matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/etc/lcoeq/lcoeq.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/ynat/ynat_lt.ma".
  16 include "basic_2/notation/relations/coeq_4.ma".
  17 include "basic_2/grammar/lenv_length.ma".
  18
  19 (* COEQUIVALENCE FOR LOCAL ENVIRONMENTS *************************************)
  20
  21 inductive lcoeq: relation4 ynat ynat lenv lenv ≝
  22 | lcoeq_atom: ∀d,e. lcoeq d e (⋆) (⋆)
  23 | lcoeq_zero: ∀I,L1,L2,V.
  24               lcoeq 0 0 L1 L2 → lcoeq 0 0 (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V)
  25 | lcoeq_pair: ∀I1,I2,L1,L2,V1,V2,e. lcoeq 0 e L1 L2 →
  26               lcoeq 0 (⫯e) (L1.ⓑ{I1}V1) (L2.ⓑ{I2}V2)
  27 | lcoeq_succ: ∀I,L1,L2,V,d,e.
  28               lcoeq d e L1 L2 → lcoeq (⫯d) e (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V)
  29 .
  30
  31 interpretation
  32   "coequivalence (local environment)"
  33   'CoEq d e L1 L2 = (lcoeq d e L1 L2).
  34
  35 (* Basic properties *********************************************************)
  36
  37 lemma lcoeq_pair_lt: ∀I1,I2,L1,L2,V1,V2,e. L1 ≅[0, ⫰e] L2 → 0 < e →
  38                      L1.ⓑ{I1}V1 ≅[0, e] L2.ⓑ{I2}V2.
  39 #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #e #HL12 #He <(ylt_inv_O1 … He) /2 width=1 by lcoeq_pair/
  40 qed.
  41
  42 lemma lcoeq_succ_lt: ∀I,L1,L2,V,d,e. L1 ≅[⫰d, e] L2 → 0 < d →
  43                      L1.ⓑ{I}V ≅[d, e] L2. ⓑ{I}V.
  44 #I #L1 #L2 #V #d #e #HL12 #Hd <(ylt_inv_O1 … Hd) /2 width=1 by lcoeq_succ/
  45 qed.
  46
  47 lemma lcoeq_pair_O_Y: ∀L1,L2. L1 ≅[0, ∞] L2 →
  48                       ∀I1,I2,V1,V2. L1.ⓑ{I1}V1 ≅[0,∞] L2.ⓑ{I2}V2.
  49 #L1 #L2 #HL12 #I1 #I2 #V1 #V2 lapply (lcoeq_pair I1 I2 … V1 V2 … HL12) -HL12 //
  50 qed.
  51
  52 lemma lcoeq_refl: ∀L,d,e. L ≅[d, e] L.
  53 #L elim L -L //
  54 #L #I #V #IHL #d elim (ynat_cases … d) [| * #x ]
  55 #Hd destruct /2 width=1 by lcoeq_succ/
  56 #e elim (ynat_cases … e) [| * #x ]
  57 #He destruct /2 width=1 by lcoeq_zero, lcoeq_pair/
  58 qed.
  59
  60 lemma lcoeq_O_Y: ∀L1,L2. |L1| = |L2| → L1 ≅[0, ∞] L2.
  61 #L1 elim L1 -L1 [| #L1 #I1 #V1 #IHL1 ]
  62 * [2,4: #L2 #I2 #V1 ] normalize /3 width=2 by lcoeq_pair_O_Y/
  63 <plus_n_Sm #H destruct
  64 qed.
  65
  66 lemma lcoeq_sym: ∀d,e. symmetric … (lcoeq d e).
  67 #d #e #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2
  68 /2 width=1 by lcoeq_zero, lcoeq_pair, lcoeq_succ/
  69 qed-.
  70
  71 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  72
  73 fact lcoeq_inv_atom1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ≅[d, e] L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
  74 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e //
  75 [ #I #L1 #L2 #V #_ #H destruct
  76 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #e #_ #H destruct
  77 | #I #L1 #L2 #V #d #e #_ #H destruct
  78 ]
  79 qed-.
  80
  81 lemma lcoeq_inv_atom1: ∀L2,d,e. ⋆ ≅[d, e] L2 → L2 = ⋆.
  82 /2 width=5 by lcoeq_inv_atom1_aux/ qed-.
  83
  84 fact lcoeq_inv_zero1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ≅[d, e] L2 →
  85                           ∀J,K1,W. L1 = K1.ⓑ{J}W → d = 0 → e = 0 →
  86                           ∃∃K2. K1 ≅[0, 0] K2 & L2 = K2.ⓑ{J}W.
  87 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e
  88 [ #d #e #J #K1 #W #H destruct
  89 | #I #L1 #L2 #V #HL12 #J #K1 #W #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
  90 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #e #_ #J #K1 #W #_ #_ #H elim (ysucc_inv_O_dx … H)
  91 | #I #L1 #L2 #V #d #e #_ #J #K1 #W #_ #H elim (ysucc_inv_O_dx … H)
  92 ]
  93 qed-.
  94
  95 lemma lcoeq_inv_zero1: ∀I,K1,L2,V. K1.ⓑ{I}V ≅[0, 0] L2 →
  96                        ∃∃K2. K1 ≅[0, 0] K2 & L2 = K2.ⓑ{I}V.
