matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/static/frees_drops.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/relocation/nstream_coafter.ma".
  16 include "basic_2/relocation/drops_drops.ma".
  17 include "basic_2/static/frees_frees.ma".
  18
  19 (* CONTEXT-SENSITIVE FREE VARIABLES *****************************************)
  20
  21 (* Advanced properties ******************************************************)
  22
  23 lemma frees_lref_atom: ∀b,L,i. ⬇*[b, 𝐔❴i❵] L ≡ ⋆ →
  24                        ∀f. 𝐈⦃f⦄ → L ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ f.
  25 #b #L elim L -L /2 width=1 by frees_atom/
  26 #L #I #V #IH *
  27 [ #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H // #H destruct
  28 | /5 width=3 by frees_eq_repl_back, frees_lref, drops_inv_drop1, eq_push_inv_isid/
  29 ]
  30 qed.
  31
  32 lemma frees_lref_pair: ∀f,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ f →
  33                        ∀i,I,L. ⬇*[i] L ≡ K.ⓑ{I}V → L ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ ↑*[i] ⫯f.
  34 #f #K #V #Hf #i elim i -i
  35 [ #I #L #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H /2 width=1 by frees_zero/
  36 | #i #IH #I #L #H elim (drops_inv_succ … H) -H /3 width=2 by frees_lref/
  37 ]
  38 qed.
  39
  40 lemma frees_sort_pushs: ∀f,K,s. K ⊢ 𝐅*⦃⋆s⦄ ≡ f →
  41                         ∀i,L. ⬇*[i] L ≡ K → L ⊢ 𝐅*⦃⋆s⦄ ≡ ↑*[i] f.
  42 #f #K #s #Hf #i elim i -i
  43 [ #L #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H //
  44 | #i #IH #L #H elim (drops_inv_succ … H) -H /3 width=1 by frees_sort/
  45 ]
  46 qed.
  47
  48 lemma frees_lref_pushs: ∀f,K,j. K ⊢ 𝐅*⦃#j⦄ ≡ f →
  49                         ∀i,L. ⬇*[i] L ≡ K → L ⊢ 𝐅*⦃#(i+j)⦄ ≡ ↑*[i] f.
  50 #f #K #j #Hf #i elim i -i
  51 [ #L #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H //
  52 | #i #IH #L #H elim (drops_inv_succ … H) -H
  53   #I #Y #V #HYK #H destruct /3 width=1 by frees_lref/
  54 ]
  55 qed.
  56
  57 lemma frees_gref_pushs: ∀f,K,l. K ⊢ 𝐅*⦃§l⦄ ≡ f →
  58                         ∀i,L. ⬇*[i] L ≡ K → L ⊢ 𝐅*⦃§l⦄ ≡ ↑*[i] f.
  59 #f #K #l #Hf #i elim i -i
  60 [ #L #H lapply (drops_fwd_isid … H ?) -H //
  61 | #i #IH #L #H elim (drops_inv_succ … H) -H /3 width=1 by frees_gref/
  62 ]
  63 qed.
  64
  65 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  66
  67 lemma frees_inv_lref_drops: ∀i,f,L. L ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ f →
  68                             (⬇*[Ⓕ, 𝐔❴i❵] L ≡ ⋆ ∧ 𝐈⦃f⦄) ∨
  69                             ∃∃g,I,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ g &
  70                                        ⬇*[i] L ≡ K.ⓑ{I}V & f = ↑*[i] ⫯g.
  71 #i elim i -i
  72 [ #f #L #H elim (frees_inv_zero … H) -H *
  73   /4 width=7 by ex3_4_intro, or_introl, or_intror, conj, drops_refl/
  74 | #i #IH #f #L #H elim (frees_inv_lref … H) -H * /3 width=1 by or_introl, conj/
  75   #g #I #K #V #Hg #H1 #H2 destruct
  76   elim (IH … Hg) -IH -Hg *
  77   [ /4 width=3 by or_introl, conj, isid_push, drops_drop/
  78   | /4 width=7 by drops_drop, ex3_4_intro, or_intror/
  79   ]
  80 ]
  81 qed-.
  82
  83 (* Properties with generic slicing for local environments *******************)
  84
  85 lemma frees_lifts: ∀b,f1,K,T. K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 →
  86                    ∀f,L. ⬇*[b, f] L ≡ K → ∀U. ⬆*[f] T ≡ U →
  87                    ∀f2. f ~⊚ f1 ≡ f2 → L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2.
