matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/substitution/ldrop_ldrop.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/substitution/lift_lift.ma".
  16 include "basic_2/substitution/ldrop.ma".
  17
  18 (* BASIC SLICING FOR LOCAL ENVIRONMENTS *************************************)
  19
  20 (* Main properties **********************************************************)
  21
  22 (* Basic_1: was: drop_mono *)
  23 theorem ldrop_mono: ∀L,L1,s1,d,e. ⇩[s1, d, e] L ≡ L1 →
  24                     ∀L2,s2. ⇩[s2, d, e] L ≡ L2 → L1 = L2.
  25 #L #L1 #s1 #d #e #H elim H -L -L1 -d -e
  26 [ #d #e #He #L2 #s2 #H elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H //
  27 | #I #K #V #L2 #s2 #HL12 <(ldrop_inv_O2 … HL12) -L2 //
  28 | #I #L #K #V #e #_ #IHLK #L2 #s2 #H
  29   lapply (ldrop_inv_drop1 … H) -H /2 width=2 by/
  30 | #I #L #K1 #T #V1 #d #e #_ #HVT1 #IHLK1 #X #s2 #H
  31   elim (ldrop_inv_skip1 … H) -H // <minus_plus_m_m #K2 #V2 #HLK2 #HVT2 #H destruct
  32   >(lift_inj … HVT1 … HVT2) -HVT1 -HVT2
  33   >(IHLK1 … HLK2) -IHLK1 -HLK2 //
  34 ]
  35 qed-.
  36
  37 (* Basic_1: was: drop_conf_ge *)
  38 theorem ldrop_conf_ge: ∀L,L1,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L ≡ L1 →
  39                        ∀L2,s2,e2. ⇩[s2, 0, e2] L ≡ L2 → d1 + e1 ≤ e2 →
  40                        ⇩[s2, 0, e2 - e1] L1 ≡ L2.
  41 #L #L1 #s1 #d1 #e1 #H elim H -L -L1 -d1 -e1 //
  42 [ #d #e #_ #L2 #s2 #e2 #H #_ elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H
  43   #H #He destruct
  44   @ldrop_atom #H >He // (**) (* explicit constructor *)
  45 | #I #L #K #V #e #_ #IHLK #L2 #s2 #e2 #H #He2
  46   lapply (ldrop_inv_drop1_lt … H ?) -H /2 width=2 by ltn_to_ltO/ #HL2
  47   <minus_plus >minus_minus_comm /3 width=1 by monotonic_pred/
  48 | #I #L #K #V1 #V2 #d #e #_ #_ #IHLK #L2 #s2 #e2 #H #Hdee2
  49   lapply (transitive_le 1 … Hdee2) // #He2
  50   lapply (ldrop_inv_drop1_lt … H ?) -H // -He2 #HL2
  51   lapply (transitive_le (1+e) … Hdee2) // #Hee2
  52   @ldrop_drop_lt >minus_minus_comm /3 width=1 by lt_minus_to_plus_r, monotonic_le_minus_r, monotonic_pred/ (**) (* explicit constructor *)
  53 ]
  54 qed.
  55
  56 (* Note: apparently this was missing in basic_1 *)
  57 theorem ldrop_conf_be: ∀L0,L1,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L0 ≡ L1 →
  58                        ∀L2,e2. ⇩[e2] L0 ≡ L2 → d1 ≤ e2 → e2 ≤ d1 + e1 →
  59                        ∃∃L. ⇩[s1, 0, d1 + e1 - e2] L2 ≡ L & ⇩[d1] L1 ≡ L.
