matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/s_computation/fqus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/suptermstar_6.ma".
  16 include "basic_2/s_transition/fquq.ma".
  17
  18 (* STAR-ITERATED SUPCLOSURE *************************************************)
  19
  20 definition fqus: tri_relation genv lenv term ≝ tri_TC … fquq.
  21
  22 interpretation "star-iterated structural successor (closure)"
  23    'SupTermStar G1 L1 T1 G2 L2 T2 = (fqus G1 L1 T1 G2 L2 T2).
  24
  25 (* Basic eliminators ********************************************************)
  26
  27 lemma fqus_ind: ∀G1,L1,T1. ∀R:relation3 …. R G1 L1 T1 →
  28                 (∀G,G2,L,L2,T,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G, L, T⦄ → ⦃G, L, T⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ → R G L T → R G2 L2 T2) →
  29                 ∀G2,L2,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ → R G2 L2 T2.
  30 #G1 #L1 #T1 #R #IH1 #IH2 #G2 #L2 #T2 #H
  31 @(tri_TC_star_ind … IH1 IH2 G2 L2 T2 H) //
  32 qed-.
  33
  34 lemma fqus_ind_dx: ∀G2,L2,T2. ∀R:relation3 …. R G2 L2 T2 →
  35                    (∀G1,G,L1,L,T1,T. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G, L, T⦄ → ⦃G, L, T⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ → R G L T → R G1 L1 T1) →
  36                    ∀G1,L1,T1. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ → R G1 L1 T1.
  37 #G2 #L2 #T2 #R #IH1 #IH2 #G1 #L1 #T1 #H
  38 @(tri_TC_star_ind_dx … IH1 IH2 G1 L1 T1 H) //
  39 qed-.
  40
  41 (* Basic properties *********************************************************)
  42
  43 lemma fqus_refl: tri_reflexive … fqus.
  44 /2 width=1 by tri_inj/ qed.
  45
  46 lemma fquq_fqus: ∀G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ → ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
  47 /2 width=1 by tri_inj/ qed.
  48
  49 lemma fqus_strap1: ∀G1,G,G2,L1,L,L2,T1,T,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G, L, T⦄ → ⦃G, L, T⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  50                    ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
  51 /2 width=5 by tri_step/ qed-.
  52
  53 lemma fqus_strap2: ∀G1,G,G2,L1,L,L2,T1,T,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G, L, T⦄ → ⦃G, L, T⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  54                    ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
  55 /2 width=5 by tri_TC_strap/ qed-.
  56
  57 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  58
  59 lemma fqus_inv_fqu_sn: ∀G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  60                        (∧∧ G1 = G2 & L1 = L2 & T1 = T2) ∨
  61                        ∃∃G,L,T. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐ ⦃G, L, T⦄ & ⦃G, L, T⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
  62 #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H12 @(fqus_ind_dx … H12) -G1 -L1 -T1 /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
  63 #G1 #G #L1 #L #T1 #T * /3 width=5 by ex2_3_intro, or_intror/
  64 * #HG #HL #HT #_ destruct //
  65 qed-.
  66
  67 lemma fqus_inv_sort1: ∀G1,G2,L1,L2,T2,s. ⦃G1, L1, ⋆s⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  68                       (∧∧ G1 = G2 & L1 = L2 & ⋆s = T2) ∨
  69                       ∃∃J,L,V. ⦃G1, L, ⋆s⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ & L1 = L.ⓑ{J}V.
  70 #G1 #G2 #L1 #L2 #T2 #s #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
  71 #G #L #T #H elim (fqu_inv_sort1 … H) -H /3 width=5 by ex2_3_intro, or_intror/
  72 qed-.
  73
  74 lemma fqus_inv_lref1: ∀G1,G2,L1,L2,T2,i. ⦃G1, L1, #i⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  75                       ∨∨ ∧∧ G1 = G2 & L1 = L2 & #i = T2
  76                        | ∃∃J,L,V. ⦃G1, L, V⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ & L1 = L.ⓑ{J}V & i = 0
  77                        | ∃∃J,L,V,j. ⦃G1, L, #j⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ & L1 = L.ⓑ{J}V & i = ⫯j.
  78 #G1 #G2 #L1 #L2 #T2 #i #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or3_intro0/
  79 #G #L #T #H elim (fqu_inv_lref1 … H) -H * /3 width=7 by or3_intro1, or3_intro2, ex3_4_intro, ex3_3_intro/
  80 qed-.
  81
  82 lemma fqus_inv_gref1: ∀G1,G2,L1,L2,T2,l. ⦃G1, L1, §l⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  83                       (∧∧ G1 = G2 & L1 = L2 & §l = T2) ∨
  84                       ∃∃J,L,V. ⦃G1, L, §l⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ & L1 = L.ⓑ{J}V.
  85 #G1 #G2 #L1 #L2 #T2 #l #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
  86 #G #L #T #H elim (fqu_inv_gref1 … H) -H /3 width=5 by ex2_3_intro, or_intror/
  87 qed-.
