matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/static/aaa.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/grammar/aarity.ma".
  16 include "basic_2/substitution/ldrop.ma".
  17
  18 (* ATONIC ARITY ASSIGNMENT ON TERMS *****************************************)
  19
  20 inductive aaa: lenv → term → predicate aarity ≝
  21 | aaa_sort: ∀L,k. aaa L (⋆k) (⓪)
  22 | aaa_lref: ∀I,L,K,V,B,i. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓑ{I} V → aaa K V B → aaa L (#i) B
  23 | aaa_abbr: ∀a,L,V,T,B,A.
  24             aaa L V B → aaa (L. ⓓV) T A → aaa L (ⓓ{a}V. T) A
  25 | aaa_abst: ∀a,L,V,T,B,A.
  26             aaa L V B → aaa (L. ⓛV) T A → aaa L (ⓛ{a}V. T) (②B. A)
  27 | aaa_appl: ∀L,V,T,B,A. aaa L V B → aaa L T (②B. A) → aaa L (ⓐV. T) A
  28 | aaa_cast: ∀L,V,T,A. aaa L V A → aaa L T A → aaa L (ⓝV. T) A
  29 .
  30
  31 interpretation "atomic arity assignment (term)"
  32    'AtomicArity L T A = (aaa L T A).
  33
  34 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  35
  36 fact aaa_inv_sort_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀k. T = ⋆k → A = ⓪.
  37 #L #T #A * -L -T -A
  38 [ //
  39 | #I #L #K #V #B #i #_ #_ #k #H destruct
  40 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #k #H destruct
  41 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #k #H destruct
  42 | #L #V #T #B #A #_ #_ #k #H destruct
  43 | #L #V #T #A #_ #_ #k #H destruct
  44 ]
  45 qed.
  46
  47 lemma aaa_inv_sort: ∀L,A,k. L ⊢ ⋆k ⁝ A → A = ⓪.
  48 /2 width=5/ qed-.
  49
  50 fact aaa_inv_lref_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀i. T = #i →
  51                        ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓑ{I} V & K ⊢ V ⁝ A.
  52 #L #T #A * -L -T -A
  53 [ #L #k #i #H destruct
  54 | #I #L #K #V #B #j #HLK #HB #i #H destruct /2 width=5/
  55 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #i #H destruct
  56 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #i #H destruct
  57 | #L #V #T #B #A #_ #_ #i #H destruct
  58 | #L #V #T #A #_ #_ #i #H destruct
  59 ]
  60 qed.
  61
  62 lemma aaa_inv_lref: ∀L,A,i. L ⊢ #i ⁝ A →
  63                     ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓑ{I} V & K ⊢ V ⁝ A.
  64 /2 width=3/ qed-.
  65
  66 fact aaa_inv_gref_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀p. T = §p → ⊥.
  67 #L #T #A * -L -T -A
  68 [ #L #k #q #H destruct
  69 | #I #L #K #V #B #i #HLK #HB #q #H destruct
  70 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #q #H destruct
  71 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #q #H destruct
  72 | #L #V #T #B #A #_ #_ #q #H destruct
  73 | #L #V #T #A #_ #_ #q #H destruct
  74 ]
  75 qed.
  76
  77 lemma aaa_inv_gref: ∀L,A,p. L ⊢ §p ⁝ A → ⊥.
  78 /2 width=6/ qed-.
  79
  80 fact aaa_inv_abbr_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀a,W,U. T = ⓓ{a}W. U →
  81                        ∃∃B. L ⊢ W ⁝ B & L. ⓓW ⊢ U ⁝ A.
  82 #L #T #A * -L -T -A
  83 [ #L #k #a #W #U #H destruct
  84 | #I #L #K #V #B #i #_ #_ #a #W #U #H destruct
  85 | #b #L #V #T #B #A #HV #HT #a #W #U #H destruct /2 width=2/
  86 | #b #L #V #T #B #A #_ #_ #a #W #U #H destruct
  87 | #L #V #T #B #A #_ #_ #a #W #U #H destruct
  88 | #L #V #T #A #_ #_ #a #W #U #H destruct
  89 ]
  90 qed.
  91
  92 lemma aaa_inv_abbr: ∀a,L,V,T,A. L ⊢ ⓓ{a}V. T ⁝ A →
  93                     ∃∃B. L ⊢ V ⁝ B & L. ⓓV ⊢ T ⁝ A.
  94 /2 width=4/ qed-.
  95
  96 fact aaa_inv_abst_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀a,W,U. T = ⓛ{a}W. U →
  97                        ∃∃B1,B2. L ⊢ W ⁝ B1 & L. ⓛW ⊢ U ⁝ B2 & A = ②B1. B2.
  98 #L #T #A * -L -T -A
  99 [ #L #k #a #W #U #H destruct
 100 | #I #L #K #V #B #i #_ #_ #a #W #U #H destruct
 101 | #b #L #V #T #B #A #_ #_ #a #W #U #H destruct
 102 | #b #L #V #T #B #A #HV #HT #a #W #U #H destruct /2 width=5/
 103 | #L #V #T #B #A #_ #_ #a #W #U #H destruct
 104 | #L #V #T #A #_ #_ #a #W #U #H destruct
 105 ]
 106 qed.
 107
 108 lemma aaa_inv_abst: ∀a,L,W,T,A. L ⊢ ⓛ{a}W. T ⁝ A →
 109                     ∃∃B1,B2. L ⊢ W ⁝ B1 & L. ⓛW ⊢ T ⁝ B2 & A = ②B1. B2.
 110 /2 width=4/ qed-.
 111
 112 fact aaa_inv_appl_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀W,U. T = ⓐW. U →
 113                        ∃∃B. L ⊢ W ⁝ B & L ⊢ U ⁝ ②B. A.
 114 #L #T #A * -L -T -A
 115 [ #L #k #W #U #H destruct
 116 | #I #L #K #V #B #i #_ #_ #W #U #H destruct
 117 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #W #U #H destruct
 118 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #W #U #H destruct
 119 | #L #V #T #B #A #HV #HT #W #U #H destruct /2 width=3/
 120 | #L #V #T #A #_ #_ #W #U #H destruct
 121 ]
 122 qed.
 123
 124 lemma aaa_inv_appl: ∀L,V,T,A. L ⊢ ⓐV. T ⁝ A →
 125                     ∃∃B. L ⊢ V ⁝ B & L ⊢ T ⁝ ②B. A.
 126 /2 width=3/ qed-.
 127
 128 fact aaa_inv_cast_aux: ∀L,T,A. L ⊢ T ⁝ A → ∀W,U. T = ⓝW. U →
 129                        L ⊢ W ⁝ A ∧ L ⊢ U ⁝ A.
 130 #L #T #A * -L -T -A
 131 [ #L #k #W #U #H destruct
 132 | #I #L #K #V #B #i #_ #_ #W #U #H destruct
 133 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #W #U #H destruct
 134 | #a #L #V #T #B #A #_ #_ #W #U #H destruct
 135 | #L #V #T #B #A #_ #_ #W #U #H destruct
 136 | #L #V #T #A #HV #HT #W #U #H destruct /2 width=1/
 137 ]
 138 qed.
 139
 140 lemma aaa_inv_cast: ∀L,W,T,A. L ⊢ ⓝW. T ⁝ A →
 141                     L ⊢ W ⁝ A ∧ L ⊢ T ⁝ A.
 142 /2 width=3/ qed-.