matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/static/frees_drops.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/relocation/rtmap_pushs.ma".
  16 include "ground_2/relocation/rtmap_coafter.ma".
  17 include "basic_2/relocation/drops_drops.ma".
  18 include "basic_2/static/frees.ma".
  19
  20 (* CONTEXT-SENSITIVE FREE VARIABLES *****************************************)
  21
  22 (* Advanced properties ******************************************************)
  23
  24 lemma frees_lref_atom: ∀b,L,i. ⬇*[b, 𝐔❴i❵] L ≡ ⋆ →
  25                        ∀f. 𝐈⦃f⦄ → L ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ f.
  26 #b #L elim L -L /2 width=1 by frees_atom/
  27 #L #I #V #IH *
  28 [ #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H // #H destruct
  29 | /5 width=3 by frees_eq_repl_back, frees_lref, drops_inv_drop1, eq_push_inv_isid/
  30 ]
  31 qed.
  32
  33 lemma frees_lref_pair: ∀f,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ f →
  34                        ∀i,I,L. ⬇*[i] L ≡ K.ⓑ{I}V → L ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ ↑*[i] ⫯f.
  35 #f #K #V #Hf #i elim i -i
  36 [ #I #L #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H /2 width=1 by frees_zero/
  37 | #i #IH #I #L #H elim (drops_inv_succ … H) -H /3 width=2 by frees_lref/
  38 ]
  39 qed.
  40
  41 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  42
  43 lemma frees_inv_lref_drops: ∀i,f,L. L ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ f →
  44                             (⬇*[Ⓕ, 𝐔❴i❵] L ≡ ⋆ ∧ 𝐈⦃f⦄) ∨
  45                             ∃∃g,I,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ g &
  46                                        ⬇*[i] L ≡ K.ⓑ{I}V & f = ↑*[i] ⫯g.
  47 #i elim i -i
  48 [ #f #L #H elim (frees_inv_zero … H) -H *
  49   /4 width=7 by ex3_4_intro, or_introl, or_intror, conj, drops_refl/
  50 | #i #IH #f #L #H elim (frees_inv_lref … H) -H * /3 width=1 by or_introl, conj/
  51   #g #I #K #V #Hg #H1 #H2 destruct
  52   elim (IH … Hg) -IH -Hg *
  53   [ /4 width=3 by or_introl, conj, isid_push, drops_drop/
  54   | /4 width=7 by drops_drop, ex3_4_intro, or_intror/
  55   ]
  56 ]
  57 qed-.
  58
  59 (* Properties with generic slicing for local environments *******************)
  60
  61 axiom coafter_inv_xpx: ∀g2,f1,g. g2 ~⊚ ↑f1 ≡ g → ∀n. @⦃0, g2⦄ ≡ n →
  62                        ∃∃f2,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f & ⫱*[n]g2 = ↑f2 & ⫱*[n]g = ↑f.
  63 (*
  64 #g2 #g1 #g #Hg #n #Hg2
  65 lapply (coafter_tls … Hg2 … Hg) -Hg #Hg
  66 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
  67 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
  68 elim (coafter_inv_pxx … Hg … H2) -Hg * #f1 #f #Hf #H1 #H0 destruct
  69 <tls_rew_S <tls_rew_S <H2 <H0 -g2 -g -n //
  70 qed.
  71 *)
  72
  73 lemma coafter_tls_succ: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ g →
  74                         ∀n. @⦃0, g2⦄ ≡ n → ⫱*[⫯n]g2 ~⊚ ⫱g1 ≡ ⫱*[⫯n]g.
  75 #g2 #g1 #g #Hg #n #Hg2
  76 lapply (coafter_tls … Hg2 … Hg) -Hg #Hg
  77 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
  78 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
  79 elim (coafter_inv_pxx … Hg … H2) -Hg * #f1 #f #Hf #H1 #H0 destruct
  80 <tls_rew_S <tls_rew_S <H2 <H0 -g2 -g -n //
  81 qed.
  82
  83 lemma frees_lifts: ∀b,f1,K,T. K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 →
  84                    ∀f,L. ⬇*[b, f] L ≡ K → ∀U. ⬆*[f] T ≡ U →
  85                    ∀f2. f ~⊚ f1 ≡ f2 → L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2.
