matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/computation/lpxs_lleq.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2A/multiple/lleq_lleq.ma".
  16 include "basic_2A/reduction/lpx_lleq.ma".
  17 include "basic_2A/computation/cpxs_lreq.ma".
  18 include "basic_2A/computation/lpxs_drop.ma".
  19 include "basic_2A/computation/lpxs_cpxs.ma".
  20
  21 (* SN EXTENDED PARALLEL COMPUTATION FOR LOCAL ENVIRONMENTS ******************)
  22
  23 (* Properties on lazy equivalence for local environments ********************)
  24
  25 lemma lleq_lpxs_trans: ∀h,g,G,L2,K2. ⦃G, L2⦄ ⊢ ➡*[h, g] K2 →
  26                        ∀L1,T,l. L1 ≡[T, l] L2 →
  27                        ∃∃K1. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] K1 & K1 ≡[T, l] K2.
  28 #h #g #G #L2 #K2 #H @(lpxs_ind … H) -K2 /2 width=3 by ex2_intro/
  29 #K #K2 #_ #HK2 #IH #L1 #T #l #HT elim (IH … HT) -L2
  30 #L #HL1 #HT elim (lleq_lpx_trans … HK2 … HT) -K
  31 /3 width=3 by lpxs_strap1, ex2_intro/
  32 qed-.
  33
  34 lemma lpxs_nlleq_inv_step_sn: ∀h,g,G,L1,L2,T,l. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) →
  35                               ∃∃L,L0. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡[h, g] L & L1 ≡[T, l] L → ⊥ & ⦃G, L⦄ ⊢ ➡*[h, g] L0 & L0 ≡[T, l] L2.
  36 #h #g #G #L1 #L2 #T #l #H @(lpxs_ind_dx … H) -L1
  37 [ #H elim H -H //
  38 | #L1 #L #H1 #H2 #IH2 #H12 elim (lleq_dec T L1 L l) #H
  39   [ -H1 -H2 elim IH2 -IH2 /3 width=3 by lleq_trans/ -H12
  40     #L0 #L3 #H1 #H2 #H3 #H4 lapply (lleq_nlleq_trans … H … H2) -H2
  41     #H2 elim (lleq_lpx_trans … H1 … H) -L
  42     #L #H1 #H lapply (nlleq_lleq_div … H … H2) -H2
  43     #H2 elim (lleq_lpxs_trans … H3 … H) -L0
  44     /3 width=8 by lleq_trans, ex4_2_intro/
  45   | -H12 -IH2 /3 width=6 by ex4_2_intro/
  46   ]
  47 ]
  48 qed-.
  49
  50 lemma lpxs_lleq_fqu_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  51                            ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ≡[T1, 0] L1 →
  52                            ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ≡[T2, 0] L2.
  53 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H elim H -G1 -G2 -L1 -L2 -T1 -T2
  54 [ #I #G1 #L1 #V1 #X #H1 #H2 elim (lpxs_inv_pair2 … H1) -H1
  55   #K0 #V0 #H1KL1 #_ #H destruct
  56   elim (lleq_inv_lref_ge_dx … H2 ? I L1 V1) -H2 //
  57   #K1 #H #H2KL1 lapply (drop_inv_O2 … H) -H #H destruct
  58   /2 width=4 by fqu_lref_O, ex3_intro/
  59 | * [ #a ] #I #G1 #L1 #V1 #T1 #K1 #HLK1 #H
  60   [ elim (lleq_inv_bind … H)
  61   | elim (lleq_inv_flat … H)
  62   ] -H /2 width=4 by fqu_pair_sn, ex3_intro/
  63 | #a #I #G1 #L1 #V1 #T1 #K1 #HLK1 #H elim (lleq_inv_bind_O … H) -H
  64   /3 width=4 by lpxs_pair, fqu_bind_dx, ex3_intro/
  65 | #I #G1 #L1 #V1 #T1 #K1 #HLK1 #H elim (lleq_inv_flat … H) -H
  66   /2 width=4 by fqu_flat_dx, ex3_intro/
  67 | #G1 #L1 #L #T1 #U1 #m #HL1 #HTU1 #K1 #H1KL1 #H2KL1
  68   elim (drop_O1_le (Ⓕ) (m+1) K1)
  69   [ #K #HK1 lapply (lleq_inv_lift_le … H2KL1 … HK1 HL1 … HTU1 ?) -H2KL1 //
  70     #H2KL elim (lpxs_drop_trans_O1 … H1KL1 … HL1) -L1
  71     #K0 #HK10 #H1KL lapply (drop_mono … HK10 … HK1) -HK10 #H destruct
  72     /3 width=4 by fqu_drop, ex3_intro/
  73   | lapply (drop_fwd_length_le2 … HL1) -L -T1 -g
  74     lapply (lleq_fwd_length … H2KL1) //
  75   ]
  76 ]
  77 qed-.
  78
  79 lemma lpxs_lleq_fquq_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  80                             ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ≡[T1, 0] L1 →
  81                             ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐⸮ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ≡[T2, 0] L2.