  97 /2 width=7 by lcoeq_inv_zero1_aux/ qed-.
  98
  99 fact lcoeq_inv_pair1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ≅[d, e] L2 →
 100                           ∀J1,K1,W1. L1 = K1.ⓑ{J1}W1 → d = 0 → 0 < e →
 101                           ∃∃J2,K2,W2. K1 ≅[0, ⫰e] K2 & L2 = K2.ⓑ{J2}W2.
 102 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e
 103 [ #d #e #J1 #K1 #W1 #H destruct
 104 | #I #L1 #L2 #V #_ #J1 #K1 #W1 #_ #_ #H elim (ylt_yle_false … H) //
 105 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #e #HL12 #J1 #K1 #W1 #H #_ #_ destruct
 106   /2 width=5 by ex2_3_intro/
 107 | #I #L1 #L2 #V #d #e #_ #J1 #K1 #W1 #_ #H elim (ysucc_inv_O_dx … H)
 108 ]
 109 qed-.
 110
 111 lemma lcoeq_inv_pair1: ∀I1,K1,L2,V1,e. K1.ⓑ{I1}V1 ≅[0, e] L2 → 0 < e →
 112                        ∃∃I2,K2,V2. K1 ≅[0, ⫰e] K2 & L2 = K2.ⓑ{I2}V2.
 113 /2 width=7 by lcoeq_inv_pair1_aux/ qed-.
 114
 115 fact lcoeq_inv_succ1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ≅[d, e] L2 →
 116                           ∀J,K1,W. L1 = K1.ⓑ{J}W → 0 < d →
 117                           ∃∃K2. K1 ≅[⫰d, e] K2 & L2 = K2.ⓑ{J}W.
 118 #L1 #L2 #d #e * -L1 -L2 -d -e
 119 [ #d #e #J #K1 #W #H destruct
 120 | #I #L1 #L2 #V #_ #J #K1 #W #_ #H elim (ylt_yle_false … H) //
 121 | #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #e #_ #J #K1 #W #_ #H elim (ylt_yle_false … H) //
 122 | #I #L1 #L2 #V #d #e #HL12 #J #K1 #W #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 123 ]
 124 qed-.
 125
 126 lemma lcoeq_inv_succ1: ∀I,K1,L2,V,d,e. K1.ⓑ{I}V ≅[d, e] L2 → 0 < d →
 127                        ∃∃K2. K1 ≅[⫰d, e] K2 & L2 = K2.ⓑ{I}V.
 128 /2 width=3 by lcoeq_inv_succ1_aux/ qed-.
 129
 130 lemma lcoeq_inv_atom2: ∀L1,d,e. L1 ≅[d, e] ⋆ → L1 = ⋆.
 131 /3 width=3 by lcoeq_inv_atom1, lcoeq_sym/ qed-.
 132
 133 lemma lcoeq_inv_zero2: ∀I,K2,L1,V. L1 ≅[0, 0] K2.ⓑ{I}V →
 134                        ∃∃K1. K1 ≅[0, 0] K2 & L1 = K1.ⓑ{I}V.
 135 #I #K2 #L1 #V #H elim (lcoeq_inv_zero1 … (lcoeq_sym … H)) -H
 136 /3 width=3 by lcoeq_sym, ex2_intro/
 137 qed-.
 138
 139 lemma lcoeq_inv_pair2: ∀I2,K2,L1,V2,e. L1 ≅[0, e] K2.ⓑ{I2}V2 → 0 < e →
 140                        ∃∃I1,K1,V1. K1 ≅[0, ⫰e] K2 & L1 = K1.ⓑ{I1}V1.
 141 #I2 #K2 #L1 #V2 #e #H #He elim (lcoeq_inv_pair1 … (lcoeq_sym … H)) -H
 142 /3 width=5 by lcoeq_sym, ex2_3_intro/
 143 qed-.
 144
 145 lemma lcoeq_inv_succ2: ∀I,K2,L1,V,d,e. L1 ≅[d, e] K2.ⓑ{I}V → 0 < d →
 146                        ∃∃K1. K1 ≅[⫰d, e] K2 & L1 = K1.ⓑ{I}V.
 147 #I #K2 #L1 #V #d #e #H #Hd elim (lcoeq_inv_succ1 … (lcoeq_sym … H)) -H
 148 /3 width=3 by lcoeq_sym, ex2_intro/
 149 qed-.
 150
 151 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 152
 153 lemma lcoeq_fwd_length: ∀L1,L2,d,e. L1 ≅[d, e] L2 → |L2| ≤ |L1|.
 154 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e normalize /2 width=1 by le_S_S/
 155 qed-.
 156
 157 (* Advanced inversionn lemmas ***********************************************)
 158
 159 fact lcoeq_inv_O2_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 ≅[d, e] L2 → e = 0 → L1 = L2.
 160 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e /3 width=1 by eq_f3/
 161 #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 #V2 #e #_ #_ #H elim (ysucc_inv_O_dx … H)
 162 qed-.
 163
 164 lemma lcoeq_inv_O2: ∀L1,L2,d. L1 ≅[d, 0] L2 → L1 = L2.
 165 /2 width=4 by lcoeq_inv_O2_aux/ qed-.