matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/computation/lsx_alt.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2A/notation/relations/snalt_6.ma".
  16 include "basic_2A/computation/lpxs_lleq.ma".
  17 include "basic_2A/computation/lsx.ma".
  18
  19 (* SN EXTENDED STRONGLY NORMALIZING LOCAL ENVIRONMENTS **********************)
  20
  21 (* alternative definition of lsx *)
  22 definition lsxa: ∀h. sd h → relation4 ynat term genv lenv ≝
  23                  λh,g,l,T,G. SN … (lpxs h g G) (lleq l T).
  24
  25 interpretation
  26    "extended strong normalization (local environment) alternative"
  27    'SNAlt h g l T G L = (lsxa h g T l G L).
  28
  29 (* Basic eliminators ********************************************************)
  30
  31 lemma lsxa_ind: ∀h,g,G,T,l. ∀R:predicate lenv.
  32                 (∀L1. G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L1 →
  33                       (∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) → R L2) →
  34                       R L1
  35                 ) →
  36                 ∀L. G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L → R L.
  37 #h #g #G #T #l #R #H0 #L1 #H elim H -L1
  38 /5 width=1 by lleq_sym, SN_intro/
  39 qed-.
  40
  41 (* Basic properties *********************************************************)
  42
  43 lemma lsxa_intro: ∀h,g,G,L1,T,l.
  44                   (∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) → G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L2) →
  45                   G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L1.
  46 /5 width=1 by lleq_sym, SN_intro/ qed.
  47
  48 fact lsxa_intro_aux: ∀h,g,G,L1,T,l.
  49                      (∀L,L2. ⦃G, L⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → L1 ≡[T, l] L → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) → G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L2) →
  50                      G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L1.
  51 /4 width=3 by lsxa_intro/ qed-.
  52
  53 lemma lsxa_lleq_trans: ∀h,g,T,G,L1,l. G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L1 →
  54                        ∀L2. L1 ≡[T, l] L2 → G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L2.
  55 #h #g #T #G #L1 #l #H @(lsxa_ind … H) -L1
  56 #L1 #_ #IHL1 #L2 #HL12 @lsxa_intro
  57 #K2 #HLK2 #HnLK2 elim (lleq_lpxs_trans … HLK2 … HL12) -HLK2
  58 /5 width=4 by lleq_canc_sn, lleq_trans/
  59 qed-.
  60
  61 lemma lsxa_lpxs_trans: ∀h,g,T,G,L1,l. G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L1 →
  62                        ∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L2.
  63 #h #g #T #G #L1 #l #H @(lsxa_ind … H) -L1 #L1 #HL1 #IHL1 #L2 #HL12
  64 elim (lleq_dec T L1 L2 l) /3 width=4 by lsxa_lleq_trans/
  65 qed-.
  66
  67 lemma lsxa_intro_lpx: ∀h,g,G,L1,T,l.
  68                       (∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡[h, g] L2 → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) → G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L2) →
  69                       G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L1.
  70 #h #g #G #L1 #T #l #IH @lsxa_intro_aux
  71 #L #L2 #H @(lpxs_ind_dx … H) -L
  72 [ #H destruct #H elim H //
  73 | #L0 #L elim (lleq_dec T L1 L l) /3 width=1 by/
  74   #HnT #HL0 #HL2 #_ #HT #_ elim (lleq_lpx_trans … HL0 … HT) -L0
  75   #L0 #HL10 #HL0 @(lsxa_lpxs_trans … HL2) -HL2
  76   /5 width=3 by lsxa_lleq_trans, lleq_trans/
  77 ]
  78 qed-.
  79
  80 (* Main properties **********************************************************)
  81
  82 theorem lsx_lsxa: ∀h,g,G,L,T,l. G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L → G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L.
  83 #h #g #G #L #T #l #H @(lsx_ind … H) -L
  84 /4 width=1 by lsxa_intro_lpx/
  85 qed.
  86
  87 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
  88
  89 theorem lsxa_inv_lsx: ∀h,g,G,L,T,l. G ⊢ ⬊⬊*[h, g, T, l] L → G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L.
  90 #h #g #G #L #T #l #H @(lsxa_ind … H) -L
  91 /4 width=1 by lsx_intro, lpx_lpxs/
  92 qed-.
  93
  94 (* Advanced properties ******************************************************)
  95
  96 lemma lsx_intro_alt: ∀h,g,G,L1,T,l.
  97                      (∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) → G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L2) →
  98                      G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L1.
  99 /6 width=1 by lsxa_inv_lsx, lsx_lsxa, lsxa_intro/ qed.
 100
 101 lemma lsx_lpxs_trans: ∀h,g,G,L1,T,l. G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L1 →
 102                       ∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L2.
 103 /4 width=3 by lsxa_inv_lsx, lsx_lsxa, lsxa_lpxs_trans/ qed-.
 104
 105 (* Advanced eliminators *****************************************************)
 106
 107 lemma lsx_ind_alt: ∀h,g,G,T,l. ∀R:predicate lenv.
 108                    (∀L1. G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L1 →
 109                          (∀L2. ⦃G, L1⦄ ⊢ ➡*[h, g] L2 → (L1 ≡[T, l] L2 → ⊥) → R L2) →
 110                          R L1
 111                    ) →
 112                    ∀L. G ⊢ ⬊*[h, g, T, l] L → R L.
 113 #h #g #G #T #l #R #IH #L #H @(lsxa_ind h g G T l … L)
 114 /4 width=1 by lsxa_inv_lsx, lsx_lsxa/
 115 qed-.