matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/static/lfxs_lfxs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/relocation/lexs_length.ma".
  16 include "basic_2/relocation/lexs_lexs.ma".
  17 include "basic_2/static/frees_drops.ma".
  18 include "basic_2/static/fsle_fsle.ma".
  19 include "basic_2/static/lfxs_fsle.ma".
  20
  21 (* GENERIC EXTENSION ON REFERRED ENTRIES OF A CONTEXT-SENSITIVE REALTION ****)
  22
  23 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  24
  25 lemma lfxs_inv_frees: ∀R,L1,L2,T. L1 ⪤*[R, T] L2 →
  26                       ∀f. L1 ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f → L1 ⪤*[cext2 R, cfull, f] L2.
  27 #R #L1 #L2 #T * /3 width=6 by frees_mono, lexs_eq_repl_back/
  28 qed-.
  29
  30 lemma frees_lexs_conf: ∀R. lfxs_fsle_compatible R →
  31                        ∀L1,T,f1. L1 ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f1 →
  32                        ∀L2. L1 ⪤*[cext2 R, cfull, f1] L2 →
  33                        ∃∃f2. L2 ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f2 & f2 ⊆ f1.
  34 #R #HR #L1 #T #f1 #Hf1 #L2 #H1L
  35 lapply (HR L1 L2 T ?) /2 width=3 by ex2_intro/ #H2L
  36 @(fsle_frees_trans_eq … H2L … Hf1) /3 width=4 by lexs_fwd_length, sym_eq/
  37 qed-.
  38
  39 (* Properties with free variables inclusion for restricted closures *********)
  40
  41 (* Note: we just need lveq_inv_refl: ∀L,n1,n2. L ≋ⓧ*[n1, n2] L → ∧∧ 0 = n1 & 0 = n2 *)
  42 lemma fle_lfxs_trans: ∀R,L1,T1,T2. ⦃L1, T1⦄ ⊆ ⦃L1, T2⦄ →
  43                       ∀L2. L1 ⪤*[R, T2] L2 → L1 ⪤*[R, T1] L2.
  44 #R #L1 #T1 #T2 * #n1 #n2 #f1 #f2 #Hf1 #Hf2 #Hn #Hf #L2 #HL12
  45 elim (lveq_inj_length … Hn ?) // #H1 #H2 destruct
  46 /4 width=5 by lfxs_inv_frees, sle_lexs_trans, ex2_intro/
  47 qed-.
  48
  49 (* Advanced properties ******************************************************)
  50
  51 lemma lfxs_sym: ∀R. lfxs_fsle_compatible R →
  52                 (∀L1,L2,T1,T2. R L1 T1 T2 → R L2 T2 T1) →
  53                 ∀T. symmetric … (lfxs R T).
  54 #R #H1R #H2R #T #L1 #L2
  55 * #f1 #Hf1 #HL12
  56 elim (frees_lexs_conf … Hf1 … HL12) -Hf1 //
  57 /5 width=5 by sle_lexs_trans, lexs_sym, cext2_sym, ex2_intro/
  58 qed-.
  59
  60 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_dec *)
  61 lemma lfxs_dec: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
  62                 ∀L1,L2,T. Decidable (L1 ⪤*[R, T] L2).
  63 #R #HR #L1 #L2 #T
  64 elim (frees_total L1 T) #f #Hf
  65 elim (lexs_dec (cext2 R) cfull … L1 L2 f)
  66 /4 width=3 by lfxs_inv_frees, cfull_dec, ext2_dec, ex2_intro, or_intror, or_introl/
  67 qed-.
  68
  69 lemma lfxs_pair_sn_split: ∀R1,R2. (∀L. reflexive … (R1 L)) → (∀L. reflexive … (R2 L)) →
  70                           lfxs_fsle_compatible R1 →
  71                           ∀L1,L2,V. L1 ⪤*[R1, V] L2 → ∀I,T.
  72                           ∃∃L. L1 ⪤*[R1, ②{I}V.T] L & L ⪤*[R2, V] L2.