  60 #L0 #L1 #s1 #d1 #e1 #H elim H -L0 -L1 -d1 -e1
  61 [ #d1 #e1 #He1 #L2 #e2 #H #Hd1 #_ elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H #H #He2 destruct
  62   >(He2 ?) in Hd1; // -He2 #Hd1 <(le_n_O_to_eq … Hd1) -d1
  63   /4 width=3 by ldrop_atom, ex2_intro/
  64 | normalize #I #L #V #L2 #e2 #HL2 #_ #He2
  65   lapply (le_n_O_to_eq … He2) -He2 #H destruct
  66   lapply (ldrop_inv_O2 … HL2) -HL2 #H destruct /2 width=3 by ldrop_pair, ex2_intro/
  67 | normalize #I #L0 #K0 #V1 #e1 #HLK0 #IHLK0 #L2 #e2 #H #_ #He21
  68   lapply (ldrop_inv_O1_pair1 … H) -H * * #He2 #HL20
  69   [ -IHLK0 -He21 destruct <minus_n_O /3 width=3 by ldrop_drop, ex2_intro/
  70   | -HLK0 <minus_le_minus_minus_comm //
  71     elim (IHLK0 … HL20) -L0 /2 width=3 by monotonic_pred, ex2_intro/
  72   ]
  73 | #I #L0 #K0 #V0 #V1 #d1 #e1 >plus_plus_comm_23 #_ #_ #IHLK0 #L2 #e2 #H #Hd1e2 #He2de1
  74   elim (le_inv_plus_l … Hd1e2) #_ #He2
  75   <minus_le_minus_minus_comm //
  76   lapply (ldrop_inv_drop1_lt … H ?) -H // #HL02
  77   elim (IHLK0 … HL02) -L0 /3 width=3 by ldrop_drop, monotonic_pred, ex2_intro/
  78 ]
  79 qed-.
  80
  81 (* Note: apparently this was missing in basic_1 *)
  82 theorem ldrop_conf_le: ∀L0,L1,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L0 ≡ L1 →
  83                        ∀L2,s2,e2. ⇩[s2, 0, e2] L0 ≡ L2 → e2 ≤ d1 →
  84                        ∃∃L. ⇩[s2, 0, e2] L1 ≡ L & ⇩[s1, d1 - e2, e1] L2 ≡ L.
  85 #L0 #L1 #s1 #d1 #e1 #H elim H -L0 -L1 -d1 -e1
  86 [ #d1 #e1 #He1 #L2 #s2 #e2 #H elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H
  87   #H #He2 #_ destruct /4 width=3 by ldrop_atom, ex2_intro/
  88 | #I #K0 #V0 #L2 #s2 #e2 #H1 #H2
  89   lapply (le_n_O_to_eq … H2) -H2 #H destruct
  90   lapply (ldrop_inv_pair1 … H1) -H1 #H destruct /2 width=3 by ldrop_pair, ex2_intro/
  91 | #I #K0 #K1 #V0 #e1 #HK01 #_ #L2 #s2 #e2 #H1 #H2
  92   lapply (le_n_O_to_eq … H2) -H2 #H destruct
  93   lapply (ldrop_inv_pair1 … H1) -H1 #H destruct /3 width=3 by ldrop_drop, ex2_intro/
  94 | #I #K0 #K1 #V0 #V1 #d1 #e1 #HK01 #HV10 #IHK01 #L2 #s2 #e2 #H #He2d1
  95   elim (ldrop_inv_O1_pair1 … H) -H *
  96   [ -IHK01 -He2d1 #H1 #H2 destruct /3 width=5 by ldrop_pair, ldrop_skip, ex2_intro/
  97   | -HK01 -HV10 #He2 #HK0L2
  98     elim (IHK01 … HK0L2) -IHK01 -HK0L2 /2 width=1 by monotonic_pred/
  99     >minus_le_minus_minus_comm /3 width=3 by ldrop_drop_lt, ex2_intro/
 100   ]
 101 ]
 102 qed-.
 103
 104 (* Note: with "s2", the conclusion parameter is "s1 ∨ s2" *)
 105 (* Basic_1: was: drop_trans_ge *)
 106 theorem ldrop_trans_ge: ∀L1,L,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L1 ≡ L →
 107                         ∀L2,e2. ⇩[e2] L ≡ L2 → d1 ≤ e2 → ⇩[s1, 0, e1 + e2] L1 ≡ L2.