  88 #b #f1 #K #T #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f1 -K -T
  89 [ #f1 #I #Hf1 #_ #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
  90   lapply (coafter_isid_inv_dx … H3 … Hf1) -f1 #Hf2
  91   elim (lifts_inv_atom1 … H2) -H2 *
  92   /2 width=1 by frees_sort_gen, frees_gref_gen/
  93   #i #j #Hij #H #H0 destruct
  94   elim (drops_inv_atom2 … H1) -H1 #n #g #H1 #Hf
  95   elim (after_at_fwd … Hij … Hf) -f #x #_ #Hj -g -i
  96   lapply (at_inv_uni … Hj) -Hj #H destruct
  97   /3 width=8 by frees_lref_atom, drops_trans/
  98 | #f1 #I #K #V #s #_ #IH #Hf1 #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
  99   lapply (isfin_fwd_push … Hf1 ??) -Hf1 [3: |*: // ] #Hf1
 100   lapply (lifts_inv_sort1 … H2) -H2 #H destruct
 101   elim (drops_split_trans_pair2 … H1) -H1 [ |*: // ] #Y #W #HLY #HYK #_
 102   elim (coafter_fwd_xpx_pushs … H3) [ |*: // ] #g2 #H2 destruct
 103   lapply (coafter_tls_succ … H3 ??) -H3 [3: |*: // ] #H3
 104   lapply (IH … HYK … H3) -IH -H3 -HYK [1,3: // | skip ]
 105   /3 width=5 by drops_isuni_fwd_drop2, frees_sort_pushs/
 106 | #f1 #I #K #V #_ #IH #Hf1 #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
 107   lapply (isfin_inv_next … Hf1 ??) -Hf1 [3: |*: // ] #Hf1
 108   lapply (lifts_inv_lref1 … H2) -H2 * #j #Hf #H destruct
 109   elim (drops_split_trans_pair2 … H1) -H1 [ |*: // ] #Y #W #HLY #HYK #HVW
 110   elim (coafter_fwd_xnx_pushs … H3) [ |*: // ] #g2 #H2 destruct
 111   lapply (coafter_tls_succ … H3 ??) -H3 [3: |*: // ]
 112   <tls_S in ⊢ (???%→?); <tls_pushs <tl_next_rew <tl_next_rew #H3
 113   lapply (IH … HYK … HVW … H3) -IH -H3 -HYK -HVW //
 114   /2 width=5 by frees_lref_pair/
 115 | #f1 #I #K #V #i #_ #IH #Hf1 #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
 116   lapply (isfin_fwd_push … Hf1 ??) -Hf1 [3: |*: // ] #Hf1
 117   lapply (lifts_inv_lref1 … H2) -H2 * #x #Hf #H destruct
 118   elim (at_inv_nxx … Hf) -Hf [ |*: // ] #j #Hf #H destruct
 119   elim (drops_split_trans_pair2 … H1) -H1 [ |*: // ] #Y #W #HLY #HYK #_
 120   elim (coafter_fwd_xpx_pushs … H3) [ |*: // ] #g2 #H2 destruct
 121   lapply (coafter_tls_succ … H3 ??) -H3 [3: |*: // ] <tls_pushs #H3
 122   lapply (drops_isuni_fwd_drop2 … HLY) -HLY // #HLY
 123   lapply (IH … HYK … H3) -IH -H3 -HYK [4: |*: /2 width=2 by lifts_lref/ ]
 124   >plus_S1 /2 width=3 by frees_lref_pushs/ (**) (* full auto fails *)
 125 | #f1 #I #K #V #l #_ #IH #Hf1 #f #L #H1 #U #H2 #f2 #H3
 126   lapply (isfin_fwd_push … Hf1 ??) -Hf1 [3: |*: // ] #Hf1
 127   lapply (lifts_inv_gref1 … H2) -H2 #H destruct
 128   elim (drops_split_trans_pair2 … H1) -H1 [ |*: // ] #Y #W #HLY #HYK #_
 129   elim (coafter_fwd_xpx_pushs … H3) [ |*: // ] #g2 #H2 destruct
 130   lapply (coafter_tls_succ … H3 ??) -H3 [3: |*: // ] #H3
 131   lapply (IH … HYK … H3) -IH -H3 -HYK [1,3: // | skip ]
 132   /3 width=5 by drops_isuni_fwd_drop2, frees_gref_pushs/
 133 | #f1V #f1T #f1 #p #I #K #V #T #_ #_ #H1f1 #IHV #IHT #H2f1 #f #L #H1 #Y #H2 #f2 #H3
 134   elim (sor_inv_isfin3 … H1f1) // #Hf1V #H
 135   lapply (isfin_inv_tl … H) -H
 136   elim (lifts_inv_bind1 … H2) -H2 #W #U #HVW #HTU #H destruct
 137   elim (coafter_sor … H3 … H1f1) /2 width=5 by coafter_isfin2_fwd/ -H3 -H1f1 #f2V #f2T #Hf2V #H
 138   elim (coafter_inv_tl1 … H) -H /4 width=5 by frees_bind, drops_skip/
 139 | #f1V #f1T #f1 #I #K #V #T #_ #_ #H1f1 #IHV #IHT #H2f1 #f #L #H1 #Y #H2 #f2 #H3
 140   elim (sor_inv_isfin3 … H1f1) //
 141   elim (lifts_inv_flat1 … H2) -H2 #W #U #HVW #HTU #H destruct
 142   elim (coafter_sor … H3 … H1f1)
 143   /3 width=5 by coafter_isfin2_fwd, frees_flat/
 144 ]
 145 qed-.