  73 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #HR #L1 #L2 #V * #f #Hf #HL12 * [ #p ] #I #T
  74 [ elim (frees_total L1 (ⓑ{p,I}V.T)) #g #Hg
  75   elim (frees_inv_bind … Hg) #y1 #y2 #H #_ #Hy
  76 | elim (frees_total L1 (ⓕ{I}V.T)) #g #Hg
  77   elim (frees_inv_flat … Hg) #y1 #y2 #H #_ #Hy
  78 ]
  79 lapply(frees_mono … H … Hf) -H #H1
  80 lapply (sor_eq_repl_back1 … Hy … H1) -y1 #Hy
  81 lapply (sor_inv_sle_sn … Hy) -y2 #Hfg
  82 elim (lexs_sle_split (cext2 R1) (cext2 R2) … HL12 … Hfg) -HL12 /2 width=1 by ext2_refl/ #L #HL1 #HL2
  83 lapply (sle_lexs_trans … HL1 … Hfg) // #H
  84 elim (frees_lexs_conf … Hf … H) -Hf -H
  85 /4 width=7 by sle_lexs_trans, ex2_intro/
  86 qed-.
  87
  88 lemma lfxs_flat_dx_split: ∀R1,R2. (∀L. reflexive … (R1 L)) → (∀L. reflexive … (R2 L)) →
  89                           lfxs_fsle_compatible R1 →
  90                           ∀L1,L2,T. L1 ⪤*[R1, T] L2 → ∀I,V.
  91                           ∃∃L. L1 ⪤*[R1, ⓕ{I}V.T] L & L ⪤*[R2, T] L2.
  92 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #HR #L1 #L2 #T * #f #Hf #HL12 #I #V
  93 elim (frees_total L1 (ⓕ{I}V.T)) #g #Hg
  94 elim (frees_inv_flat … Hg) #y1 #y2 #_ #H #Hy
  95 lapply(frees_mono … H … Hf) -H #H2
  96 lapply (sor_eq_repl_back2 … Hy … H2) -y2 #Hy
  97 lapply (sor_inv_sle_dx … Hy) -y1 #Hfg
  98 elim (lexs_sle_split (cext2 R1) (cext2 R2) … HL12 … Hfg) -HL12 /2 width=1 by ext2_refl/ #L #HL1 #HL2
  99 lapply (sle_lexs_trans … HL1 … Hfg) // #H
 100 elim (frees_lexs_conf … Hf … H) -Hf -H
 101 /4 width=7 by sle_lexs_trans, ex2_intro/
 102 qed-.
 103
 104 lemma lfxs_bind_dx_split: ∀R1,R2. (∀L. reflexive … (R1 L)) → (∀L. reflexive … (R2 L)) →
 105                           lfxs_fsle_compatible R1 →
 106                           ∀I,L1,L2,V1,T. L1.ⓑ{I}V1 ⪤*[R1, T] L2 → ∀p.
 107                           ∃∃L,V. L1 ⪤*[R1, ⓑ{p,I}V1.T] L & L.ⓑ{I}V ⪤*[R2, T] L2 & R1 L1 V1 V.
 108 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #HR #I #L1 #L2 #V1 #T * #f #Hf #HL12 #p
 109 elim (frees_total L1 (ⓑ{p,I}V1.T)) #g #Hg
 110 elim (frees_inv_bind … Hg) #y1 #y2 #_ #H #Hy
 111 lapply(frees_mono … H … Hf) -H #H2
 112 lapply (tl_eq_repl … H2) -H2 #H2
 113 lapply (sor_eq_repl_back2 … Hy … H2) -y2 #Hy
 114 lapply (sor_inv_sle_dx … Hy) -y1 #Hfg
 115 lapply (sle_inv_tl_sn … Hfg) -Hfg #Hfg
 116 elim (lexs_sle_split (cext2 R1) (cext2 R2) … HL12 … Hfg) -HL12 /2 width=1 by ext2_refl/ #Y #H #HL2
 117 lapply (sle_lexs_trans … H … Hfg) // #H0
 118 elim (lexs_inv_next1 … H) -H #Z #L #HL1 #H
 119 elim (ext2_inv_pair_sn … H) -H #V #HV #H1 #H2 destruct
 120 elim (frees_lexs_conf … Hf … H0) -Hf -H0
 121 /4 width=7 by sle_lexs_trans, ex3_2_intro, ex2_intro/
 122 qed-.