  88
  89 lemma fqus_inv_bind1: ∀p,I,G1,G2,L1,L2,V1,T1,T2. ⦃G1, L1, ⓑ{p,I}V1.T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
  90                       ∨∨ ∧∧ G1 = G2 & L1 = L2 & ⓑ{p,I}V1.T1 = T2
  91                        | ⦃G1, L1, V1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄
  92                        | ⦃G1, L1.ⓑ{I}V1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄
  93                        | ∃∃J,L,V,T. ⦃G1, L, T⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ & ⬆*[1] T ≡ ⓑ{p,I}V1.T1 & L1 = L.ⓑ{J}V.
  94 #p #I #G1 #G2 #L1 #L2 #V1 #T1 #T2 #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or4_intro0/
  95 #G #L #T #H elim (fqu_inv_bind1 … H) -H *
  96 [3: #J #V ] #H1 #H2 #H3 #H destruct
  97 /3 width=7 by or4_intro1, or4_intro2, or4_intro3, ex3_4_intro/
  98 qed-.
  99
 100 lemma fqus_inv_flat1: ∀I,G1,G2,L1,L2,V1,T1,T2. ⦃G1, L1, ⓕ{I}V1.T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 101                       ∨∨ ∧∧ G1 = G2 & L1 = L2 & ⓕ{I}V1.T1 = T2
 102                        | ⦃G1, L1, V1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄
 103                        | ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄
 104                        | ∃∃J,L,V,T. ⦃G1, L, T⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ & ⬆*[1] T ≡ ⓕ{I}V1.T1 & L1 = L.ⓑ{J}V.
 105 #I #G1 #G2 #L1 #L2 #V1 #T1 #T2 #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or4_intro0/
 106 #G #L #T #H elim (fqu_inv_flat1 … H) -H *
 107 [3: #J #V ] #H1 #H2 #H3 #H destruct
 108 /3 width=7 by or4_intro1, or4_intro2, or4_intro3, ex3_4_intro/
 109 qed-.
 110
 111 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
 112
 113 lemma fqus_inv_atom1: ∀I,G1,G2,L2,T2. ⦃G1, ⋆, ⓪{I}⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 114                       ∧∧ G1 = G2 & ⋆ = L2 & ⓪{I} = T2.
 115 #I #G1 #G2 #L2 #T2 #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /2 width=1 by and3_intro/
 116 #G #L #T #H elim (fqu_inv_atom1 … H)
 117 qed-.
 118
 119 lemma fqus_inv_sort1_pair: ∀I,G1,G2,L1,L2,V1,T2,s. ⦃G1, L1.ⓑ{I}V1, ⋆s⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 120                            (∧∧ G1 = G2 & L1.ⓑ{I}V1 = L2 & ⋆s = T2) ∨ ⦃G1, L1, ⋆s⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
 121 #I #G1 #G2 #L1 #L2 #V #T2 #s #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
 122 #G #L #T #H elim (fqu_inv_sort1_pair … H) -H
 123 #H1 #H2 #H3 #H destruct /2 width=1 by or_intror/
 124 qed-.
 125
 126 lemma fqus_inv_zero1_pair: ∀I,G1,G2,L1,L2,V1,T2. ⦃G1, L1.ⓑ{I}V1, #0⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 127                            (∧∧ G1 = G2 & L1.ⓑ{I}V1 = L2 & #0 = T2) ∨ ⦃G1, L1, V1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
 128 #I #G1 #G2 #L1 #L2 #V1 #T2 #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
 129 #G #L #T #H elim (fqu_inv_zero1_pair … H) -H
 130 #H1 #H2 #H3 #H destruct /2 width=1 by or_intror/
 131 qed-.
 132
 133 lemma fqus_inv_lref1_pair: ∀I,G1,G2,L1,L2,V1,T2,i. ⦃G1, L1.ⓑ{I}V1, #⫯i⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 134                            (∧∧ G1 = G2 & L1.ⓑ{I}V1 = L2 & #(⫯i) = T2) ∨ ⦃G1, L1, #i⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
 135 #I #G1 #G2 #L1 #L2 #V #T2 #i #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
 136 #G #L #T #H elim (fqu_inv_lref1_pair … H) -H
 137 #H1 #H2 #H3 #H destruct /2 width=1 by or_intror/
 138 qed-.
 139
 140 lemma fqus_inv_gref1_pair: ∀I,G1,G2,L1,L2,V1,T2,l. ⦃G1, L1.ⓑ{I}V1, §l⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 141                            (∧∧ G1 = G2 & L1.ⓑ{I}V1 = L2 & §l = T2) ∨ ⦃G1, L1, §l⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄.
 142 #I #G1 #G2 #L1 #L2 #V #T2 #l #H elim (fqus_inv_fqu_sn … H) -H * /3 width=1 by and3_intro, or_introl/
 143 #G #L #T #H elim (fqu_inv_gref1_pair … H) -H
 144 #H1 #H2 #H3 #H destruct /2 width=1 by or_intror/
 145 qed-.
 146
 147 (* Basic_2A1: removed theorems 1: fqus_drop *)