  82 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H #K1 #H1KL1 #H2KL1
  83 elim (fquq_inv_gen … H) -H
  84 [ #H elim (lpxs_lleq_fqu_trans … H … H1KL1 H2KL1) -L1
  85   /3 width=4 by fqu_fquq, ex3_intro/
  86 | * #HG #HL #HT destruct /2 width=4 by ex3_intro/
  87 ]
  88 qed-.
  89
  90 lemma lpxs_lleq_fqup_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐+ ⦃G2, L2, T2⦄ →
  91                             ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ≡[T1, 0] L1 →
  92                             ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐+ ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ≡[T2, 0] L2.
  93 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H @(fqup_ind … H) -G2 -L2 -T2
  94 [ #G2 #L2 #T2 #H #K1 #H1KL1 #H2KL1 elim (lpxs_lleq_fqu_trans … H … H1KL1 H2KL1) -L1
  95   /3 width=4 by fqu_fqup, ex3_intro/
  96 | #G #G2 #L #L2 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 #K1 #H1KL1 #H2KL1 elim (IHT1 … H2KL1) // -L1
  97   #K #HT1 #H1KL #H2KL elim (lpxs_lleq_fqu_trans … HT2 … H1KL H2KL) -L
  98   /3 width=5 by fqup_strap1, ex3_intro/
  99 ]
 100 qed-.
 101
 102 lemma lpxs_lleq_fqus_trans: ∀h,g,G1,G2,L1,L2,T1,T2. ⦃G1, L1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, L2, T2⦄ →
 103                             ∀K1. ⦃G1, K1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L1 → K1 ≡[T1, 0] L1 →
 104                             ∃∃K2. ⦃G1, K1, T1⦄ ⊐* ⦃G2, K2, T2⦄ & ⦃G2, K2⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 & K2 ≡[T2, 0] L2.
 105 #h #g #G1 #G2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H #K1 #H1KL1 #H2KL1
 106 elim (fqus_inv_gen … H) -H
 107 [ #H elim (lpxs_lleq_fqup_trans … H … H1KL1 H2KL1) -L1
 108   /3 width=4 by fqup_fqus, ex3_intro/
 109 | * #HG #HL #HT destruct /2 width=4 by ex3_intro/
 110 ]
 111 qed-.
 112
 113 fact lreq_lpxs_trans_lleq_aux: ∀h,g,G,L1,L0,l,m. L1 ⩬[l, m] L0 → m = ∞ →
 114                                ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 →
 115                                ∃∃L. L ⩬[l, m] L2 & ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L &
 116                                     (∀T. L0 ≡[T, l] L2 ↔ L1 ≡[T, l] L).
 117 #h #g #G #L1 #L0 #l #m #H elim H -L1 -L0 -l -m
 118 [ #l #m #_ #L2 #H >(lpxs_inv_atom1 … H) -H
 119   /3 width=5 by ex3_intro, conj/
 120 | #I1 #I0 #L1 #L0 #V1 #V0 #_ #_ #Hm destruct
 121 | #I #L1 #L0 #V1 #m #HL10 #IHL10 #Hm #Y #H
 122   elim (lpxs_inv_pair1 … H) -H #L2 #V2 #HL02 #HV02 #H destruct
 123   lapply (ysucc_inv_Y_dx … Hm) -Hm #Hm
 124   elim (IHL10 … HL02) // -IHL10 -HL02 #L #HL2 #HL1 #IH
 125   @(ex3_intro … (L.ⓑ{I}V2)) /3 width=3 by lpxs_pair, lreq_cpxs_trans, lreq_pair/
 126   #T elim (IH T) #HL0dx #HL0sn
 127   @conj #H @(lleq_lreq_repl … H) -H /3 width=1 by lreq_sym, lreq_pair_O_Y/
 128 | #I1 #I0 #L1 #L0 #V1 #V0 #l #m #HL10 #IHL10 #Hm #Y #H
 129   elim (lpxs_inv_pair1 … H) -H #L2 #V2 #HL02 #HV02 #H destruct
 130   elim (IHL10 … HL02) // -IHL10 -HL02 #L #HL2 #HL1 #IH
 131   @(ex3_intro … (L.ⓑ{I1}V1)) /3 width=1 by lpxs_pair, lreq_succ/
 132   #T elim (IH T) #HL0dx #HL0sn
 133   @conj #H @(lleq_lreq_repl … H) -H /3 width=1 by lreq_sym, lreq_succ/
 134 ]
 135 qed-.
 136
 137 lemma lreq_lpxs_trans_lleq: ∀h,g,G,L1,L0,l. L1 ⩬[l, ∞] L0 →
 138                             ∀L2. ⦃G, L0⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 →
 139                             ∃∃L. L ⩬[l, ∞] L2 & ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L &
 140                                  (∀T. L0 ≡[T, l] L2 ↔ L1 ≡[T, l] L).
 141 /2 width=1 by lreq_lpxs_trans_lleq_aux/ qed-.