  86 #b #f1 #K #T #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f1 -K -T
  87 [ #f1 #I #Hf1 #_ #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
  88   lapply (coafter_isid_inv_dx … H3 … Hf1) -f1 #Hf2
  89   elim (lifts_inv_atom1 … H2) -H2 *
  90   /2 width=1 by frees_sort_gen, frees_gref_gen/
  91   #i #j #Hij #H #H0 destruct
  92   elim (drops_inv_atom2 … H1) -H1 #n #g #H1 #Hf
  93   elim (after_at_fwd … Hij … Hf) -f #x #_ #Hj -g -i
  94   lapply (at_inv_uni … Hj) -Hj #H destruct
  95   /3 width=8 by frees_lref_atom, drops_trans/
  96 | #f1 #I #K #V #s #_ #IH #Hf1 #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
  97   lapply (isfin_fwd_push … Hf1 ??) -Hf1 [3: |*: // ] #Hf1
  98   lapply (lifts_inv_sort1 … H2) -H2 #H destruct
  99   lapply (at_total 0 f) #H
 100   elim (drops_split_trans … H1) -H1
 101   [5: @(after_uni_dx … H) /2 width=1 by after_isid_dx/ |2,3: skip
 102   |4: // ] #X #HLX #HXK
 103   lapply (drops_inv_tls_at … H … HXK) -HXK #HXK
 104   elim (drops_inv_skip2 … HXK) -HXK
 105   #Y #W #HYK #HVW #H0 destruct
 106 (*
 107
 108   elim (coafter_inv_xpx … H3 ??) -H3 [ |*: // ] #g2 #g #Hg #H2 #H0
 109   lapply (IH … Hg) -IH -Hg
 110   [1,5: // | skip
 111   |
 112   |6: #H
 113 *)
 114
 115   lapply (coafter_tls_succ … H3 ??) -H3 [3: |*: // ] #H3
 116   lapply (IH … HYK … H3) -IH -H3 -HYK
 117   [1,3: // | skip ]
 118   #H lapply (frees_sort … H)
 119
 120    ]
 121
 122
 123   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 124   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 125     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 126   | #g #Hf2 #H destruct
 127     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 128   ] /3 width=4 by frees_sort/
 129
 130 |
 131 |
 132 |
 133 | #f1V #f1T #f1 #p #I #K #V #T #_ #_ #H1f1 #IHV #IHT #H2f1 #f #L #H1 #Y #H2 #f2 #H3
 134   elim (sor_inv_isfin3 … H1f1) // #Hf1V #H
 135   lapply (isfin_inv_tl … H) -H
 136   elim (lifts_inv_bind1 … H2) -H2 #W #U #HVW #HTU #H destruct
 137   elim (coafter_sor … H3 … H1f1) /2 width=5 by coafter_isfin2_fwd/ -H3 -H1f1 #f2V #f2T #Hf2V #H
 138   elim (coafter_inv_tl1 … H) -H /4 width=5 by frees_bind, drops_skip/
 139 | #f1V #f1T #f1 #I #K #V #T #_ #_ #H1f1 #IHV #IHT #H2f1 #f #L #H1 #Y #H2 #f2 #H3
 140   elim (sor_inv_isfin3 … H1f1) //
 141   elim (lifts_inv_flat1 … H2) -H2 #W #U #HVW #HTU #H destruct
 142   elim (coafter_sor … H3 … H1f1)
 143   /3 width=5 by coafter_isfin2_fwd, frees_flat/
 144 ]
 145
 146 (* Inversion lemmas with generic slicing for local environments *************)
 147
 148 lemma frees_inv_lifts: ∀b,f2,L,U. L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2 →
 149                        ∀f,K. ⬇*[b, f] L ≡ K → ∀T. ⬆*[f] T ≡ U →
 150                        ∀f1. f ~⊚ f1 ≡ f2 → K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1.