 123
 124 lemma lfxs_bind_dx_split_void: ∀R1,R2. (∀L. reflexive … (R1 L)) → (∀L. reflexive … (R2 L)) →
 125                                lfxs_fsle_compatible R1 →
 126                                ∀L1,L2,T. L1.ⓧ ⪤*[R1, T] L2 → ∀p,I,V.
 127                                ∃∃L. L1 ⪤*[R1, ⓑ{p,I}V.T] L & L.ⓧ ⪤*[R2, T] L2.
 128 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #HR #L1 #L2 #T * #f #Hf #HL12 #p #I #V
 129 elim (frees_total L1 (ⓑ{p,I}V.T)) #g #Hg
 130 elim (frees_inv_bind_void … Hg) #y1 #y2 #_ #H #Hy
 131 lapply(frees_mono … H … Hf) -H #H2
 132 lapply (tl_eq_repl … H2) -H2 #H2
 133 lapply (sor_eq_repl_back2 … Hy … H2) -y2 #Hy
 134 lapply (sor_inv_sle_dx … Hy) -y1 #Hfg
 135 lapply (sle_inv_tl_sn … Hfg) -Hfg #Hfg
 136 elim (lexs_sle_split (cext2 R1) (cext2 R2) … HL12 … Hfg) -HL12 /2 width=1 by ext2_refl/ #Y #H #HL2
 137 lapply (sle_lexs_trans … H … Hfg) // #H0
 138 elim (lexs_inv_next1 … H) -H #Z #L #HL1 #H
 139 elim (ext2_inv_unit_sn … H) -H #H destruct
 140 elim (frees_lexs_conf … Hf … H0) -Hf -H0
 141 /4 width=7 by sle_lexs_trans, ex2_intro/ (* note: 2 ex2_intro *)
 142 qed-.
 143
 144 (* Main properties **********************************************************)
 145
 146 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_bind llpx_sn_bind_O *)
 147 theorem lfxs_bind: ∀R,p,I,L1,L2,V1,V2,T.
 148                    L1 ⪤*[R, V1] L2 → L1.ⓑ{I}V1 ⪤*[R, T] L2.ⓑ{I}V2 →
 149                    L1 ⪤*[R, ⓑ{p,I}V1.T] L2.
 150 #R #p #I #L1 #L2 #V1 #V2 #T * #f1 #HV #Hf1 * #f2 #HT #Hf2
 151 lapply (lexs_fwd_bind … Hf2) -Hf2 #Hf2 elim (sor_isfin_ex f1 (⫱f2))
 152 /3 width=7 by frees_fwd_isfin, frees_bind, lexs_join, isfin_tl, ex2_intro/
 153 qed.
 154
 155 (* Basic_2A1: llpx_sn_flat *)
 156 theorem lfxs_flat: ∀R,I,L1,L2,V,T.
 157                    L1 ⪤*[R, V] L2 → L1 ⪤*[R, T] L2 →
 158                    L1 ⪤*[R, ⓕ{I}V.T] L2.
 159 #R #I #L1 #L2 #V #T * #f1 #HV #Hf1 * #f2 #HT #Hf2 elim (sor_isfin_ex f1 f2)
 160 /3 width=7 by frees_fwd_isfin, frees_flat, lexs_join, ex2_intro/
 161 qed.
 162
 163 theorem lfxs_bind_void: ∀R,p,I,L1,L2,V,T.
 164                         L1 ⪤*[R, V] L2 → L1.ⓧ ⪤*[R, T] L2.ⓧ →
 165                         L1 ⪤*[R, ⓑ{p,I}V.T] L2.
 166 #R #p #I #L1 #L2 #V #T * #f1 #HV #Hf1 * #f2 #HT #Hf2
 167 lapply (lexs_fwd_bind … Hf2) -Hf2 #Hf2 elim (sor_isfin_ex f1 (⫱f2))
 168 /3 width=7 by frees_fwd_isfin, frees_bind_void, lexs_join, isfin_tl, ex2_intro/
 169 qed.
 170
 171 theorem lfxs_conf: ∀R1,R2.
