matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_transition/rpx_reqx.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "static_2/static/reqx_drops.ma".
  16 include "static_2/static/reqx_fqup.ma".
  17 include "static_2/static/reqx_reqx.ma".
  18 include "basic_2/rt_transition/rpx_fsle.ma".
  19
  20 (* EXTENDED PARALLEL RT-TRANSITION FOR REFERRED LOCAL ENVIRONMENTS **********)
  21
  22 (* Properties with sort-irrelevant equivalence for local environments *******)
  23
  24 lemma rpx_pair_sn_split (G):
  25       ∀L1,L2,V. ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[V] L2 → ∀I,T.
  26       ∃∃L. ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[②[I]V.T] L & L ≛[V] L2.
  27 /3 width=5 by rpx_fsge_comp, rex_pair_sn_split/ qed-.
  28
  29 lemma rpx_flat_dx_split (G):
  30       ∀L1,L2,T. ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[T] L2 → ∀I,V.
  31       ∃∃L. ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[ⓕ[I]V.T] L & L ≛[T] L2.
  32 /3 width=5 by rpx_fsge_comp, rex_flat_dx_split/ qed-.
  33
  34 lemma rpx_bind_dx_split (G):
  35       ∀I,L1,L2,V1,T. ❪G,L1.ⓑ[I]V1❫ ⊢ ⬈[T] L2 → ∀p.
  36       ∃∃L,V. ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[ⓑ[p,I]V1.T] L & L.ⓑ[I]V ≛[T] L2 & ❪G,L1❫ ⊢ V1 ⬈ V.
  37 /3 width=5 by rpx_fsge_comp, rex_bind_dx_split/ qed-.
  38
  39 lemma rpx_bind_dx_split_void (G):
  40       ∀K1,L2,T. ❪G,K1.ⓧ❫ ⊢ ⬈[T] L2 → ∀p,I,V.
  41       ∃∃K2. ❪G,K1❫ ⊢ ⬈[ⓑ[p,I]V.T] K2 & K2.ⓧ ≛[T] L2.
  42 /3 width=5 by rpx_fsge_comp, rex_bind_dx_split_void/ qed-.
  43
  44 lemma rpx_teqx_conf (G): s_r_confluent1 … cdeq (rpx G).
  45 /2 width=5 by teqx_rex_conf/ qed-.
  46
  47 lemma rpx_teqx_div (G):
  48       ∀T1,T2. T1 ≛ T2 → ∀L1,L2. ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[T2] L2 → ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[T1] L2.
  49 /2 width=5 by teqx_rex_div/ qed-.
  50
  51 lemma cpx_teqx_repl_reqx (G) (L0) (T0):
  52       ∀T1. ❪G,L0❫ ⊢ T0 ⬈ T1 → ∀T2. T0 ≛ T2 → ∀T3. T1 ≛ T3 →
  53       ∀L2. L0 ≛[T0] L2 → ❪G,L2❫ ⊢ T2 ⬈ T3.