 151 #b #f2 #L #U #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f2 -L -U
 152 [ #f2 #I #Hf2 #_ #f #K #H1 #T #H2 #f1 #H3
 153   lapply (coafter_fwd_isid2 … H3 … Hf2) -H3 // -Hf2 #Hf1
 154   elim (drops_inv_atom1 … H1) -H1 #H #_ destruct
 155   elim (lifts_inv_atom2 … H2) -H2 * /2 width=3 by frees_atom/
 156 | #f2 #I #L #W #s #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 157   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 158   lapply (lifts_inv_sort2 … H2) -H2 #H destruct
 159   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 160   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 161     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 162   | #g #Hf2 #H destruct
 163     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 164   ] /3 width=4 by frees_sort/
 165 | #f2 #I #L #W #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 166   lapply (isfin_inv_next … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 167   elim (lifts_inv_lref2 … H2) -H2 #i #H2 #H destruct
 168   lapply (at_inv_xxp … H2 ?) -H2 // * #g #H #H0 destruct
 169   elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #HVW #H destruct
 170   elim (coafter_inv_pxn … H3) -H3 [ |*: // ] #g1 #Hf2 #H destruct
 171   /3 width=4 by frees_zero/
 172 | #f2 #I #L #W #j #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 173   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 174   elim (lifts_inv_lref2 … H2) -H2 #x #H2 #H destruct
 175   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 176   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 177     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #HVW #H destruct
 178     elim (at_inv_xpn … H2) -H2 [ |*: // ] #j #Hg #H destruct
 179   | #g #Hf2 #H destruct
 180     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 181     lapply (at_inv_xnn … H2 ????) -H2 [5: |*: // ]
 182   ] /4 width=4 by lifts_lref, frees_lref/
 183 | #f2 #I #L #W #l #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 184   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 185   lapply (lifts_inv_gref2 … H2) -H2 #H destruct
 186   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 187   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 188     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 189   | #g #Hf2 #H destruct
 190     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 191   ] /3 width=4 by frees_gref/
 192 | #f2W #f2U #f2 #p #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #X #H2 #f1 #H3
 193   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H
 194   lapply (isfin_inv_tl … H) -H
 195   elim (lifts_inv_bind2 … H2) -H2 #V #T #HVW #HTU #H destruct
 196   elim (coafter_inv_sor … H3 … H1f2) -H3 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H
 197   elim (coafter_inv_tl0 … H) -H /4 width=5 by frees_bind, drops_skip/
 198 | #f2W #f2U #f2 #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #X #H2 #f1 #H3
 199   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) //
 200   elim (lifts_inv_flat2 … H2) -H2 #V #T #HVW #HTU #H destruct
 201   elim (coafter_inv_sor … H3 … H1f2) -H3 -H1f2 /3 width=5 by frees_flat/
 202 ]
 203 qed-.
 204
 205 lemma frees_inv_drops: ∀f2,L,U. L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2 →
 206                        ∀f,K. ⬇*[Ⓣ, f] L ≡ K → ∀f1. f ~⊚ f1 ≡ f2 →
 207                        ∃∃T. K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 & ⬆*[f] T ≡ U.
 208 #f2 #L #U #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f2 -L -U
 209 [ #f2 #I #Hf2 #_ #f #K #H1 #f1 #H2
 210   lapply (coafter_fwd_isid2 … H2 ??) -H2 // -Hf2 #Hf1
 211   elim (drops_inv_atom1 … H1) -H1 #H #Hf destruct
 212   /4 width=3 by frees_atom, lifts_refl, ex2_intro/
 213 | #f2 #I #L #W #s #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 214   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 215   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
 216   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 217     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 218   | #g #Hf2 #H destruct
 219     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
 220   ]
 221   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 222   lapply (lifts_inv_sort2 … HX) -HX #H destruct
 223   /3 width=3 by frees_sort, lifts_sort, ex2_intro/
 224 | #f2 #I #L #W #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 225   lapply (isfin_inv_next … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 226   elim (coafter_inv_xxn … H2) -H2 [ |*: // ] #g #g1 #Hf2 #H0 #H destruct
 227   elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #HVW #H destruct
 228   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 229   lapply (lifts_inj … HX … HVW) -W #H destruct
 230   /3 width=3 by frees_zero, lifts_lref, ex2_intro/
 231 | #f2 #I #L #W #j #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 232   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 233   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
 234   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 235     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 236   | #g #Hf2 #H destruct
 237     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
 238   ]
 239   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 240   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #i #Hij #H destruct
 241   /4 width=7 by frees_lref, lifts_lref, at_S1, at_next, ex2_intro/
 242 | #f2 #I #L #W #l #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 243   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 244   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
 245   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 246     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 247   | #g #Hf2 #H destruct
 248     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
 249   ]
 250   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 251   lapply (lifts_inv_gref2 … HX) -HX #H destruct
 252   /3 width=3 by frees_gref, lifts_gref, ex2_intro/
 253 | #f2W #f2U #f2 #p #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #f1 #H2
 254   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H
 255   lapply (isfin_inv_tl … H) -H #H1f2U
 256   elim (coafter_inv_sor … H2 … H1f2) -H2 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H #Hf1
 257   elim (coafter_inv_tl0 … H) -H #g1 #H2f2U #H destruct
 258   elim (IHW … H1 … H2f2W) -IHW -H2f2W // -H1f2W #V #Hf1W #HVW
 259   elim (IHU … H2f2U) -IHU -H2f2U
 260   /3 width=5 by frees_bind, drops_skip, lifts_bind, ex2_intro/
 261 | #f2W #f2U #f2 #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #f1 #H2
 262   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H1f2U
 263   elim (coafter_inv_sor … H2 … H1f2) -H2 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H2f2U #Hf1
 264   elim (IHW … H1 … H2f2W) -IHW -H2f2W // -H1f2W
 265   elim (IHU … H1 … H2f2U) -L -H2f2U
 266   /3 width=5 by frees_flat, lifts_flat, ex2_intro/
 267 ]
 268 qed-.