 108 #L1 #L #s1 #d1 #e1 #H elim H -L1 -L -d1 -e1
 109 [ #d1 #e1 #He1 #L2 #e2 #H #_ elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H
 110   #H #He2 destruct /4 width=1 by ldrop_atom, eq_f2/
 111 | /2 width=1 by ldrop_gen/
 112 | /3 width=1 by ldrop_drop/
 113 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #_ #_ #IHL12 #L #e2 #H #Hde2
 114   lapply (lt_to_le_to_lt 0 … Hde2) // #He2
 115   lapply (lt_to_le_to_lt … (e + e2) He2 ?) // #Hee2
 116   lapply (ldrop_inv_drop1_lt … H ?) -H // #HL2
 117   @ldrop_drop_lt // >le_plus_minus /3 width=1 by monotonic_pred/
 118 ]
 119 qed.
 120
 121 (* Basic_1: was: drop_trans_le *)
 122 theorem ldrop_trans_le: ∀L1,L,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L1 ≡ L →
 123                         ∀L2,s2,e2. ⇩[s2, 0, e2] L ≡ L2 → e2 ≤ d1 →
 124                         ∃∃L0. ⇩[s2, 0, e2] L1 ≡ L0 & ⇩[s1, d1 - e2, e1] L0 ≡ L2.
 125 #L1 #L #s1 #d1 #e1 #H elim H -L1 -L -d1 -e1
 126 [ #d1 #e1 #He1 #L2 #s2 #e2 #H #_ elim (ldrop_inv_atom1 … H) -H
 127   #H #He2 destruct /4 width=3 by ldrop_atom, ex2_intro/
 128 | #I #K #V #L2 #s2 #e2 #HL2 #H lapply (le_n_O_to_eq … H) -H
 129   #H destruct /2 width=3 by ldrop_pair, ex2_intro/
 130 | #I #L1 #L2 #V #e #_ #IHL12 #L #s2 #e2 #HL2 #H lapply (le_n_O_to_eq … H) -H
 131   #H destruct elim (IHL12 … HL2) -IHL12 -HL2 //
 132   #L0 #H #HL0 lapply (ldrop_inv_O2 … H) -H #H destruct
 133   /3 width=5 by ldrop_pair, ldrop_drop, ex2_intro/
 134 | #I #L1 #L2 #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #IHL12 #L #s2 #e2 #H #He2d
 135   elim (ldrop_inv_O1_pair1 … H) -H *
 136   [ -He2d -IHL12 #H1 #H2 destruct /3 width=5 by ldrop_pair, ldrop_skip, ex2_intro/
 137   | -HL12 -HV12 #He2 #HL2
 138     elim (IHL12 … HL2) -L2 [ >minus_le_minus_minus_comm // /3 width=3 by ldrop_drop_lt, ex2_intro/ | /2 width=1 by monotonic_pred/ ]
 139   ]
 140 ]
 141 qed-.
 142
 143 (* Advanced properties ******************************************************)
 144
 145 lemma l_liftable_llstar: ∀R. l_liftable R → ∀l. l_liftable (llstar … R l).
 146 #R #HR #l #K #T1 #T2 #H @(lstar_ind_r … l T2 H) -l -T2
 147 [ #L #s #d #e #_ #U1 #HTU1 #U2 #HTU2 -HR -K
 148   >(lift_mono … HTU2 … HTU1) -T1 -U2 -d -e //
 149 | #l #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 #L #s #d #e #HLK #U1 #HTU1 #U2 #HTU2
 150   elim (lift_total T d e) /3 width=12 by lstar_dx/
 151 ]
 152 qed-.
 153
 154 (* Basic_1: was: drop_conf_lt *)
 155 lemma ldrop_conf_lt: ∀L,L1,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L ≡ L1 →
 156                      ∀I,K2,V2,s2,e2. ⇩[s2, 0, e2] L ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
 157                      e2 < d1 → let d ≝ d1 - e2 - 1 in
 158                      ∃∃K1,V1. ⇩[s2, 0, e2] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 &
 159                               ⇩[s1, d, e1] K2 ≡ K1 & ⇧[d, e1] V1 ≡ V2.