  54 #G #L0 #T0 #T1 #H @(cpx_ind … H) -G -L0 -T0 -T1
  55 [ * #x0 #G #L0 #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #_
  56   [ elim (teqx_inv_sort1 … HX2) -HX2 #x2 #H destruct
  57     elim (teqx_inv_sort1 … HX3) -HX3 #x3 #H destruct //
  58   | lapply (teqx_inv_lref1 … HX2) -HX2 #H destruct
  59     lapply (teqx_inv_lref1 … HX3) -HX3 #H destruct //
  60   | lapply (teqx_inv_gref1 … HX2) -HX2 #H destruct
  61     lapply (teqx_inv_gref1 … HX3) -HX3 #H destruct //
  62   ]
  63 | #G #L0 #s0 #s1 #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
  64   elim (teqx_inv_sort1 … HX2) -HX2 #s2 #H destruct
  65   elim (teqx_inv_sort1 … HX3) -HX3 #s3 #H destruct //
  66 | #I #G #K0 #V0 #V1 #W1 #_ #IH #HVW1 #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL2
  67   lapply (teqx_inv_lref1 … HX2) -HX2 #H destruct
  68   elim (reqx_inv_zero_pair_sn … HL2) -HL2 #K2 #V2 #HK02 #HV02 #H destruct
  69   elim (teqx_inv_lifts_sn … HX3 … HVW1) -W1 #V3 #HVX3 #HV13
  70   /3 width=3 by cpx_delta/
  71 | #I0 #G #K0 #V1 #W1 #i #_ #IH #HVW1 #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL2
  72   lapply (teqx_inv_lref1 … HX2) -HX2 #H destruct
  73   elim (reqx_inv_lref_bind_sn … HL2) -HL2 #I2 #K2 #HK02 #H destruct
  74   elim (teqx_inv_lifts_sn … HX3 … HVW1) -W1 #V3 #HVX3 #HV13
  75   /3 width=3 by cpx_lref/
  76 | #p #I #G #L0 #V0 #V1 #T0 #T1 #_ #_ #IHV #IHT #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
  77   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  78   elim (teqx_inv_pair1 … HX3) -HX3 #V3 #T3 #HV13 #HT13 #H destruct
  79   elim (reqx_inv_bind … HL02) -HL02 #HV0 #HT0
  80   lapply (reqx_bind_repl_dx … HT0 (BPair I V2) ?) -HT0
  81   /2 width=1 by ext2_pair/ #HT0
  82   /3 width=1 by cpx_bind/
  83 | #I #G #L0 #V0 #V1 #T0 #T1 #_ #_ #IHV #IHT #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
  84   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  85   elim (teqx_inv_pair1 … HX3) -HX3 #V3 #T3 #HV13 #HT13 #H destruct
  86   elim (reqx_inv_flat … HL02) -HL02 #HV0 #HT0
  87   /3 width=1 by cpx_flat/
  88 | #G #L0 #V0 #U0 #T0 #T1 #HTU0 #_ #IH #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
  89   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #U2 #HV02 #HU02 #H destruct
  90   elim (reqx_inv_bind … HL02) -HL02 #HV0 #HU0
  91   lapply (reqx_inv_lifts_bi … HU0 (Ⓣ) … HTU0) -HU0
  92   [6:|*: /3 width=2 by drops_refl, drops_drop/ ] #HT0
  93   elim (teqx_inv_lifts_sn … HU02 … HTU0) -U0 #T2 #HTU2 #HT02
  94   /3 width=3 by cpx_zeta/
  95 | #G #L0 #V0 #T0 #T1 #_ #IH #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
  96   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #T2 #_ #HT02 #H destruct
  97   elim (reqx_inv_flat … HL02) -HL02 #HV0 #HT0
  98   /3 width=1 by cpx_eps/
  99 | #G #L0 #V0 #T0 #T1 #_ #IH #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