 146
 147 (* Forward lemmas with generic slicing for local environments ***************)
 148
 149 lemma frees_fwd_coafter: ∀b,f2,L,U. L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2 →
 150                          ∀f,K. ⬇*[b, f] L ≡ K → ∀T. ⬆*[f] T ≡ U →
 151                          ∀f1. K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 → f ~⊚ f1 ≡ f2.
 152 /4 width=11 by frees_lifts, frees_mono, coafter_eq_repl_back0/ qed-.
 153
 154 (* Inversion lemmas with generic slicing for local environments *************)
 155
 156 lemma frees_inv_lifts: ∀b,f2,L,U. L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2 →
 157                        ∀f,K. ⬇*[b, f] L ≡ K → ∀T. ⬆*[f] T ≡ U →
 158                        ∀f1. f ~⊚ f1 ≡ f2 → K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1.
 159 #b #f2 #L #U #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f2 -L -U
 160 [ #f2 #I #Hf2 #_ #f #K #H1 #T #H2 #f1 #H3
 161   lapply (coafter_fwd_isid2 … H3 … Hf2) -H3 // -Hf2 #Hf1
 162   elim (drops_inv_atom1 … H1) -H1 #H #_ destruct
 163   elim (lifts_inv_atom2 … H2) -H2 * /2 width=3 by frees_atom/
 164 | #f2 #I #L #W #s #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 165   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 166   lapply (lifts_inv_sort2 … H2) -H2 #H destruct
 167   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 168   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 169     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 170   | #g #Hf2 #H destruct
 171     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 172   ] /3 width=4 by frees_sort/
 173 | #f2 #I #L #W #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 174   lapply (isfin_inv_next … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 175   elim (lifts_inv_lref2 … H2) -H2 #i #H2 #H destruct
 176   lapply (at_inv_xxp … H2 ?) -H2 // * #g #H #H0 destruct
 177   elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #HVW #H destruct
 178   elim (coafter_inv_pxn … H3) -H3 [ |*: // ] #g1 #Hf2 #H destruct
 179   /3 width=4 by frees_zero/
 180 | #f2 #I #L #W #j #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 181   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 182   elim (lifts_inv_lref2 … H2) -H2 #x #H2 #H destruct
 183   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 184   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 185     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #HVW #H destruct
 186     elim (at_inv_xpn … H2) -H2 [ |*: // ] #j #Hg #H destruct
 187   | #g #Hf2 #H destruct
 188     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 189     lapply (at_inv_xnn … H2 ????) -H2 [5: |*: // ]
 190   ] /4 width=4 by lifts_lref, frees_lref/
 191 | #f2 #I #L #W #l #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #T #H2 #f1 #H3
 192   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 193   lapply (lifts_inv_gref2 … H2) -H2 #H destruct
 194   elim (coafter_inv_xxp … H3) -H3 [1,3: * |*: // ]
 195   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 196     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 197   | #g #Hf2 #H destruct
 198     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1
 199   ] /3 width=4 by frees_gref/
 200 | #f2W #f2U #f2 #p #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #X #H2 #f1 #H3
 201   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H
 202   lapply (isfin_inv_tl … H) -H
 203   elim (lifts_inv_bind2 … H2) -H2 #V #T #HVW #HTU #H destruct
 204   elim (coafter_inv_sor … H3 … H1f2) -H3 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H
 205   elim (coafter_inv_tl0 … H) -H /4 width=5 by frees_bind, drops_skip/
 206 | #f2W #f2U #f2 #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #X #H2 #f1 #H3
 207   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) //
 208   elim (lifts_inv_flat2 … H2) -H2 #V #T #HVW #HTU #H destruct
 209   elim (coafter_inv_sor … H3 … H1f2) -H3 -H1f2 /3 width=5 by frees_flat/
 210 ]
 211 qed-.
