon/
 345   | /4 width=12 by ex2_commute, cpr_conf_lfpr_flat_beta/
 346   | /4 width=14 by ex2_commute, cpr_conf_lfpr_flat_theta/
 347   | /3 width=8 by cpr_conf_lfpr_flat_epsilon/
 348   | /3 width=8 by cpr_conf_lfpr_epsilon_epsilon/
 349   | /3 width=12 by cpr_conf_lfpr_flat_beta/
 350   | /3 width=13 by cpr_conf_lfpr_beta_beta/
 351   | /3 width=14 by cpr_conf_lfpr_flat_theta/
 352   | /3 width=17 by cpr_conf_lfpr_theta_theta/
 353   ]
 354 ]
 355 qed-.
 356
 357 (* Basic_1: includes: pr0_confluence pr2_confluence *)
 358 theorem cpr_conf: ∀h,G,L. confluent … (cpm 0 h G L).
 359 /2 width=6 by cpr_conf_lfpr/ qed-.
 360
 361 (* Properties with context-sensitive parallel r-transition for terms ********)
 362
 363 lemma lfpr_cpr_conf_dx: ∀h,G,L0,T0,T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 → ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, T0] L1 →
 364                         ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ T0 ➡[h] T & ⦃G, L1⦄ ⊢ T1 ➡[h] T.
 365 #h #G #L0 #T0 #T1 #HT01 #L1 #HL01
 366 elim (cpr_conf_lfpr … HT01 T0 … HL01 … HL01) /2 width=3 by ex2_intro/
 367 qed-.
 368
 369 lemma lfpr_cpr_conf_sn: ∀h,G,L0,T0,T1. ⦃G, L0⦄ ⊢ T0 ➡[h] T1 → ∀L1. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡[h, T0] L1 →
 370                         ∃∃T. ⦃G, L1⦄ ⊢ T0 ➡[h] T & ⦃G, L0⦄ ⊢ T1 ➡[h] T.
 371 #h #G #L0 #T0 #T1 #HT01 #L1 #HL01
 372 elim (cpr_conf_lfpr … HT01 T0 … L0 … HL01) /2 width=3 by ex2_intro/
 373 qed-.