 100   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #T2 #HV02 #_ #H destruct
 101   elim (reqx_inv_flat … HL02) -HL02 #HV0 #HT1
 102   /3 width=1 by cpx_ee/
 103 | #p #G #L0 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #_ #_ #_ #IHV #IHW #IHT #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
 104   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #X #HV02 #HX #H destruct
 105   elim (teqx_inv_pair1 … HX) -HX #W2 #T2 #HW02 #HT02 #H destruct
 106   elim (teqx_inv_pair1 … HX3) -HX3 #X #T3 #HX #HT13 #H destruct
 107   elim (teqx_inv_pair1 … HX) -HX #W3 #V3 #HW13 #HV13 #H destruct
 108   elim (reqx_inv_flat … HL02) -HL02 #HV0 #HL02
 109   elim (reqx_inv_bind … HL02) -HL02 #HW0 #HT0
 110   lapply (reqx_bind_repl_dx … HT0 (BPair Abst W2) ?) -HT0
 111   /2 width=1 by ext2_pair/ #H2T0
 112   /3 width=1 by cpx_beta/
 113 | #p #G #L0 #V0 #V1 #U1 #W0 #W1 #T0 #T1 #_ #_ #_ #IHV #IHW #IHT #HVU1 #X2 #HX2 #X3 #HX3 #L2 #HL02
 114   elim (teqx_inv_pair1 … HX2) -HX2 #V2 #X #HV02 #HX #H destruct
 115   elim (teqx_inv_pair1 … HX) -HX #W2 #T2 #HW02 #HT02 #H destruct
 116   elim (teqx_inv_pair1 … HX3) -HX3 #W3 #X #HW13 #HX #H destruct
 117   elim (teqx_inv_pair1 … HX) -HX #U3 #T3 #HU13 #HT13 #H destruct
 118   elim (reqx_inv_flat … HL02) -HL02 #HV0 #HL02
 119   elim (reqx_inv_bind … HL02) -HL02 #HW0 #HT0
 120   lapply (reqx_bind_repl_dx … HT0 (BPair Abbr W2) ?) -HT0
 121   /2 width=1 by ext2_pair/ #HT0
 122   elim (teqx_inv_lifts_sn … HU13 … HVU1) -U1 #V3 #HVU3 #HV13
 123   /3 width=3 by cpx_theta/
 124 ]
 125 qed-.
 126
 127 lemma cpx_teqx_conf (G) (L):
 128       ∀T0:term. ∀T1. ❪G,L❫ ⊢ T0 ⬈ T1 → ∀T2. T0 ≛ T2 → ❪G,L❫ ⊢ T2 ⬈ T1.
 129 /2 width=7 by cpx_teqx_repl_reqx/ qed-.
 130
 131 lemma teqx_cpx_trans (G) (L):
 132       ∀T2. ∀T0:term. T2 ≛ T0 → ∀T1. ❪G,L❫ ⊢ T0 ⬈ T1 → ❪G,L❫ ⊢ T2 ⬈ T1.
 133 /3 width=3 by cpx_teqx_conf, teqx_sym/
 134 qed-.
 135
 136 lemma teqx_cpx (G) (L):
 137       ∀T1,T2:term. T1 ≛ T2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬈ T2.
 138 /2 width=3 by teqx_cpx_trans/ qed.
 139
 140 (* Basic_2A1: uses: cpx_lleq_conf *)
 141 lemma cpx_reqx_conf (G):
 142       ∀L0,T0,T1. ❪G,L0❫ ⊢ T0 ⬈ T1 → ∀L2. L0 ≛[T0] L2 → ❪G,L2❫ ⊢ T0 ⬈ T1.
 143 /2 width=7 by cpx_teqx_repl_reqx/ qed-.
 144
 145 (* Basic_2A1: uses: lleq_cpx_trans *)
 146 lemma reqx_cpx_trans (G):
 147       ∀L2,L0,T0. L2 ≛[T0] L0 → ∀T1. ❪G,L0❫ ⊢ T0 ⬈ T1 → ❪G,L2❫ ⊢ T0 ⬈ T1.
 148 /3 width=3 by cpx_reqx_conf, reqx_sym/
 149 qed-.
 150
 151 lemma rpx_reqx_conf (G) (T):
 152       confluent1 … (rpx G T) (reqx T).
 153 /3 width=7 by reqx_fsge_comp, cpx_teqx_repl_reqx, rex_conf1/ qed-.
 154
 155 lemma reqx_rpx_trans (G) (T) (L):
 156       ∀L1. L1 ≛[T] L → ∀L2. ❪G,L❫ ⊢ ⬈[T] L2 → ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[T] L2.
 157 /3 width=3 by rpx_reqx_conf, reqx_sym/ qed-.
 158
 159 lemma reqx_rpx (G) (T):
 160       ∀L1,L2. L1 ≛[T] L2 → ❪G,L1❫ ⊢ ⬈[T] L2.
 161 /2 width=3 by reqx_rpx_trans/ qed.