 212
 213 lemma frees_inv_drops: ∀f2,L,U. L ⊢ 𝐅*⦃U⦄ ≡ f2 →
 214                        ∀f,K. ⬇*[Ⓣ, f] L ≡ K → ∀f1. f ~⊚ f1 ≡ f2 →
 215                        ∃∃T. K ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 & ⬆*[f] T ≡ U.
 216 #f2 #L #U #H lapply (frees_fwd_isfin … H) elim H -f2 -L -U
 217 [ #f2 #I #Hf2 #_ #f #K #H1 #f1 #H2
 218   lapply (coafter_fwd_isid2 … H2 ??) -H2 // -Hf2 #Hf1
 219   elim (drops_inv_atom1 … H1) -H1 #H #Hf destruct
 220   /4 width=3 by frees_atom, lifts_refl, ex2_intro/
 221 | #f2 #I #L #W #s #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 222   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 223   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
 224   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 225     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 226   | #g #Hf2 #H destruct
 227     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
 228   ]
 229   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 230   lapply (lifts_inv_sort2 … HX) -HX #H destruct
 231   /3 width=3 by frees_sort, lifts_sort, ex2_intro/
 232 | #f2 #I #L #W #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 233   lapply (isfin_inv_next … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 234   elim (coafter_inv_xxn … H2) -H2 [ |*: // ] #g #g1 #Hf2 #H0 #H destruct
 235   elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #HVW #H destruct
 236   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 237   lapply (lifts_inj … HX … HVW) -W #H destruct
 238   /3 width=3 by frees_zero, lifts_lref, ex2_intro/
 239 | #f2 #I #L #W #j #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 240   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 241   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
 242   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 243     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 244   | #g #Hf2 #H destruct
 245     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
 246   ]
 247   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 248   elim (lifts_inv_lref2 … HX) -HX #i #Hij #H destruct
 249   /4 width=7 by frees_lref, lifts_lref, at_S1, at_next, ex2_intro/
 250 | #f2 #I #L #W #l #_ #IH #Hf2 #f #Y #H1 #f1 #H2
 251   lapply (isfin_fwd_push … Hf2 ??) -Hf2 [3: |*: // ] #Hf2
 252   elim (coafter_inv_xxp … H2) -H2 [1,3: * |*: // ]
 253   [ #g #g1 #Hf2 #H #H0 destruct
 254     elim (drops_inv_skip1 … H1) -H1 #K #V #HLK #_ #H destruct
 255   | #g #Hf2 #H destruct
 256     lapply (drops_inv_drop1 … H1) -H1 #HLK
 257   ]
 258   elim (IH … HLK … Hf2) -L // -f2 #X #Hg1 #HX
 259   lapply (lifts_inv_gref2 … HX) -HX #H destruct
 260   /3 width=3 by frees_gref, lifts_gref, ex2_intro/
 261 | #f2W #f2U #f2 #p #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #f1 #H2
 262   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H
 263   lapply (isfin_inv_tl … H) -H #H1f2U
 264   elim (coafter_inv_sor … H2 … H1f2) -H2 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H #Hf1
 265   elim (coafter_inv_tl0 … H) -H #g1 #H2f2U #H destruct
 266   elim (IHW … H1 … H2f2W) -IHW -H2f2W // -H1f2W #V #Hf1W #HVW
 267   elim (IHU … H2f2U) -IHU -H2f2U
 268   /3 width=5 by frees_bind, drops_skip, lifts_bind, ex2_intro/
 269 | #f2W #f2U #f2 #I #L #W #U #_ #_ #H1f2 #IHW #IHU #H2f2 #f #K #H1 #f1 #H2
 270   elim (sor_inv_isfin3 … H1f2) // #H1f2W #H1f2U
 271   elim (coafter_inv_sor … H2 … H1f2) -H2 -H1f2 // #f1W #f1U #H2f2W #H2f2U #Hf1
 272   elim (IHW … H1 … H2f2W) -IHW -H2f2W // -H1f2W
 273   elim (IHU … H1 … H2f2U) -L -H2f2U
 274   /3 width=5 by frees_flat, lifts_flat, ex2_intro/
 275 ]
 276 qed-.