 172                    lfxs_fsle_compatible R1 →
 173                    lfxs_fsle_compatible R2 →
 174                    R_confluent2_lfxs R1 R2 R1 R2 →
 175                    ∀T. confluent2 … (lfxs R1 T) (lfxs R2 T).
 176 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #HR12 #T #L0 #L1 * #f1 #Hf1 #HL01 #L2 * #f #Hf #HL02
 177 lapply (frees_mono … Hf1 … Hf) -Hf1 #Hf12
 178 lapply (lexs_eq_repl_back … HL01 … Hf12) -f1 #HL01
 179 elim (lexs_conf … HL01 … HL02) /2 width=3 by ex2_intro/ [ | -HL01 -HL02 ]
 180 [ #L #HL1 #HL2
 181   elim (frees_lexs_conf … Hf … HL01) // -HR1 -HL01 #f1 #Hf1 #H1
 182   elim (frees_lexs_conf … Hf … HL02) // -HR2 -HL02 #f2 #Hf2 #H2
 183   lapply (sle_lexs_trans … HL1 … H1) // -HL1 -H1 #HL1
 184   lapply (sle_lexs_trans … HL2 … H2) // -HL2 -H2 #HL2
 185   /3 width=5 by ex2_intro/
 186 | #g * #I0 [2: #V0 ] #K0 #n #HLK0 #Hgf #Z1 #H1 #Z2 #H2 #K1 #HK01 #K2 #HK02
 187   [ elim (ext2_inv_pair_sn … H1) -H1 #V1 #HV01 #H destruct
 188     elim (ext2_inv_pair_sn … H2) -H2 #V2 #HV02 #H destruct
 189     elim (frees_inv_drops_next … Hf … HLK0 … Hgf) -Hf -HLK0 -Hgf #g0 #Hg0 #H0
 190     lapply (sle_lexs_trans … HK01 … H0) // -HK01 #HK01
 191     lapply (sle_lexs_trans … HK02 … H0) // -HK02 #HK02
 192     elim (HR12 … HV01 … HV02 K1 … K2) /3 width=3 by ext2_pair, ex2_intro/
 193   | lapply (ext2_inv_unit_sn … H1) -H1 #H destruct
 194     lapply (ext2_inv_unit_sn … H2) -H2 #H destruct
 195     /3 width=3 by ext2_unit, ex2_intro/
 196   ]
 197 ]
 198 qed-.
 199
 200 theorem lfxs_trans_gen: ∀R1,R2,R3.
 201                         c_reflexive … R1 → c_reflexive … R2 →
 202                         lfxs_confluent R1 R2 → lfxs_transitive R1 R2 R3 →
 203                         ∀L1,T,L. L1 ⪤*[R1, T] L →
 204                         ∀L2. L ⪤*[R2, T] L2 → L1 ⪤*[R3, T] L2.
 205 #R1 #R2 #R3 #H1R #H2R #H3R #H4R #L1 #T @(fqup_wf_ind_eq (Ⓣ) … (⋆) L1 T) -L1 -T
 206 #G0 #L0 #T0 #IH #G #L1 * *
 207 [ #s #HG #HL #HT #L #H1 #L2 #H2 destruct
 208   elim (lfxs_inv_sort … H1) -H1 *
 209   [ #H1 #H0 destruct
 210     >(lfxs_inv_atom_sn … H2) -L2 //
 211   | #I1 #I #K1 #K #HK1 #H1 #H0 destruct
 212     elim (lfxs_inv_sort_bind_sn … H2) -H2 #I2 #K2 #HK2 #H destruct
 213     /4 width=3 by lfxs_sort, fqu_fqup/
 214   ]
 215 | * [ | #i ] #HG #HL #HT #L #H1 #L2 #H2 destruct
 216   [ elim (lfxs_inv_zero … H1) -H1 *
 217     [ #H1 #H0 destruct
 218       >(lfxs_inv_atom_sn … H2) -L2 //
 219     | #I #K1 #K #V1 #V #HK1 #H1 #H0 #H destruct
 220       elim (lfxs_inv_zero_pair_sn … H2) -H2 #K2 #V2 #HK2 #HV2 #H destruct
 221       /4 width=7 by lfxs_pair, fqu_fqup, fqu_lref_O/