 160 #L #L1 #s1 #d1 #e1 #H1 #I #K2 #V2 #s2 #e2 #H2 #He2d1
 161 elim (ldrop_conf_le … H1 … H2) -L /2 width=2 by lt_to_le/ #K #HL1K #HK2
 162 elim (ldrop_inv_skip1 … HK2) -HK2 /2 width=1 by lt_plus_to_minus_r/
 163 #K1 #V1 #HK21 #HV12 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 164 qed-.
 165
 166 (* Note: apparently this was missing in basic_1 *)
 167 lemma ldrop_trans_lt: ∀L1,L,s1,d1,e1. ⇩[s1, d1, e1] L1 ≡ L →
 168                       ∀I,L2,V2,s2,e2. ⇩[s2, 0, e2] L ≡ L2.ⓑ{I}V2 →
 169                       e2 < d1 → let d ≝ d1 - e2 - 1 in
 170                       ∃∃L0,V0. ⇩[s2, 0, e2] L1 ≡ L0.ⓑ{I}V0 &
 171                                ⇩[s1, d, e1] L0 ≡ L2 & ⇧[d, e1] V2 ≡ V0.
 172 #L1 #L #s1 #d1 #e1 #HL1 #I #L2 #V2 #s2 #e2 #HL2 #Hd21
 173 elim (ldrop_trans_le … HL1 … HL2) -L /2 width=1 by lt_to_le/ #L0 #HL10 #HL02
 174 elim (ldrop_inv_skip2 … HL02) -HL02 /2 width=1 by lt_plus_to_minus_r/ #L #V1 #HL2 #HV21 #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
 175 qed-.
 176
 177 lemma ldrop_trans_ge_comm: ∀L1,L,L2,s1,d1,e1,e2.
 178                            ⇩[s1, d1, e1] L1 ≡ L → ⇩[e2] L ≡ L2 → d1 ≤ e2 →
 179                            ⇩[s1, 0, e2 + e1] L1 ≡ L2.
 180 #L1 #L #L2 #s1 #d1 #e1 #e2
 181 >commutative_plus /2 width=5 by ldrop_trans_ge/
 182 qed.
 183
 184 lemma ldrop_conf_div: ∀I1,L,K,V1,e1. ⇩[e1] L ≡ K.ⓑ{I1}V1 →
 185                       ∀I2,V2,e2. ⇩[e2] L ≡ K.ⓑ{I2}V2 →
 186                       ∧∧ e1 = e2 & I1 = I2 & V1 = V2.
 187 #I1 #L #K #V1 #e1 #HLK1 #I2 #V2 #e2 #HLK2
 188 elim (le_or_ge e1 e2) #He
 189 [ lapply (ldrop_conf_ge … HLK1 … HLK2 ?)
 190 | lapply (ldrop_conf_ge … HLK2 … HLK1 ?)
 191 ] -HLK1 -HLK2 // #HK
 192 lapply (ldrop_fwd_length_minus2 … HK) #H
 193 elim (discr_minus_x_xy … H) -H
 194 [1,3: normalize <plus_n_Sm #H destruct ]
 195 #H >H in HK; #HK
 196 lapply (ldrop_inv_O2 … HK) -HK #H destruct
 197 lapply (inv_eq_minus_O … H) -H /3 width=1 by le_to_le_to_eq, and3_intro/
 198 qed-.
 199
 200 (* Advanced forward lemmas **************************************************)
 201
 202 lemma ldrop_fwd_be: ∀L,K,s,d,e,i. ⇩[s, d, e] L ≡ K → |K| ≤ i → i < d → |L| ≤ i.
 203 #L #K #s #d #e #i #HLK #HK #Hd elim (lt_or_ge i (|L|)) //
 204 #HL elim (ldrop_O1_lt (Ⓕ) … HL) #I #K0 #V #HLK0 -HL
 205 elim (ldrop_conf_lt … HLK … HLK0) // -HLK -HLK0 -Hd
 206 #K1 #V1 #HK1 #_ #_ lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HK1) -I -K1 -V1
 207 #H elim (lt_refl_false i) /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/
 208 qed-.