 222     | #f1 #I #K1 #K #Hf1 #HK1 #H1 #H0 destruct
 223       elim (lfxs_inv_zero_unit_sn … H2) -H2 #f2 #K2 #Hf2 #HK2 #H destruct
 224       /5 width=8 by lfxs_unit, lexs_trans_id_cfull, lexs_eq_repl_back, isid_inv_eq_repl/
 225     ]
 226   | elim (lfxs_inv_lref … H1) -H1 *
 227     [ #H1 #H0 destruct
 228       >(lfxs_inv_atom_sn … H2) -L2 //
 229     | #I1 #I #K1 #K #HK1 #H1 #H0 destruct
 230       elim (lfxs_inv_lref_bind_sn … H2) -H2 #I2 #K2 #HK2 #H destruct
 231      /4 width=3 by lfxs_lref, fqu_fqup/
 232     ]
 233   ]
 234 | #l #HG #HL #HT #L #H1 #L2 #H2 destruct
 235   elim (lfxs_inv_gref … H1) -H1 *
 236   [ #H1 #H0 destruct
 237     >(lfxs_inv_atom_sn … H2) -L2 //
 238   | #I1 #I #K1 #K #HK1 #H1 #H0 destruct
 239     elim (lfxs_inv_gref_bind_sn … H2) -H2 #I2 #K2 #HK2 #H destruct
 240     /4 width=3 by lfxs_gref, fqu_fqup/
 241   ]
 242 | #p #I #V1 #T1 #HG #HL #HT #L #H1 #L2 #H2 destruct
 243   elim (lfxs_inv_bind … V1 V1 … H1) -H1 // #H1V #H1T
 244   elim (lfxs_inv_bind … V1 V1 … H2) -H2 // #H2V #H2T
 245   /3 width=4 by lfxs_bind/
 246 | #I #V1 #T1 #HG #HL #HT #L #H1 #L2 #H2 destruct
 247   elim (lfxs_inv_flat … H1) -H1 #H1V #H1T
 248   elim (lfxs_inv_flat … H2) -H2 #H2V #H2T
 249   /3 width=3 by lfxs_flat/
 250 ]
 251 qed-.
 252
 253 (* Negated inversion lemmas *************************************************)
 254
 255 (* Basic_2A1: uses: nllpx_sn_inv_bind nllpx_sn_inv_bind_O *)
 256 lemma lfnxs_inv_bind: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 257                       ∀p,I,L1,L2,V,T. (L1 ⪤*[R, ⓑ{p,I}V.T] L2 → ⊥) →
 258                       (L1 ⪤*[R, V] L2 → ⊥) ∨ (L1.ⓑ{I}V ⪤*[R, T] L2.ⓑ{I}V → ⊥).
 259 #R #HR #p #I #L1 #L2 #V #T #H elim (lfxs_dec … HR L1 L2 V)
 260 /4 width=2 by lfxs_bind, or_intror, or_introl/
 261 qed-.
 262
 263 (* Basic_2A1: uses: nllpx_sn_inv_flat *)
 264 lemma lfnxs_inv_flat: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 265                       ∀I,L1,L2,V,T. (L1 ⪤*[R, ⓕ{I}V.T] L2 → ⊥) →
 266                       (L1 ⪤*[R, V] L2 → ⊥) ∨ (L1 ⪤*[R, T] L2 → ⊥).
 267 #R #HR #I #L1 #L2 #V #T #H elim (lfxs_dec … HR L1 L2 V)
 268 /4 width=1 by lfxs_flat, or_intror, or_introl/
 269 qed-.
 270
 271 lemma lfnxs_inv_bind_void: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 272                            ∀p,I,L1,L2,V,T. (L1 ⪤*[R, ⓑ{p,I}V.T] L2 → ⊥) →
 273                            (L1 ⪤*[R, V] L2 → ⊥) ∨ (L1.ⓧ ⪤*[R, T] L2.ⓧ → ⊥).
 274 #R #HR #p #I #L1 #L2 #V #T #H elim (lfxs_dec … HR L1 L2 V)
 275 /4 width=2 by lfxs_bind_void, or_intror, or_introl/
 276 qed-.